八年级数学下学期期中热身预测卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．在中国有很多吉祥的图案深受大家喜爱，人们会用这些图案来装饰生活，祈求平安．比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．函数y=中自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠2
3．一个凸多边形的内角和等于540°，则这个多边形的边数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．象棋在中国有着三千多年的历史，属于二人对抗性游戏的一种．由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的棋艺活动．如图是一方的棋盘，如果“帅”的坐标是（0，1），“卒”的坐标是（2，2），那么“马”的坐标是（ ）
A．（﹣2，1） B．（2，﹣2） C．（﹣2，2） D．（2，2）
5．正方形具有而矩形没有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对边相等
C．对角线相等 D．每条对角线平分一组对角
6．下列曲线中表示y是x的函数的是（ ）
26
A． B． C． D．
7．顺次联结对角线相等的四边形各边中点所得到的四边形是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．正方形 D．菱形
8．若▱ABCD的顶点O、A、C的坐标分别是（0，0）、（5，0）、（2，3），则顶点B的坐标是（ ）
A．（3，7） B．（5，3） C．（7，3） D．（8，2）
9．用一根长为30cm的绳子围成一根长方形，则长方形的面积Scm2与xcm的函数关系式为S=﹣x2+15x，其中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞0 B．0＜x＜15 C．0＜x＜30 D．15＜x＜30
10．李阿姨每天早晨从家慢跑道小区公园，锻炼一阵后，再慢跑回家．表示李阿姨离开家的距离y （单位：米）与时间t （单位：分）的函数关系的图象大致如上图所示，则李阿姨跑步的路线可能是（用P点表示李阿姨家的位置）（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）
26
11．在平面直角坐标系中，P（2，﹣3）关于x轴的对称点是（ ， ）
12．如图，A，B两点被池塘隔开，在A，B外选一点C，连接AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M，N，如果测得MN=20m，那么A，B两点间的距离是 ．
13．请你举出一个函数实例（指出自变量的取值范围） ．
14．菱形的两条对角线分别是6cm，8cm，则菱形的边长为 cm，面积为 cm2．
15．平行四边形ABCD中，∠ABC的角平分线BE将边AD分成长度为5cm和6cm的两部分，则平行四边形ABCD的周长为 cm．
16．在数学课上，老师提出如下问题：
已知：如图1，线段AB、CB，求作：平行四边形ABCD．
小明的作法如下：
如图2：（1）以点C为圆心，AB长为半径画弧；
（2）以点A为圆心，BC长为半径画弧；
（3）两弧在BC上方交于点D，连接AD，CD，四边形ABCD为所求作平行四边形
老师说：“小明的作法正确．”
请回答：四边形ABCD是平行四边形的依据是 ．
三、解答题（本大题共52分）
17．小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家，以下是她本次去舅舅家所用的时间与路程的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）小红家到舅舅家的路程是 米，小红在商店停留了 分钟；
（2）本次去舅舅家的行程中，小红一共行驶了 米；一共用了 分钟．
26
18．如图，在▱ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，求证：AF=CE．
19．请按要求画出函数y=x2的图象：
（1）列表；
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
（2）描点；
（3）连线；
（4）请你判断点（4，8）、（﹣，﹣）是否在函数图象上，答： ．
20．如图，△ABC中，A、B、C三点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（﹣1，2）．
（1）将△ABC向右平移4个单位长度，画出平移后的△A1B1C1；
（2）画出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2；
（3）将△ABC绕点O旋转180°，画出旋转后的△A3B3C3．
26
21．已知，如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，DE、DF分别是△BDC、△ADC的角平分线．求证：四边形DECF是矩形．
22．如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB延长线上一点，BD=AB，E是AB的中点，求证：CE=CD．
23．已知，已知矩形纸片ABCD的边长分别为acm和bcm，把顶点A和C叠合在一起，得折痕EF（如图）．
