安庆市 2019—2020 学年度第一学期期末教学质量调研监测
高一数学试题
（考试时间：120 分钟，满分：150 分）
安庆市高中学业质量检测命题研究组
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1. 已知全集 ，集合 ，集合 ，
则
A. B. C. D.
2. 计算：
A. 1 B. C. D.
3. 已知幂函数 在区间 上是单调递增函数，则 的值为
A. B. C. D.
4. 在△ 中，已知 ，则此三角形一定为
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 钝角三角形
5. 若实数 ， 满足 ，则下列不等关系成立的是
A. B.
C. > D.
6. 下列关系式一定正确的是
A. B.
C. D.
7. 若函数 的图象经过点 ，则其图象必经过点
A. B. C. D.
8. 已知 ，则
{ }2 3 5 7 11 13 17 19U ，，， ， ， ， ，= { }2 7 11A ， ，= { }5 11 13B ， ，=
( ) =BACU
{ }5 { }13 { }5 13， { }11 13，
3 3log 2 log 6- =
1- 3log 2- 32log 2-
( ) ( ) axaaxf ⋅−−= 222 ( )+∞,0 a
3 1- 3- 1
ABC sin 2sin cosA B C=
m n 2 2m n<
2 2log logm n< m n<
m
1
n
1 3 3m n<
sin 2 0< cos3 0>
( )sin π 3 sin3- = - αα sin22sin ≤
sin 2y x= ( )0 0P x y，
( )0 0,x y-
+ 00 ,2 yx
π
− 00 ,2 yx
π ( )0 0π x y，-
2tan =α =+
− απα 2tan4tanA. B. 1 C. D.
9. 函数 （其中 ）的图象如图所示，则 ， 的值
为
A． ，
B． ，
C． ，
D． ，
10. 某数学课外兴趣小组对函数 的图象与性质进行了探究，得到下列四条结论：①
该函数的值域为 ； ② 该函数在区间 上单调递增；③ 该函数的图象关于直
线 对称；④ 该函数的图象与直线 不可能有交点.
则其中正确结论的个数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
11．函数 在区间 上的图象为
A． B．
C． D．
12. 已知函数 是定义在 上的函数， . 若对任意的 ， 且 有
，则不等式 的解集为
1- 5
3
17
15
( ) ( )ϕω += xAxf sin πϕω > ,0,0A ω ϕ
3ω = π
4
ϕ =
3ω = π
4
ϕ = −
6ω = π
2
ϕ = −
6ω = π
2
ϕ =
( ) 12 xf x -=
( )+∞,0 [ )+∞,0
1x = ( )Raay ∈−= 2
2019
sin
log 2 2x x
xy −
=
− [ ) ( ]3,0 0,3−
( )f x R ( )1 1f = 1x Rx ∈2 1 2x x<
( ) ( )1 2
1 2
3f x f x
x x
- >--
( )[ ] ( )23log316log23log 222 −−+
−= ωωπω xxxf π
2
( )f x [ ]0 π，
( )y f x= π
6 ( )y g x=
( )y g x=
( ) 2 4f x ax bx= + + Rba ∈, 0≠a（Ⅰ）若函数 的图象过点 ，且函数 只有一个零点，求函数
的解析式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若 ，函数 在区间 上单调
递增，求实数 的取值范围.
21.（本题满分 12 分）
某科研团队对某一生物生长规律进行研究，发现其生长蔓延的速度越来越快.开始在某水
域投放一定面积的该生物，经过 2 个月其覆盖面积为 18 平方米，经过 3 个月其覆盖面积达到
27 平方米.该生物覆盖面积 （单位：平方米）与经过时间 个月的关系有两个函数模
型 与 可供选择.
（Ⅰ）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的函数解析式；
（Ⅱ）问约经过几个月，该水域中此生物的面积是当初投放的 1000 倍？（参考数据：
）
22.（本题满分 12 分）
已知函数 .
（Ⅰ）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围；
（Ⅱ）是否同时存在实数 和正整数 ，使得函数 在 上恰有
2019 个零点？若存在，请求出所有符合条件的 和 的值；若不存在，请说明理由.
