理科数学月考
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第 I 卷（选择题)
一、单选题（每小题 5 分，共 60 分)
1．已知复数 （ 是虚数单位），则 （ 是 的共轭复数）的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．设 是可导函数,且满足 ,则曲线 在点 处
的切线斜率为( )
A．4 B．-1 C．1 D．-4
3．如图是函数 的导函数 的图象,则下列说法正确的是( )
A． 是函数 的极小值点
B．当 或 时,函数 的值为 0
C．函数 关于点 对称
D．函数 在 上是增函数
4．若数列 是等差数列， ，则数列 也为等差数列，类比这一性
质可知，若 是正项等比数列，且 也是等比数列，则 的表达式应为（ ）
2
1
iz i
+= − i z z z
1
2
1
2
− 3
2
3
2
−
( )f x
( ) ( )
0
1 1lim 22x
f f x
x∆ →
− + ∆ =∆
( )y f x= ( )( )1, 1f
( )y f x= ( )'y f x=
x a= ( )y f x=
x a= − x b= ( )f x
( )y f x= ( )0,c
( )y f x= ( ),b +∞
{ }na 1 2 ... n
n
a a ab n
+ + += { }nb
{ }nc { }nd ndA． B．
C． D．
5．已知函数 是偶函数，当 时， ，则曲线 在 处的
切线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．观察下列各式： ， ， ，…，则 的末四位数字为（ ）
A．3125 B．5625 C．0625 D．8125
7．已知复数 ，且 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．用反证法证明命题：“ ，且 ，则 中至
少有一个负数”时的假设为（ ）
A． 至少有一个正数
B． 全为正数
C． 全都大于等于
D． 中至多有一个负数
9．若关于 x 的方程 x3－3x＋m＝0 在[0,2]上有根，则实数 m 的取值范围是( )
A．[－2,0] B．[0,2] C．[－2,2] D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
10．函数 的定义域为 ， ，对任意 ， ，则
的解集为（ ）
A． B． C． D．
11．若函数 存在单调递减区间,则实数 b 的取值范围为( )
A． B． C． D．
12．已知 , 是 的导函数，则
1 2 ... n
n
c c cd n
+ + += 1 2. ... n
n
c c cd n
=
1 2 ...n n n
n
n
c c cd n
+ + += 1 2. ...n nd c c c=
( )f x 0x > ( ) ln 1f x x x= + ( )y f x= 1x = −
y x= − 2y x= − + y x= 2y x= −
55 3125= 65 15625= 75 78125= 20195
( , )z x yi x y R= + ∈ | 2 | 3z − = 1y
x
+
3 6 2 6+ 2 6−
, , , , 1, 1a b c d R a b c d∈ + = + = 1ac bd+ > a b c d, ,,
a b c d, ,,
a b c d, ,,
a b c d, ,, 0
a b c d, ,,
( )f x R ( )1 2f − = x∈R ( ) 2f x′ > ( ) 2 4f x x> +
( )1,1− ( )1,− +∞ ( ), 1−∞ − ( ),−∞ +∞
21( ) ln 2f x x x bx= + −
[2, )+∞ (2, )+∞ ( ,2)−∞ ( ,2]−∞
( ) ( )2
2
1 sin
1
x xf x x
+ += + ( )f x′ ( )f x ( ) ( )2019 2019f f ′+ +（ ）
A．8056 B．4028 C．1 D．2
第 II 卷（非选择题)
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分)
13． 已知函数 y＝ 的图像在点 M(1，f(1))处的切线方程是 ，则
＝________.
14．若 ,则 =___________
15．集合 ，现有甲、乙、丙三人分别对 ， ， 的值给出了预测，甲说
，乙说 ，丙说 .已知三人中有且只有一个人预测正确，那么
__________.
16．已知定义在 R 上的可导函数 f (x)的导函数为 ，满足 ＜f (x)，且 f (x＋2)为偶
函数，f (4)＝1，则不等式 f (x)＜ex 的解集为________．
三、解答题（第 17 题 10 分，18-22 题每题 12 分)
17．已知：复数 与 在复平面上所对应的点关于 y 轴对称，且 （i 为虚
数单位），| |= ．
（I）求 的值；
（II）若 的虚部大于零，且 （m，n∈R），求 m，n 的值．
18．选择恰当的方法证明下列各式：
（1） ；
( ) ( )2019 2019f f ′− − − =
( )f x 1 22y x= ＋ ( ) ( )1 ' 1f f＋
4 7
12
(1 ) ( 1 3 )
(1 )
i iz i
+ − −= − z
{ , , } {1,2,3}a b c = a b c
3a ≠ 3b = 1c ≠ 10 100a b c+ + =
( )'f x ( )'f x
1z 2z 1 2(1 ) (1 )z i z i− = +
1z 2
1z
1z 1
1
m z n iz
+ = +
( )1 2 1n n n n n N ∗+ − > + − + ∈理科数学月考答案
第 I 卷（选择题)
一、单选题（每小题 5 分，共 60 分)
1--5． DDDDA 6--10．DCCCB 11--12．BD
第 II 卷（非选择题)
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分)
13． 3 14． 15． 213 16．
三、解答题（第 17 题 10 分，18-22 题每题 12 分)
17．（I） 或 （II）
【详解】
（I）设 （x，y∈R），则 =－x+yi，
∵z1（1－i）= （1+i），| |= ，∴ ，
∴ 或 ，即 或
（II）∵ 的虚部大于零，∴ ，∴ ，
则有 ，∴ ，∴ ．
18．（1）要证： 即证
，
即证
恒成立，得证；
（2）要证 ，即证 ，
8 (0, )+∞
1 1z i= − 1 1z i= − + 4, 1m n= − =
1z x yi= + 2z
2z 1z 2 2 2
( )(1 ) ( )(1 )
2
x yi i x yi i
x y
+ − = − + +
+ =
1
1
x
y
=
= −
1
1
x
y
= −
= 1 1z i= − 1 1z i= − +
1z 1 1z i= − +
1 1z i= − −
( 1 )1
m i n ii
+ − − = +− +
12
1 12
m n
m
− − =
− − =
4
1
m
n
= −
=
( )1 2 1n n n n n N ∗+ − > + − + ∈
( )*2 1 2n n n n N+ > + + ∈
( ) ( ) ( ) ( )4 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2n n n n n n n n n n+ > + + + ⇒ + > + ⇔ + > +
2 22 1 2n n n n⇔ + + > +
a b a b
b a
+ ≥ + ( )2a bb a a b
b a
+ + + ≥ + 因为 ， ，由基本不等式可得 ， ，
当且仅当 时，上述两个不等式取等号，
由不等式的基本性质可得 ，
所以 成立.
