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凌源二高中2018-2019学年度上学期期末考试
高三数学试卷（文科）
考试时间：120分钟 试题分数：150分
参考公式：球的体积公式：，其中为半径.
卷Ⅰ
一、 选择题：本大题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，集合，则等于
A． B． C． D．
2.已知若，则实数的值为
A．2 B． C． D．
3. 等差数列的前项和为，且，则公差等于
A．1 B． C． D．3
4.已知向量，且，则实数的值为
A． B． C．0 D．或0
5.已知，则等于
A． B． C． D．
6. 实数满足条件，则的最小值为
A． B． C．0 D．1
7. “”是“直线与直线平行”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8. 从抛物线图象上一点引抛物线准线的垂线，垂足为，且，设抛物线的焦点为，则的面积为
A．10 B．20 C．40 D．80
9. 某四面体的三视图如右图所示，其主视图、左视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为
A． B． C． D．
(
10. 若执行右下的程序框图，则输出的值是
A．4 B. 5 C. 6 D. 7
11. 定义运算：，例如：，，
则函数的最大值为
A．0 B．1 C．2 D．4
12. 已知函数的图象关于点对称，且当时，成立（其中是的导函数），若
，则的大小关系是
A． B． C． D．
卷Ⅱ
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13．函数的零点有______个.
14．已知是上的一个随机数，则使满足的概率为___________.
15．已知双曲线的一条渐近线经过点，则该渐近线与圆相交所得的弦长为___________.
16．设是等比数列，公比，为的前项和.记，
设为数列的最大项，则___________.
三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
已知分别为三个内角所对的边长，且
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求的值.
18．（本小题满分12分）
为了让贫困地区的孩子们过一个温暖的冬天，某校阳光志愿者社团组织“这个冬天不再冷”
冬衣募捐活动，共有50名志愿者参与。志愿者的工作内容有两类:1.到各班做宣传，倡议同学们积极捐献冬衣；2.整理、打包募捐上来的衣物. 每位志愿者根据自身实际情况，只参与其中的某一项工作. 相关统计数据如下表所示：
到班级宣传
整理、打包衣物
总计
男生
12
12
24
女生
8
18
26
总计
20
30
50
（Ⅰ）据此统计，你是否认为志愿者对工作的选择与其性别有关?
（Ⅱ）用分层抽样的方法在从参与整理、打包衣物工作的志愿者中抽取5人，再从这5人中选2人. 那么至少有一人是女生的概率是多少？
P(≥k0)
0.10
0.05
0.010
0.005
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
参考公式：.
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，侧面底面，且，，
，是的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面平面．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆C：，离心率，其中是椭圆的右焦点，焦距为2，直线与椭圆交于点，线段的中点的横坐标为，且（其中）.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）求实数的值.
21．（本小题满分12分）
设函数在点处的切线方程为．（自然对数的底数
（Ⅰ）求值，并求的单调区间；
（Ⅱ）证明：当时，．
请考生在22，23三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
(
23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，.
（Ⅰ）写出直线的极坐标方程；
（Ⅱ）求直线与曲线交点的极坐标
23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知，，，且．
（Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求证：．
高三数学试卷（文科）参考答案
一．选择题
1．B 2．D 3．C 4．D 5．A 6．B 7．A 8．A 9．C 10．A 11．D 12．B
二．填空题
13． 1 14． 15． 16．4
三．解答题
17．解：（Ⅰ）由正弦定理，得
又，
可得…………(6分)
（Ⅱ）若，则，得
，
…(12分)
18. 解：（Ⅰ） ……………………2分
没有理由认为志愿者对工作的选择与其性别有关. …………………………4分
（Ⅱ）参与整理、打包衣物工作的志愿者中男生12人，女生18人，共30人，
用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是
所以，被抽中的男生有人，记作；
被抽中的女生有人，记作. …………………………8分
从这5人中选2人的所有可能情况有：
，共10种
用事件A 表示“至少有一人是女生”，则它所包含所有可能情况有：
，共9种
所以 ……………………………………………………12分
19. （Ⅰ）证明：取中点，连接，
由已知，且，
所以，四边形是平行四边形，
于是，平面，平面，
因此平面． ……………………………………………………6分
（Ⅱ）侧面底面，
且
所以平面，
平面，所以，
又因为，是中点，于是，
，
所以平面，
由（Ⅰ）知，故平面，
而平面，
因此平面平面． ……………12分
20. 解：（Ⅰ）由条件可知，，故，
椭圆的标准方程是. ………（4分）
（Ⅱ）由，可知A，B，F三点共线，设
若直线轴，则，不合题意.
当AB所在直线的斜率存在时，设方程为.
由，消去得. ①
由①的判别式.
因为 ， ………（6分）
所以，所以. ………（8分）
将代入方程①，得 . ………（10分）
又因为，，
，所以 ………（12分）
21. 解：（Ⅰ），
由已知，，，故，，
，当时，，当时，，
故在单调递减，在单调递增；……（6分）
（Ⅱ）方法1：不等式，即，
设，，
时，，时，，
所以在递增，在递减，
当时，有最大值，
因此当时， ． …………（12分）
方法2：设，
在单调递减，在单调递增，
因为，，，
所以在只有一个零点，且，，
当时，，当时，，
在单调递减，在单调递增，
当时，，
因此当时， ． …………（12分）
22. 解：（Ⅰ）将消去参数，化为普通方程
再将代入，得……………………………5分
（Ⅱ）联立直线与曲线的极坐标方程
因为，所以可解得或，
因此与交点的极坐标分别为，．……………………………10分
23. 证明：（I）∵，，，
∴，
∵，∴，
∴，即； …………5分
（II）∵，，，
∴，即，
∵，∴． …………10分
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