中考复习宝典之：四点共圆模型（解析版）

共圆模型 模型 1 共端点，等线段模型 如图①，出现“共端点，等线段”时，可利用圆定义构造辅助圆． 如图②，若 OA＝OB＝OC，则 A、B、C 三点在以 O 为圆心，OA 为半径的圆上． 如图③，常见结论有：∠ACB＝ ∠AOB，∠BAC＝ ∠BOC. 模型分析 ∵OA＝OB＝OC. ∴A、B、C 三点到点 O 的距离相等． ∴A、B、C 三点在以 O 为圆心，OA 为半径的圆上． ∵∠ACB 是 的圆周角，∠AOB 是 的圆心角， ∴∠ACB＝ ∠AOB. 同理可证∠BAC＝ ∠BOC. （1）若有共端点的三条线段，可考虑构造辅助圆． （2）构造辅助圆是方便利用圆的性质快速解决角度问题． 模型实例 如图，△ABC 和△ACD 都是等腰三角形，AB＝AC，AC＝AD，连接 BD． 求证：∠1＋∠2＝90°. 证明 图① O A C B 图② B O C A 图③ O A B C 2 1 B C D A 1 2 1 2 AB AB 1 2 1 2 证法一：如图①， ∵AB＝AC＝AD．　　∴B、C、D 在以 A 为圆心，AB 为半径的⊙A 上．　∴∠ABC＝∠2. 在△BAC 中，∵∠BAC＋∠ABC＋∠2＝180°,∴2∠1＋2∠2＝180°.∴∠1＋∠2＝90°. 证法二：如图②， ∵AB＝AC＝AD．∴∠BAC＝2∠1．∵AB＝AC， ∴B、C、D 在以 A 为圆心，AB 为半径的⊙O 上． 延长 BA 与圆 A 相交于 E，连接 CE． ∴∠E＝∠1．（同弧所对的圆周角相等．） ∵AE＝AC，∴∠E＝∠ACE. ∵BE 为⊙A 的直径，∴∠BCE＝90°． ∴∠2＋∠ACE＝90°.∴∠1＋∠2＝90°. 小猿热搜 1．如图，△ABC 为等腰三角形，AB＝AC，在△ABC 的外侧作直线 AP，点 B 与点 D 关于 AP 轴对称，连 接 BD、CD，CD 与 AP 交于点 E．求证：∠1＝∠2． 证明 ∵A、D 关于 AP 轴对称，∴AP 是 BD 的垂直平分线． ∴AD＝AB，ED＝EB．又∵AB＝AC. ∴C、B、D 在以 A 为圆心，AB 为半径的圆上． ∵ED＝EB，∴∠EDB＝∠EBD. ∴∠2＝2∠EDB.又∵∠1＝2∠CDB. ∴∠1＝∠2. 2．己知四边形 ABCD，AB∥CD，且 AB＝AC＝AD＝a，BC＝b，且 2a＞b，求 BD 的长． 图① 2 1 C D A B 图② 1 2 B A C E D 1 2 P B A C E D A D 2 1 P E CB 解答 以 A 为圆心，以 a 为半径作圆，延长 BA 交⊙A 于 E 点，连接 ED． ∵AB∥CD，∴∠CAB＝∠DCA，∠DAE＝∠CDA. ∵AC＝AD， ∴∠DCA＝∠CDA. ∴∠DAE＝∠CAB.在△CAB 和△DAE 中． ∴△CAB≌△DAE. ∴ED＝BC＝b ∵BE 是直径，∴∠EDB＝90°. 在 Rt△EDB 中，ED＝b，BE＝2a， ∴BD＝ ＝ ＝ ． 模型 2 直角三角形共斜边模型 模型分析 如图①、②，Rt△ABC 和 Rt△ABD 共斜边，取 AB 中点 O，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得： OC=OD=OA=OB， A C B D B C E D A AD AC DAE CAB AE AB = ∠ = ∠  = 2 2BE ED− ( )2 22a b− 2 24a b−∴A、B、C、D 四点共圆． （１）共斜边的两个直角三角形，同侧或异侧，都会得到四点共圆； （２）四点共圆后可以根据圆周角定理得到角度相等，完成角度等量关系的转化，是证明角度相等重要的 途径之一． 模型实例 例１　如图，AD、BE、CF 为△ABC 的三条高，H 为垂线，问： （１）图中有多少组四点共圆？ （２）求证：∠ADF＝∠ADE． 解答 （１）６组 ①C、D、H、E 四点共圆，圆心在 CH 的中点处； ②D、B、F、H 四点共圆，圆心在 BH 的中点处； ③A、E、H、F 四点共圆，圆心在 AH 的中点处； ④C、B、F、E 四点共圆，圆心在 BC 的中点处； ⑤B、A、E、D 四点共圆，圆心在 AB 的中点处； ⑥C、D、F、A 四点共圆，圆心在 AC 的中点处． （２）如图，由 B、D、H、F 四点共圆，得∠ADF=∠1. 同理：由 A、B、D、E 四点共圆，得∠ADE=∠１. ∴∠ADF＝∠ADE． 例２　　如图，E 是正方形 ABCD 的边 AB 上的一点，过点 E 作 DE 的垂线交∠ABC 的外 角平分线于点 F，求证：FE=DE. 解答 如图，连接 DB、DF. ∵四边形 ABCD 是正方形，且 BF 是∠CBA 的外角平分线， ∴∠CBF=45°，∠DBC=45°， ∴∠DBF=90°． 又∵∠DEF=90°， ∴D、E、B、F 四点共圆． ∴∠DFE=∠DBE=45°（同弧所对的圆周角相等）． ∴△DEF 是等腰直角三角形． ∴FE=DE． 1.如图，锐角△ABC 中，BC.CE 是高线，DG⊥CE 于 G，EF⊥BD 于 F，求证： 证明：由于 Rt△BCE 与 Rt△BCD 共斜边 BC， ∴B、C、D、E 四点共圆． ∴∠DBC=∠DEG， 同理，Rt∠EDF 与 Rt△DGE 共斜边 DE， ∴D、E、F、G 四点共圆． 于是∠DEG=∠DFG， 因此，∠DBC=∠DFG． 于是 FG∥BC F G E D A B C FG BC2. 如图， BE.CF 为△ABC 的高，且交于点 H,连接 AH 并延长交于 BC 于点 D,求证：AD⊥BC. D H EF A B C3.如图，等边△PQR 内接于正方形 ABCD,其中点 P,Q,R 分别在边 AD,AB,DC 上，M 是 QR 的中点.求证：不论 等边△PQR 怎样运动，点 M 为不动点. 4.如图，已知△ABC 中，AH 是高，AT 是角平分线，且 TD⊥AB,TE⊥AC.求证：∠AHD=∠AHE. B C R P Q A D 证明：（1）∵∠ADT=∠AHT=∠AET=90°， ∴D，E，H 在以 AT 为直径的圆上， ∴∠AHD=∠ATD，∠AHE=∠ATE， 又∵AT 是角平分线，TD⊥AB，TE⊥AC， ∴∠ATD=∠ATE， ∴∠AHD=∠AHE． 补充： A E H D TB C】