安庆市 2019—2020 学年度第一学期期末教学质量调研监测
高一数学参考答案
( )y f x= ( )3 1，- ( )f x
( )f x
Za ∈ ( ) ( )[ ]kxxfxg −= ln [ )+∞,2
k
y ( )Nxx ∈
( )1,0 >>⋅= akaky x ( )0y p x q p= + >
48.03lg,30.02lg,73.13,41.12 ≈≈≈≈
( ) 1cos4sin22 −⋅
+= xxxf
π
−∈
8,8
ππ
x ( ) ( ) 02 ≤−− mxmfxf m
a n ( ) ( )g x f x a= - [ ]0 πn，
a n第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内）
1.C 解析：由条件知 ，则 ，选 C.
2.B 解析： .故选 B.
3.A 解析：由题意知 ，解得 或 ，又 在区间 上是单
调递增函数得 ，故选 A.
4.C 解析：由已知得 ，于是
，即 ，所以 ，故此三角形是等腰三角形，
选 C.
5.D 解析：由 得 ，但不知 的符号，于是无法判断 的大小，
A 错误；同理排除 B，C.因为 在 上单调递增，所以可得 ，故选 D.
6.D 解析：2 弧度的角是第二象限角，所以 ，排除 A；3 弧度的角是第二象限角，
所以 ，排除 B； ，排除 C； ，D
成立.故选 D.
7.C 解 析 ： 由 已 知 得 ， 则 ， A 错 误 ；
，B 错误；
，C 正确；
，D 错误.故选 C.
8.A 解析：由已知得
，故选 A.
9. A 解析：由函数 图象知 ， ， ，所以 ，
{ }3,5,13,17,19UC A = ( ) =BACU { }5,13
3 3 3 3
2 1log 2 log 6 log log 16 3- = = = -
2 2 2 1a a- - = 3a = 1a = - ( )f x ( )+∞,0
3a =
( )sin sin sin cos cos sin 2sin cosA B C B C B C B C= + = + =
sin cos cos sin 0B C B C- = ( )sin 0B C- = B C=
2 2m n< m n< ,m n 2 2log ,logm n
3y x= R 3 3m n<
sin 2 0>
cos3 0< ( ) 3sin3sin =−π αααα sin2cossin22sin ≤=
0 0sin 2y x= ( )0 0 0sin 2 sin 2x x y- = - = -
( ) 0000 2sin2sin22sin yxxx −=−=+=
+ ππ
( ) 0000 2sin2sin22sin yxxx ==−=
− ππ
( ) ( ) 0000 2sin22sin2sin yxxx −=−=−=− ππ
41
22
21
12
tan1
tan2
tan1
1tan2tan4tan 2 −
×++
−=−++
−=+
− α
α
α
ααπα
1 4 13 3= - = -
( )f x 1A = 6412
5
4
πππ =−=T
ω
ππ 2
3
2 ==T 3=ω又点 在图象上，知 ，解得 ，符合 ，故选 A.
10.B 解析：函数 的值域为 ，①错误；函数 在区间 上单调递减，
在 上单调递增，②错误；函数 的图象关于直线 对称，③正确；因 ，
所以函数 的图象与直线 不可能有交点，④正确.正确结论的个数为 2，
故选 B.
11.B 解析：令 （ ），
，所以函数 f(x)为奇函数，
图象关于原点对称，由此排除 A，D 两个选项．
当 时， ，而 为第二象限角，所以 ，而 ，
所以 ，由此排除 C 选项．故 B 选项符合．
故选 B．
12. C 解 析 ： 不 等 式 可 化 为 ， 即
，则函数 是 上的增函数，又 ，于是
不 等 式 可 化 为 ， 所 以
，即 ，解得 ，故选 C.
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将每题的正确答案填在题中的横线上）
13. 解析：由已知得 ，解得 且 ，故其定义域为
.
( )
2019
sin
log 2 2x x
xf x −
=
− [ ) ( ]3,0 0,3x −∈
( ) ( )
2019
sin
log 2 2x x
xf x f x−
− = − = −
−
3x =
2019
sin3
63log 8
y = 3 sin3 0> 2019
63log 08
>
2019
sin3 063log 8
y = >
0,4
π πϕπ =+
4
3
4
πϕ = πϕ <
( )f x [ )+∞,1 ( )f x [ )0,1
[ )+∞,1 ( )f x 1x = 02 ≤−= ay
( )f x ( )Raay ∈−= 2
( ) ( )1 2
1 2
3f x f x
x x
- >-- ( ) ( ) ( )1 2 1 23f x f x x x- < - -
( ) ( )1 1 2 23 3f x x f x x+ < + ( ) ( ) 3F x f x x= + R ( )1 4F =
( )[ ] ( )23log316log23log 222 −−- 2≠x
( ) ( )+∞− ,22,1 14. 解析：
.