（1）猜想四边形AECF是菱形吗？为什么？
（2）请写出求折痕EF的长的解题思路．
24．在正方形ABCD中，点E是边BC上的中点，在边CD上取一点F，使得AE平分∠BAF．
（1）依题意补充图形；
26
（2）小玲画图结束后，通过观察、测量，提出猜想：线段AF等于线段BC与线段CF的和．小玲把这个猜想与同学们进行交流．通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：
想法1：考虑到AE平分∠BAF，且∠B=90°．若过点E作EM⊥AF，则易证AM=AB=BC．这样，只需证明FM=FC即可．因∠EMF=∠C=90°，证FM=FC即证EF平分∠MEC，所以连接EF．
想法2：考虑到E是BC中点，若延长AE，交DC的延长线于点G，则易证CG=AB，则CF+BC=CF+CG=FG．要证AF=BC+CF，只需证FA=FG即可．
想法3：小米在课外小组学习了梯形中位线的相关知识，考虑到正方形ABCD所以有BC=AB，因此BC+CF=AB+CF，是梯形上、下底之和，结合“E是BC中点”，易联想到梯形中位线的性质，从而解决问题．
…
请你参考上面的想法，帮助小玲证明AF=BC+CF．（一种方法即可）
25．问题提出：如何将边长为n（n≥5，且n为整数）的正方形分割为一些1×5或2×3的矩形（a×b的矩形指边长分别为a，b的矩形）？
问题探究：我们先从简单的问题开始研究解决，再把复杂问题转化为已解决的问题．
探究一：
如图①，当n=5时，可将正方形分割为五个1×5的矩形．
如图②，当n=6时，可将正方形分割为六个2×3的矩形．
如图③，当n=7时，可将正方形分割为五个1×5的矩形和四个2×3的矩形
如图④，当n=8时，可将正方形分割为八个1×5的矩形和四个2×3的矩形
如图⑤，当n=9时，可将正方形分割为九个1×5的矩形和六个2×3的矩形
探究二：
当n=10，11，12，13，14时，分别将正方形按下列方式分割：
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所以，当n=10，11，12，13，14时，均可将正方形分割为一个5×5的正方形、一个（n﹣5 ）×（ n﹣5 ）的正方形和两个5×（n﹣5）的矩形．显然，5×5的正方形和5×（n﹣5）的矩形均可分割为1×5的矩形，而（n﹣5）×（n﹣5）的正方形是边长分别为5，6，7，8，9 的正方形，用探究一的方法可分割为一些1×5或2×3的矩形．
探究三：
当n=15，16，17，18，19时，分别将正方形按下列方式分割：
请按照上面的方法，分别画出边长为18，19的正方形分割示意图．
所以，当n=15，16，17，18，19时，均可将正方形分割为一个10×10的正方形、一个（n﹣10 ）×（n﹣10）的正方形和两个10×（n﹣10）的矩形．显然，10×10的正方形和10×（n﹣10）的矩形均可分割为1x5的矩形，而（n﹣10）×（n﹣10）的正方形又是边长分别为5，6，7，8，9的正方形，用探究一的方法可分割为一些1×5或2×3的矩形．
问题解决：如何将边长为n（n≥5，且n为整数）的正方形分割为一些1×5或2×3的矩形？请按照上面的方法画出分割示意图，并加以说明．
实际应用：如何将边长为61的正方形分割为一些1×5或2×3的矩形？（只需按照探究三的方法画出分割示意图即可）
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参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．在中国有很多吉祥的图案深受大家喜爱，人们会用这些图案来装饰生活，祈求平安．比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】R5：中心对称图形；P3：轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．
【解答】解：第一个图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形；
第二个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形；
第三个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
第四个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形；
综上所述，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有2个．
故选B．
2．函数y=中自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠2
【考点】E4：函数自变量的取值范围．
【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以2x﹣4≥0，可求x的范围．
【解答】解：依题意有：
2x﹣4≥0，
解得x≥2．
故选：B．
3．一个凸多边形的内角和等于540°，则这个多边形的边数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
26
【考点】L3：多边形内角与外角．
【分析】n边形的内角和公式为（n﹣2）180°，由此列方程求边数n．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
