南平市2018—2019学年第一学期高二期末质量检测
理 科 数 学
参考答案及评分标准
说明：
1、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.
2、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
3、只给整数分数. 选择题和填空题不给中间分.
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分．
（1）A （2）A （3）C （4）B （5）D （6）C
（7）A （8）D （9）C （10）D （11）A （12）B
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分．
（13）4 （14）1 （15）2 （16）
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分10分）
解：若为真命题，则 ……………………2分
…………………………3分
若为真命题：则：
得： …………………………………………6分
所以由：， …………………………………8分
所以实数的范围为 ……………………………………10分
（18）（本小题满分12分）
解：(I)由题意得：
所以； …………………………3分
(II)由直方图知，第一组频率为0.05，第二组频率为0.35，第三组频率为0.30，第四组频率为0.20，第五组频率为0.10，所以这100名学生这次考试成绩的平均分的估计值为：
……6分
(III)由直方图得：第三、四、五组人数分别为：30，20，10，所以利用分层抽样在60学生中抽取6人时，在第三、四、五组抽取人数分别是3，2，1人……8分
设第三组的3位同学为A1,A2,A3，第4组的2位同学为B1,B2，第5组的1位同学为C1，则从六位同学中抽两位同学有如下15种可能：(A1，A2)，(A1，A3)，
(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2,B2)，(A2,C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)， ……10分
其中恰有1人的分数不低于90的情形有：(A1，C1)，(A2，C1)，(A3，C1)，(B1，C1)，
(B2，C1)共5种．
故所求概率为． ……12分
（19）（本小题满分12分）
解: （Ⅰ）直线的方程是 ……………………1分
与联立,从而有. ……………………3分
所以. …………………4分
由抛物线定义得，…………………5分
所以,从而抛物线方程为. …………………6分
（Ⅱ）由于,则即,
从而,,于是,
从而,.…………………8分
设,则== += ………9分
又,即………10分
整理得解得或.…………12分
（20）（本小题满分12分）
……1分
……2分
……4分
……5分
所以，所求回归直线方程为： ……6分
(II)当时，，误差， ……8分
当时，，误差， ……10分
因为误差均不超过1万元
故所得的回归直线方程是有效的。 ……12分
（21）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）平面平面，平面平面=，平面 ,
平面，又平面 ……2分
侧面是等边三角形且是的中点
……3分
又 =
平面 ……4分
(II)如图，以为原点，以为轴正方向，以为轴正方向，建立空间直角坐标系，则,,,,(0,1,) ……5分
，，
点在棱上，设(，
则，
+= ……6分
直线与直线所成的角的余弦值为
|cos|=|=
又,解得： 即为的中点 ……………………8分
,，
设平面的法向量为，则
令，则 ……9分
设平面的法向量为，则
令，则 ……10分
cos= ……11分
二面角的余弦值为 ……12分
（22）（本小题满分12分）
解:（Ⅰ）设点为曲线Γ上任一点，
则依题意得:, ………………………2分
化简得:
曲线Γ的轨迹方程为:. …………………………4分
(II)一定经过一定点.
由(1)知,当直线的斜率不存在时,设方程为,设,
则：,,不合题意.…………5分
故直线的斜率存在.设直线的方程为 ,并代入椭圆方程,
得： ,① …………6分
由
得：.② …………7分
设,,则是方程①的两根,由根与系数的关系得：
,, …………8分
由 …………9分
得：,
即 ,
整理得： …………10分
又因为,所以,
此时直线的方程为. …………11分
所以直线恒过一定点 . ……………12分
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