中考必会几何模型:三垂直全等模型解析
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中考必会几何模型:三垂直全等模型解析

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时间:2020-06-02

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资料简介
1 三垂直全等模型 模型 三垂直全等模型 如图:∠D=∠BCA=∠E=90°,BC=AC. 结论:Rt△BCD≌Rt△CAE. 模型分析 说到三垂直模型,不得不说一下弦图,弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位,很多 利用垂直求角,勾股定理求边长,相似求边长都会用到从弦图支离出来的一部分几何图形去求解.图 ①和图②就是我们经常会见到的两种弦图. 三垂直图形变形如下图③、图④,这也是由弦图演变而来的. 例 1 如图,AB⊥BC,CD⊥BC,AE⊥DE,AE=DE,求证:AB+CD=BC. 证明:∵AE⊥DE,AB⊥BC,DC⊥BC, ∴∠AED=∠B=∠C=90°. ∴∠A+∠AEB=∠AEB+∠CED=90°. ∴∠BAE=∠CED. 在△ABE 和△ECD 中, ∴△ABE≌△ECD. ∴AB=EC,BE=CD. ∴AB+CD=EC+BE=BC. 例 2 如图,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE,AD⊥CE 于 D,AD=2.5cm,BE=0.8cm,则 DE 的 长为多少? 解答:∵BE⊥CE,AD⊥CE, ∴∠E=∠ADC=90° . ∴∠EBC+∠BCE=90°. ∵∠BCE+∠ACD=90°, ∴∠EBC=∠DCA. 在△CEB 和△ADC 中, ∴△CEB≌△ADC ∴BE=DC=0.8cm,CE=AD=2.5cm. ∴DE=CE-CD=2.5-0.8=1.7cm. 图① 图② 图③ A B CD E 图④ D E A B C B C A CED AE ED ∠ = ∠ ∠ = ∠  = E ADC EBC DCA BC AC ∠ = ∠ ∠ = ∠  = A B CD E D A EB C E D A B C2 例 3 如图,在平面直角坐标系中,等腰 Rt△ABC 有两个顶点在坐标轴上,求第三个顶点的坐标. 解答:(1)如图③,过点 B 作 BD⊥x 轴于点 D. ∴∠BCD+∠DBC=90°. 由等腰 Rt△ABC 可知,BC=AC,∠ACB=90°, ∴∠BCD+∠ACO=90°. ∴∠DBC=∠ACO. 在△BCD 和△CAO 中, ∴△BCD≌△CAO. ∴CD=OA,BD=OC. ∵OA=3,OC=2. ∴CD=3,BD=2. ∴OD=5. ∴B(-5,2). (2)如图④,过点 A 作 AD⊥y 轴于点 D. 在△ACD 和△CBO 中, ∴△ACD≌△CBO. ∴CD=OB,AD=CO. ∵B(-1,0),C(0,3) ∴OB=1,OC=3. ∴AD=3,OD=2. ∴OD=5. ∴A(3,2). x y 图① B A(0,3) C(-2,0) O BDC AOC DBC ACO BC AC ∠ = ∠ ∠ = ∠  = ADC COB DAC OCB AC CB ∠ = ∠ ∠ = ∠  = x y 图③ B A(0,3) C(-2,0) OD x y 图④ C(0,3) A OB(-1,0) D3 跟踪练习 1.如图,正方形 ABCD,BE=CF.求证:(1)AE=BF;(2)AE⊥BF. 证明: (1)∵四边形 ABCD 是正方形, ∴AB=BD,∠ABC=∠BCD=90°. 在△ABE 和△BCF 中, ∴△ABE≌△BCF. ∴AE=BF. (2)∵△ABE≌△BCF. ∴∠BAE=∠CBF. ∵∠ABE=90°, ∴∠BAE+∠AEB=90°.∴∠CBF+∠AEB=90°.∴∠BGE=90°, ∴AE⊥BF. 2.直线 l 上有三个正方形 a、b、c,若 a、c 的面积分别是 5 和 11,则 b 的面积是_____. 解答:∵a、b、c 都是正方形, ∴AC=CD,∠ACD=90°. ∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°, ∴∠BAC=∠DCE. 在△ABC 和△CBE 中, ∴△ACB≌△CDE. ∴AB=CE,BC=DE. 在 Rt△ABC 中, = + = + 即 = + =5+11=16. 3.已知,△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,点 P 为 BC 上一动点(BP

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