则（n﹣2）180°=540°，
解得n=5，
故选A．
4．象棋在中国有着三千多年的历史，属于二人对抗性游戏的一种．由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的棋艺活动．如图是一方的棋盘，如果“帅”的坐标是（0，1），“卒”的坐标是（2，2），那么“马”的坐标是（ ）
A．（﹣2，1） B．（2，﹣2） C．（﹣2，2） D．（2，2）
【考点】D3：坐标确定位置．
【分析】根据“帅”的坐标得出原点的位置，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：“马”的坐标是：（﹣2，2）．
故选：C．
5．正方形具有而矩形没有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对边相等
C．对角线相等 D．每条对角线平分一组对角
【考点】LE：正方形的性质；LB：矩形的性质．
【分析】首先要知道正方形和矩形的性质，正方形是四边相等的矩形，正方形对角线平分对角，且对角线互相垂直．
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【解答】解：A、正方形和矩形对角线都互相平分，故A不符合题意；
B、正方形和矩形的对边都相等，故B不符合题意；
C、正方形和矩形对角线都相等，故C不符合题意；
D、正方形对角线平分对角，而矩形对角线不平分对角，故D符合题意．
故选D．
6．下列曲线中表示y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】E2：函数的概念．
【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数．
【解答】解：A，B，D的图都是y有不唯一的值，故A，B，D不是函数，
C、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故C符合题意；
故选：C．
7．顺次联结对角线相等的四边形各边中点所得到的四边形是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．正方形 D．菱形
【考点】LN：中点四边形．
【分析】因为四边形的两条对角线相等，根据三角形的中位线定理，可得所得的四边形的四边相等，则所得的四边形是菱形．
【解答】解：如图，AC=BD，E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，
则EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线，EF、HG分别是△ACD、△ABC的中位线，
根据三角形的中位线的性质知，EH=FG=BD，EF=HG=AC，
∵AC=BD，
26
∴EH=FG=FG=EF，
∴四边形EFGH是菱形．
故选D．
8．若▱ABCD的顶点O、A、C的坐标分别是（0，0）、（5，0）、（2，3），则顶点B的坐标是（ ）
A．（3，7） B．（5，3） C．（7，3） D．（8，2）
【考点】L5：平行四边形的性质；D5：坐标与图形性质．
【分析】平行四边形的对边相等，C点的横坐标加上A点的横坐标，等于B点的横坐标，B点和C点的纵坐标相等，从而确定B点的坐标．
【解答】解：∵点O、A、C的坐标分别是（0，0）、（5，0）、（2，3），
∴C点的横坐标是2，纵坐标为5+2=7，
∴B点的坐标为（7，3）．
故选C．
9．用一根长为30cm的绳子围成一根长方形，则长方形的面积Scm2与xcm的函数关系式为S=﹣x2+15x，其中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞0 B．0＜x＜15 C．0＜x＜30 D．15＜x＜30
【考点】HD：根据实际问题列二次函数关系式．
【分析】直接根据题意表示出长方形的长与宽，进而结合长与宽都大于零，进而得出答案．
【解答】解：∵用一根长为30cm的绳子围成一根长方形，长方形的面积Scm2与xcm的函数关系式为S=﹣x2+15x，
∴设长为x，则宽为：15﹣x，
26
∴15﹣x＞0，
解得：x＜15，
故自变量x的取值范围是：0＜x＜15．
故选：B．
10．李阿姨每天早晨从家慢跑道小区公园，锻炼一阵后，再慢跑回家．表示李阿姨离开家的距离y （单位：米）与时间t （单位：分）的函数关系的图象大致如上图所示，则李阿姨跑步的路线可能是（用P点表示李阿姨家的位置）（ ）
A． B． C． D．
【考点】E6：函数的图象．
【分析】根据观察函数图象，可发现路程变远，路程不变，路程变近，可得答案．
【解答】解：由函数图象的变化趋势，得
路程变远，路程不变，路程变近，故A符合题意；
故选：A．
二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）
11．在平面直角坐标系中，P（2，﹣3）关于x轴的对称点是（ 2 ， 3 ）
【考点】P5：关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y），即关于横轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数，这样就可以求出对称点的坐标．
【解答】解：点P（2，﹣3）关于x轴的对称点的坐标是（2，3），
故答案为：2，3．