19．（1） （2）
【详解】
（Ⅰ）f（x）＝x3＋ax2＋bx，f¢（x）＝3x2＋2ax＋b ………………1 分
由 f¢（ ）＝ ，f¢（1）＝3＋2a＋b＝0 ………………3 分
得 a＝ ，b＝－2 …………………………………5 分
经检验，a＝ ，b＝－2 符合题意
………………6 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 f¢（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1）， ………………7 分
列表如下：
x （－2，－ ） － （－ ，1） 1 （1，2）
f¢（x） ＋ 0 － 0 ＋
f（x） 极大值 ¯ 极小值
…………9 分
…………11 分
………12 分
0a > 0b > 2a b a
b
+ ≥ 2b a b
a
+ ≥
a b=
( )2a bb a a b
b a
+ + + ≥ +
a b a b
b a
+ ≥ +
3 21( ) 22f x x x x= − − ( )max (2) 2, ( )min ( 2) 6f x f f x f= = = − −
2
3
－ 12 4 a b 09 3
－ ＋ ＝
1
2
－
1
2
－
2
3
2
3
2
3
[ ] 2 222,2 ( )max ( ) , ( )min ( 2) 63 27x f x f f x f∈ − = − = = − = −所以在 上，20．（1）单调递减区间是 ，单调递增区间是 ；（2） .
【详解】
（1）函数 的定义域为 ， ，
又曲线 在点 处的切线与直线 平行
所以 ，即
，
由 且 ，得 ，即 的单调递减区间是
由 得 ，即 的单调递增区间是 .
（2）由（1）知不等式 恒成立可化为 恒成立
即 恒成立
令
当 时， ， 在 上单调递减.
当 时， ， 在 上单调递增.
所以 时，函数 有最小值
由 恒成立
得 ，即实数 的取值范围是 .
21．（1） ；（2）见解析
【详解】
(1):假设存在符合题意的常数 a，b，c，
在等式 1•22+2•32+…+n（n+1）2
10, 2
1 ,2
+∞
1,1 e
−∞ −
( )f x { }0x x ( ) 2
1 2af x x x
= − +′
( )y f x= ( )( )1, 1f 2y x=
( )1 1 2 2f a= − + =′ 1a =
( ) 1ln 2f x x xx
∴ = + + ( ) ( )( ) ( )2
1 2 1 0x xf x xx
+ −= >′
( ) 0f x′ < 0x > 10 2x< < ( )f x 10, 2
( ) 0f x′ > 1
2x > ( )f x 1 ,2
+∞
( ) 2 mf x x x
≥ + 1ln 2 2 mx x xx x
+ + ≥ +
ln 1m x x≤ ⋅ +
( ) ( )ln 1 ln 1g x x x g x x′= ⋅ + = +
10,x e
∈
( ) 0g x′ < ( )g x 10, e
1 ,x e
∈ +∞
( ) 0g x′ > ( )g x 1 ,e
+∞
1x e
= ( )g x
ln 1m x x≤ ⋅ +
11m e
≤ − m 1,1 e
−∞ −
3, 11, 10a b c= = == （an2+bn+c）中，
令 n=1，得 4= （a+b+c）①
令 n=2，得 22= （4a+2b+c）②
令 n=3，得 70=9a+3b+c③
由①②③解得 a=3，b=11，c=10，
于是，对于 n=1，2，3 都有
1•22+2•32+…+n（n+1）2= （3n2+11n+10）（*）成立．
(2)下面用数学归纳法证明：对于一切正整数 n，（*）式都成立．
（1）当 n=1 时，由上述知，（*）成立．
（2）假设 n=k（k≥1）时，（*）成立，
即 1•22+2•32+…+k（k+1）2
= （3k2+11k+10），
那么当 n=k+1 时，
1•22+2•32+…+k（k+1）2+（k+1）（k+2）2
= （3k2+11k+10）+（k+1）（k+2）2
= （3k2+5k+12k+24）
= [3（k+1）2+11（k+1）+10]，
由此可知，当 n=k+1 时，（*）式也成立．
综上所述，当 a=3，b=11，c=10 时题设的等式对于一切正整数 n 都成立．
22．（1）见解析（2）a∈（- e，-2 ）．
【详解】
（1）f（x）的定义域为（0，+ ）．
由 f（x）=-a2lnx+x2-ax（a∈R）
可知 f'（x）= ，
所以若 a>0，则当 x∈（0，a）时，f'（x）0 在（0，+ ）内恒成立，函数 f（x）单调递增；
若 a0，则函数 f（x）单调递增．
（2）若 a>0，f（x）在（0，a）单调递减，在（a，+ ）单调递增．
若 a
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