15.5 解析：由已知得
， 于 是 ， 又 ， 则
.
16. 解 析 ： 由 已 知 得 ， 设 ， 则
， ， 于 是
.
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本题满分 10 分）
解：（Ⅰ）当 时， ，…………… 2 分
又 ，则 ；……………4 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，
当 时， ，解得 ，符合题意；……………6 分
当 时， ，解得 ，符合题意. ……………8 分
综上所述，实数 的取值范围为 .……………10 分
18.（本题满分 12 分）
解：（Ⅰ）由已知可得 ，……………1 分
根据三角函数的定义知 ，……………3 分
3
2 sin39 cos21 sin51 sin 21 sin39 cos21 cos39 sin 21+ = +
( ) 3sin 39 21 sin 60 2= + = =
( ) ( ) ( )2 2tan tan4 1 4 1x xf x f x x x-+ - = + + + -+ +
214
42
14
2 =+
×++=
x
x
x ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 1 2f f f f- + = - + = ( )0 1f =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 0 1 2 5f f f f f- + - + + + =
( ]12,0 −
∈
3,0
π
A sin cost A A= +
( ]2,14sin2cossin ∈
+=+= π
AAAt 22sin cos 1A A t= -
( ) ( ]12,011
1
cossin1
cossin2 2
−∈−=+
−=++= tt
t
AA
AAAf
4a = [ ]1,7B = -
[ )+∞= ,1A [ )+∞−= ,1BA
[ )+∞= ,1A
φ=B 3 3a a- > + 0a <
φ≠B
≥−
+≤−
13
33
a
aa 20 ≤≤ a
a ( ]2,∞−
( ) 223 4 5OP = + - =
5
3cos,5
4sin =−= αα所以 .……………5 分
（Ⅱ）根据诱导公式知 …9 分
.……………12 分
或者由（Ⅰ）可知 ，……………7 分
根据诱导公式知
……10 分
.……………12 分
19.（本题满分 12 分）
解：（Ⅰ）由已知得
，……………3 分
于是 ，所以 ，即 ，……………5 分
由 ，解得 ，
又 ，所以函数 在 上的单调递增区间为 .………7 分
（Ⅱ）由条件得 ，……………9 分
令 ，解得
( ) xxxf ωπω cos6sin +
−=
5
7
5
3
5
4cossin −=−−=− αα
( )
( ) ( )ααπ
απαπ
−++
+++
sin2cos
2cossin
αα
α
αα
αα
sincos
sin2
sincos
sinsin
−
−=−
−−=
7
8
5
7
5
8
5
4
5
3
5
42
==
−−
−×−
=
3
4tan −=α
( )
( ) ( )ααπ
απαπ
−++
+++
sin2cos
2cossin
α
α
αα
α
αα
αα
tan1
tan2
sincos
sin2
sincos
sinsin
−
−=−
−=−
−−=
7
8
3
7
3
8
3
41
3
42
==
−−
−×−
=
xxx ωωω coscos2
1sin2
3 +−=
+=+=
6sincos2
1sin2
3 πωωω xxx
ππ
ω
π =×== 22
2T 2=ω ( )
+=
62sin
π
xxf
226222
πππππ +≤+≤− kxk 63
ππππ +≤≤− kxk
[ ]π,0∈x ( )f x [ ]π,0
πππ
,3
2,6,0
xxxgy 2cos662sin)( =
+
+== ππ
22
ππ += kx Zkkx ∈+= ,42
ππ故 图象的对称中心坐标为 ..……………12 分
20.（本题满分 12 分）
解：（Ⅰ）由题意可得 ，整理得 ，……………2 分
消去 得 ，解得 或 ……………4 分
所以当 时， ， ；
当 时， ， .