12．如图，A，B两点被池塘隔开，在A，B外选一点C，连接AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M，N，如果测得MN=20m，那么A，B两点间的距离是 40m ．
26
【考点】KX：三角形中位线定理．
【分析】三角形的中位线等于第三边的一半，那么第三边应等于中位线长的2倍．
【解答】解：∵M，N分别是AC，BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN=AB，
∴AB=2MN=2×20=40（m）．
故答案为：40m．
13．请你举出一个函数实例（指出自变量的取值范围） y= （x≠0） ．
【考点】E4：函数自变量的取值范围；E2：函数的概念．
【分析】根据分母不能为零，可得答案．
【解答】解：举出一个函数实例（指出自变量的取值范围） y= （x≠0），
故答案为：y= （x≠0）．
14．菱形的两条对角线分别是6cm，8cm，则菱形的边长为 5 cm，面积为 24 cm2．
【考点】L8：菱形的性质．
【分析】根据菱形的性质利用勾股定理可求得菱形的边长，根据面积公式可求得菱形的面积．
【解答】解：菱形的两条对角线分别是6cm，8cm，
得到两条对角线相交所构成的直角三角形的两直角边是×6=3cm和×8=4cm，
那么它的斜边即菱形的边长=5cm，面积为6×8×=24cm2．
故答案为5，24．
15．平行四边形ABCD中，∠ABC的角平分线BE将边AD分成长度为5cm和6cm的两部分，则平行四边形ABCD的周长为 32或34 cm．
26
【考点】L5：平行四边形的性质；K2：三角形的角平分线、中线和高；KI：等腰三角形的判定．
【分析】由平行四边形ABCD推出∠AEB=∠CBE，由已知得到∠ABE=∠CBE，推出AB=AE，分两种情况（1）当AE=5时，求出AB的长；（2）当AE=6时，求出AB的长，进一步求出平行四边形的周长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
（1）当AE=5时，AB=5，
平行四边形ABCD的周长是2×（5+5+6）=32；
（2）当AE=6时，AB=6，
平行四边形ABCD的周长是2×（5+6+6）=34；
故答案为：32或34．
16．在数学课上，老师提出如下问题：
已知：如图1，线段AB、CB，求作：平行四边形ABCD．
小明的作法如下：
如图2：（1）以点C为圆心，AB长为半径画弧；
（2）以点A为圆心，BC长为半径画弧；
（3）两弧在BC上方交于点D，连接AD，CD，四边形ABCD为所求作平行四边形
老师说：“小明的作法正确．”
请回答：四边形ABCD是平行四边形的依据是 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ．
26
【考点】N3：作图—复杂作图；L6：平行四边形的判定．
【分析】根据作图的作法，由平行四边形的判定即可求解．
【解答】解：由作法可知，四边形ABCD是平行四边形的依据是两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
三、解答题（本大题共52分）
17．小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家，以下是她本次去舅舅家所用的时间与路程的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）小红家到舅舅家的路程是 1500 米，小红在商店停留了 4 分钟；
（2）本次去舅舅家的行程中，小红一共行驶了 2700 米；一共用了 14 分钟．
【考点】FH：一次函数的应用．
【分析】（1）观察函数图象，可知小红家到舅舅家的路程是1500米，小红在商店停留的时间为4分钟，此题得解；
（2）将各路程段路程相加，即可求出本次去舅舅家的行程中，小红一共行驶的路程，再根据函数图象可找出小红一共用的时间．
【解答】解：（1）∵路程的最大值为1500米，
∴小红家到舅舅家的路程是1500米．
小红在商店停留的时间为12﹣8=4（分钟）．
26
故答案为：1500；4．
（2）本次去舅舅家的行程中，小红一共行驶的路程为1200++=2700（米）．
∵时间的最大值为14，
∴本次去舅舅家的行程中，小红一共用时14分钟．
故答案为：2700；14．
18．如图，在▱ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，求证：AF=CE．
【考点】L7：平行四边形的判定与性质．
【分析】根据“平行四边形ABCD的对边平行且相等的性质”证得四边形AECF为平行四边形，然后由“平行四边形的对边相等”的性质证得结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC．
∵点E，F分别是边AD，BC的中点，
∴AE=CF．
∴四边形AECF是平行四边形．
∴AF=CE．
19．请按要求画出函数y=x2的图象：
（1）列表；
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
2
0
2
…
（2）描点；
（3）连线；
（4）请你判断点（4，8）、（﹣，﹣）是否在函数图象上，答： 点（4，8）在函数图象上，点（﹣，﹣）不在函数图象上 ．
26
【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征；H2：二次函数的图象．
