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1 2018～2019 学年第一学期期末考试试卷 高二数学参考答案与评分标准（文） 说明： 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的 主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则． 二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内 容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半； 如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一．选择题: （1）（B）；（ 2）（A）；（ 3）（ D）；（4）（ B）；（5）（ A）；（6）（ C）；（7）（ B）；（8）（C）；（9）（C）； （10）（ B）；（11）（ A）；（12）（ D）． 二.填空题: （13）(0,2) ；（ 14）81；（ 15）①④；（16）5． 三．解答题： (17) (本小题满分 12 分) （I） 动点 ),( yxP 满足到点 )0,2(F 的距离比到直线 1x 距离多 1． 动点 满足到点 的距离与到直线 2x 的距离相等。 动点 P 是以 )0,2(F 为焦点， 为准线的抛物线，方程为 xy 82  ………………4 分 （II）当直线斜率不存在时， )1,1( Q 显然不为中点， 当直线斜率存在时，设为 k ，设 ),( 11 yxA ， ),( 22 yxB      2 2 2 1 2 1 8 8 xy xy ，得 )(8 21 2 2 2 1 xxyy  ， )(8))(( 212121 xxyyyy  又 是线段 AB 的中点， 221  yy ， 4 21 21   xx yyk 故直线的方程为 )1(41  xy ，化为一般形式即： 034  yx . ………………10 分 2 (18) (本小题满分 12 分) 解：设正四棱柱底面边长为 xcm，高为 hcm， 则有8 4 72xh， 18 2 ,(0 9)h x x     2 2 3 2( ) (18 2 ) 2 18V x x h x x x x       ···························2 分 2( ) 6 36 6 ( 6)V ' x x x x x      ······················································4 分 由 ( ) 0V ' x  得：06x，由 ( ) 0V ' x  得：69x··················6 分 ()Vx 在 (0,6) 上是增函数，在(6,9) 上是减函数···········································8 分 6x时， ()Vx取最大值 (6) 216V  ， 6h  ···········································10 分 ∴底面边长与高均为 6cm 时，容积最大·····················································12 分 （19）（本小题满分 12 分） 解:（Ⅰ）由题意得 )2()1(23)( 2  aaxaxxf 又      3)2()0( 0)0( aaf bf ，解得 0b ， 3a 或 1a ····················4 分 （Ⅱ）法一：∵函数 )(xf 在区间 )1,1( 单调递减，∴ ( 1,1)x 时 ( ) 0f ' x  2( ) 3 2(1 ) ( 2) ( )(3 2)f ' x x a x a a x a x a         零点为 12 2, 3 ax a x    ，·····6 分 故有 1 2 13 a a   ，或 2 13 1 a a      ························································10 分 解得 51aa  或 故 a 的取值范围为( , 5] [1, )  U ······················································12 分 法二：∵函数 在区间 单调递减，∴ 时 ， 只需 (1) 0 ( 1) 0 f' f'    ························································8 分 即 3 2(1 ) ( 2) 0 3 2(1 ) ( 2) 0 a a a a a a            ，解得 故 a 的取值范围为 ······················································12 分 3 (20) (本小题满分 12 分) 解：（I）∵ 2 2 2 1c a b   ，∴ 2 2 ce a ·············································4 分 （II）设直线 l 的方程为：y=k（x ）A(x1，y1) ,B(x2，y2)，M(5 4,0) 联立   2 2 2 2 2 21 (1 2 ) 4 2 2 02 1 x y y k x k x k y k x          消去 得： 则 2 12 2 2 12 2 4 12 22 12 0 kxx k kxx k         …………………………………………………………………………8 分 ∵ 1 1 2 2 55( , ) ( , ) 44MA x y MB x y    1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 5 5 5 25 7( ( ) = ( ) + + = 4 4 4 16 16MA MB x x y y x x x x y y         ） 7,=16x R MA MB   对任意 有 为定值.···············································12 分 (21)（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）椭圆离心率 221 2 c a be aa    ，又 3bc  ， 2 2 2a b c， 解得 2, 3ab， 椭圆方程： 22 1.43 xy···········································4 分 （Ⅱ）显然，直线 l 的斜率不能为 0， 设直线 l 的方程为 1x my， 11( , )A x y ， 22( , )B x y , 4 联立 22 143 1 xy x my     消去 x 得 22(3 4) 6 9 0m y my    ． 则 12 2 12 2 6 34 9 34 0 myy m yy m        …………………8 分 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 22 11| || | | | ( ) 4 122 (3 4)F AB mS F F y y y y y y y y m          V ． 设 2 1tm，则 1t  ， 22=1mt ， 2 2 12 12 13( 1) 4 3 F AB tS t t t     ，············10 分 设函数 1( ) 3f t t t， [1, )t   时为增函数， ( ) (1) 4f t f   ， 2 12 313 F ABS t t     ， 即 0m  时， 2F AB 面积的最大值为 3．···············································12 分 （22）（ 本小题满分 12 分） 解：(I)由题意知，函数的定义域为(0，＋ ∞)，当 a＝－2 时， ()f ' x ＝2x－ 2 x ＝ 2( 1)( 1)xx x ， 由 ＜0 得 0＜x＜1，故 f(x)的单调递减区间是(0,1)．·····················4 分 (II)设 g(x)= f(x)－(3－ )＝x2＋aln x＋ －3，则 g(1)＝0， ()g' x ＝2x＋ a x － 2 2 x ＝ 3 2 22x ax x ， 当 0a  时，x∈(1，＋∞)时， 33 22 2 2 2( 1)( ) 0x ax x axg' x xx       ，g(x)在[1，＋∞) 单调递增，g(x)≥g(1)＝0 恒成立；·····························································8 分 当 0a  时，设 3( ) 2 2h x x ax   ，∵ (1) 0ha， 0 1x  ，使得 0(1, )xx 时， 5 ( ) 0hx  ，∴ 2 ()( ) 0hxg' x x，g(x)在 0[1, ]x 单调递减， 0( ) (1) 0g x g   ，与条件矛盾， 故 a 的取值范围为[0，＋ ∞) ·····························································12 分