综上所述，函数 的解析式为 或 .………6 分
（Ⅱ）因 ，于是 ，……………7 分
，……………8 分
要使函数 在区间 上单调递增，
则必须满足 ，……………10 分
解得 ，所以实数 的取值范围为 .……………12 分
21.（本题满分 12 分）
解：（Ⅰ）因函数 中， 随 的增长而增长的速度越来越快，而函数
中 ， 随 的 增 长 而 增 长 的 速 度 越 来 越 慢 ， 根 据 已 知 条 件 应 选
更合适. ……………3 分
由已知得 ，解得 ，……………5 分
所以函数解析式为 .……………6 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当 时， ，所以原先投放的此生物的面积为 8 平方米；
( )y g x= ( )Zkk ∈
+ 0,42
ππ
=−=∆
=+−−
016
143)3(
2
2
ab
ba
=
+=
ab
ab
16
13
2
b 29 10 1 0a a- + = 1a = 1
9a =
1a = 4b = ( ) 2 4 4f x x x= + +
1
9a = 4
3b = ( ) 21 4 49 3f x x x= + +
( )f x ( ) 2 4 4f x x x= + + ( ) 21 4 49 3f x x x= + +
Za ∈ ( ) 2 4 4f x x x= + +
( ) ( )[ ] ( )[ ]44lnln 2 +−+=−= xkxkxxfxg
( )g x [ )+∞,2
( )
>+×−+
≤−−
04242
22
4
2 k
k
8k < k ( )8,∞−
( )1,0 >>⋅= akaky x y x
( )0y p x q p= + > y x
( )1,0 >>⋅= akaky x
=⋅
=⋅
27
18
3
2
ak
ak
=
=
8
2
3
k
a
( )Nxy
x
∈
⋅=
2
38
0x = 8y =设 经 过 个 月 该 水 域 中 此 生 物 的 面 积 是 当 初 投 放 的 1000 倍 ， 则 有
，……………8 分
解得 ，……………11 分
所以约经过 17 个月，该水域中此生物的面积是当初投放的 1000 倍. ……………12 分
22.（本题满分 12 分）
解：由已知得
……………2 分
（Ⅰ）当 时， ， ，
要 使 对 任 意 恒 成 立 ， 令 ， 则 ，
对任意 恒成立，
只需 ，……………4 分
解得 ，所以实数 的取值范围为 .……………5 分
（Ⅱ）假设同时存在实数 和正整数 满足条件，函数 在 上恰有
2019 个零点，即函数 与直线 在 上恰有 2019 个交点. ………6 分
当 时， ，
①当 或 时，函数 与直线 在 上无交点，
②当 或 时，函数 与直线 在 上仅有一个交点，
此时要使函数 与直线 在 上恰有 2019 个交点，则 ；…8 分
[0,π]
x
100082
38 ×=
⋅
x
1730.048.0
3
2lg3lg
1000lg ≈−≈−=x
( ) 1cos4sin22 −⋅
+= xxxf
π
1cos4sincos4cossin22 −⋅
+= xxx
ππ
+=+=−+=
42sin22cos2sin1cos2cossin2 2 π
xxxxxx
−∈
8,8
ππ
x
∈+
2,042
ππ
x [ ]1,042sin ∈
+ π
x ( ) [ ]2,0∈xf
( ) ( ) 02 ≤−− mxmfxf
−∈
8,8
ππ
x ( )t f x= [ ]2,0∈t
( ) 02 ≤−−= mmttth [ ]2,0∈t
( )
( )
≤−−=
≤−=
0222
00
mmh
mh
222 −≥m m [ )+∞− ,222
a n ( ) ( )g x f x a= - [ ]πn,0
( )y f x= y a= [ ]πn,0
[ ]π,0∈x
∈+
4
9,442
πππ
x
2a > 2a < - ( )y f x= y a= [ ]πn,0
2a = 2a = - ( )y f x= y a=
( )y f x= y a= [ ]πn,0 2019n =③当 或 时，函数 与直线 在 上有两个交点，此时
函数 与直线 在 上有偶数个交点，不可能有 2019 个交点，不符合；
④当 时，函数 与直线 在 上有 3 个交点，此时要使函数
与直线 在 上恰有 2019 个交点，则 ；……………11 分
综上可得，存在实数 和正整数 满足条件，当 时 ；当 时，
；当 时， ．……………12 分
[0,π]
[0,π]
2 1a- < < 1 2a< < ( )y f x= y a=
( )y f x= y a= [ ]πn,0
1a = ( )y f x= y a= ( )y f x=
y a= [ ]πn,0 1009n =
a n 2a = 2019n = 2a = -
2019n = 1a = 1009n =
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