【分析】找出当x=﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3时的y值，列出表格，描点、连线即可画出二次函数y=x2的图象；然后将点（4，8）、（﹣，﹣）代入函数的解析式，根据是否相等作出判断．
【解答】解：（1）列表；
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
2
0
2
（2）描点；
（3）连线；
画出函数图象，如图所示．
（4）当x=4时，y=8；
当x=﹣时，y=≠﹣．
答：点（4，8）在函数图象上，点（﹣，﹣）不在函数图象上．
20．如图，△ABC中，A、B、C三点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（﹣1，2）．
26
（1）将△ABC向右平移4个单位长度，画出平移后的△A1B1C1；
（2）画出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2；
（3）将△ABC绕点O旋转180°，画出旋转后的△A3B3C3．
【考点】R8：作图﹣旋转变换；P7：作图﹣轴对称变换；Q4：作图﹣平移变换．
【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的△A1B1C1即可；
（2）分别作出各点关于x轴的对称点，再顺次连接即可；
（3）根据图形旋转的性质画出旋转后的△A3B3C3即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）如图，△A3B3C3即为所求．
21．已知，如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，DE、DF分别是△BDC、△ADC的角平分线．求证：四边形DECF是矩形．
【考点】LC：矩形的判定．
26
【分析】利用等腰△ADC“三合一”的性质证得DF⊥AC，由平行线的判定知DF∥EC；同理，DE∥FC，所以四边形DECF是平行四边形．又有该四边形的内角是直角，易证平行四边形DECF是矩形．
【解答】证明：∵AD=CD，DF是∠ADC的角平分线，
∴DF⊥AC．
又∵BC⊥AC，
∴DF∥CE．
同理，DE∥FC，
∴四边形FDEC是平行四边形．
∵∠ACB=90°，
∴平行四边形DECF是矩形．
22．如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB延长线上一点，BD=AB，E是AB的中点，求证：CE=CD．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质．
【分析】取AC中点F，连接EF，FB．首先证明△EBC≌△FCB，推出BF=CE，再证明BF=CD即可解决问题．
【解答】证明：取AC中点F，连接EF，FB．
∴FC=AC，
∵E是AB中点
∴BE=AB，
26
∵AB=AC
∴FC=BE
∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB
在△EBC和△FCB中，
，
∴△EBC≌△FCB．
∴BF=CE
∵BD=AB，F是AC中点
∴BF=CD，
∴CE=CD．
23．已知，已知矩形纸片ABCD的边长分别为acm和bcm，把顶点A和C叠合在一起，得折痕EF（如图）．
（1）猜想四边形AECF是菱形吗？为什么？
（2）请写出求折痕EF的长的解题思路．
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LA：菱形的判定与性质．
【分析】（1）折叠问题，即物体翻折后，翻折部分与原来的部分一样，对应边相等；
（2）求线段的长度，可在直角三角形中利用勾股定理求解，题中利用其面积相等进行求解，即菱形的面积等于底边长乘以高，亦等于对角线乘积的一半．
【解答】解：（1）菱形，理由如下：
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∠AFE=∠CEF．
∵矩形ABCD沿EF折叠，点A和C重合，
26
∴∠CEF=∠AEF，AE=CE
∴∠AFE=∠AEF，
∴AE=AF．
∴AF=CE，
又∵AF∥CE，
∴AECF为平行四边形，
∵AE=EC，
即四边形AECF的四边相等．
∴四边形AECF为菱形．
（2）①根据AB=acm，BC=bcm，由勾股定理得到AC2=（a2+b2）cm，AF=CF，
②在Rt△BCF中，设BF=xcm，则CF=（a﹣x）cm，
③由勾股定理可得（a﹣x）2=x2+b2，求得x，
④根据三角形的面积公式求得结论．
24．在正方形ABCD中，点E是边BC上的中点，在边CD上取一点F，使得AE平分∠BAF．
（1）依题意补充图形；
（2）小玲画图结束后，通过观察、测量，提出猜想：线段AF等于线段BC与线段CF的和．小玲把这个猜想与同学们进行交流．通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：
想法1：考虑到AE平分∠BAF，且∠B=90°．若过点E作EM⊥AF，则易证AM=AB=BC．这样，只需证明FM=FC即可．因∠EMF=∠C=90°，证FM=FC即证EF平分∠MEC，所以连接EF．
想法2：考虑到E是BC中点，若延长AE，交DC的延长线于点G，则易证CG=AB，则CF+BC=CF+CG=FG．要证AF=BC+CF，只需证FA=FG即可．
26
想法3：小米在课外小组学习了梯形中位线的相关知识，考虑到正方形ABCD所以有BC=AB，因此BC+CF=AB+CF，是梯形上、下底之和，结合“E是BC中点”，易联想到梯形中位线的性质，从而解决问题．
…
请你参考上面的想法，帮助小玲证明AF=BC+CF．（一种方法即可）
【考点】LE：正方形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；LL：梯形中位线定理；N3：作图—复杂作图．
【分析】（1）根据题意作出图形即可；
（2）想法1：作EM⊥AF于M，连接EF，根据已知和正方形的性质分别证明Rt△ABE≌Rt△AMERt，Rt△EMF≌Rt△ECF，得出EM=BE，FM=FC，从而得出结论；
想法2：如图3，延长AE、DC交于点G，根据全等三角形的性质得到AB=CG，∠1=∠G，由角平分线的性质得到∠1=∠2，等量代换得到∠2=∠G于是得到结论；
想法3：过中点E作EM∥AB，交AF于M．通过中位线的性质证明EM=（AB+CF），从而得出结论．
【解答】解：（1）补充图形，如图1所示；
想法1：如图2，作EM⊥AF于M．
∵∠B=90°，
∴∠B=∠AME=90°，
∵∠1=∠2，
∴BE=EM，
在Rt△ABE与Rt△AME中，，
∴Rt△ABE≌Rt△AME．
∴AM=AB=BC，EM=BE．①
连接EF，E是BC中点，
∴EC=BE=EM
在Rt△AEMF与Rt△ECF中，
∴Rt△EMF≌Rt△ECF，
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∴FM=FC、②
综合①、②得AF=AM+MF=BC+CF．
想法2：如图3，延长AE、DC交于点G，
∵E是BC中点，
∴BE=CE，
∵∠B=∠GCE，∠AEB=∠GEC，在△AEB与△GEC中，，
∴△AEB≌△GEC，
∴AB=CG，∠1=∠G，
∵AE平分∠BAF，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠G
∴AF=FG=FC+CG，
∴AF=BC+CF；
想法3：如图4，过中点E作EM∥AB，交AF于M．则AM=MF，且∠1=∠2=∠3．
∴EM=AM=AF
∵EM=（AB+CF），
∴AF=AB+CF=BC+CF．
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25．问题提出：如何将边长为n（n≥5，且n为整数）的正方形分割为一些1×5或2×3的矩形（a×b的矩形指边长分别为a，b的矩形）？
问题探究：我们先从简单的问题开始研究解决，再把复杂问题转化为已解决的问题．
探究一：
如图①，当n=5时，可将正方形分割为五个1×5的矩形．
如图②，当n=6时，可将正方形分割为六个2×3的矩形．
如图③，当n=7时，可将正方形分割为五个1×5的矩形和四个2×3的矩形
如图④，当n=8时，可将正方形分割为八个1×5的矩形和四个2×3的矩形
如图⑤，当n=9时，可将正方形分割为九个1×5的矩形和六个2×3的矩形
探究二：
当n=10，11，12，13，14时，分别将正方形按下列方式分割：
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所以，当n=10，11，12，13，14时，均可将正方形分割为一个5×5的正方形、一个（n﹣5 ）×（ n﹣5 ）的正方形和两个5×（n﹣5）的矩形．显然，5×5的正方形和5×（n﹣5）的矩形均可分割为1×5的矩形，而（n﹣5）×（n﹣5）的正方形是边长分别为5，6，7，8，9 的正方形，用探究一的方法可分割为一些1×5或2×3的矩形．
探究三：
当n=15，16，17，18，19时，分别将正方形按下列方式分割：
请按照上面的方法，分别画出边长为18，19的正方形分割示意图．
所以，当n=15，16，17，18，19时，均可将正方形分割为一个10×10的正方形、一个（n﹣10 ）×（n﹣10）的正方形和两个10×（n﹣10）的矩形．显然，10×10的正方形和10×（n﹣10）的矩形均可分割为1x5的矩形，而（n﹣10）×（n﹣10）的正方形又是边长分别为5，6，7，8，9的正方形，用探究一的方法可分割为一些1×5或2×3的矩形．
问题解决：如何将边长为n（n≥5，且n为整数）的正方形分割为一些1×5或2×3的矩形？请按照上面的方法画出分割示意图，并加以说明．
实际应用：如何将边长为61的正方形分割为一些1×5或2×3的矩形？（只需按照探究三的方法画出分割示意图即可）
【考点】LO：四边形综合题．
【分析】先从简单的问题开始研究解决，再把复杂问题转化为已解决的问题，由此把要解决问题转化为已经解决的问题，即可解决问题．
【解答】解：探究三：边长为18，19的正方形分割示意图，如图所示，
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问题解决：若5≤n＜10时，如探究一．
若n≥10，设n=5a+b，其中a、b为正整数，5≤b＜10，则图形如图所示，
均可将正方形分割为一个5a×5a的正方形、一个b×b的正方形和两个5a×b的矩形．显然，5a×5a的正方形和5a×b的矩形均可分割为1x5的矩形，而b×b的正方形又是边长分别为5，6，7，8，9的正方形，用探究一的方法可分割为一些1×5或2×3的矩形即可．
问题解决：边长为61的正方形分割为一些1×5或2×3的矩形，如图所示，
．
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