高三一轮检测
数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在
答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集 ，集合 ， ，则阴影部分表示的集合是
（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出集合 N 的补集 ，再求出集合 M 与 的交集，即为所求阴影部分表示的集合.
【详解】由 ， ，可得 或 ，
又
所以 .
故选：D.
【点睛】本题考查了韦恩图表示集合，集合的交集和补集的运算，属于基础题.
2.已知复数 ，其中 ， ， 是虚数单位，则 （ ）
U = R { | 3 1}M x x= − < < { || | 1}N x x=
[ 1,1]− ( 3,1]− ( , 3) ( 1, )−∞ − − +∞ ( 3, 1)− −
U N U N
U = R { || | 1}N x x= { 1U N x x= < − 1}x >
{ | 3 1}M x x= − < <
{ 3 1}UM N x x∩ = − < < −
2 1ai bii
− = − a b R∈ i a bi+ =A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试 题 分 析 ： 由 , 得 , 则
，故选 D
考点：1、复数的运算；2、复数的模.
3.已知 的展开式中的常数项为 8，则实数 （ ）
A. 2 B. -2 C. -3 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】
先求 的展开式，再分类分析 中用哪一项与 相乘，将所有结果为常数
的相加，即为
展开式的常数项，从而求出 的值.
【详解】 展开式的通项为 ，
当 取 2 时，常数项为 ，
当 取 时，常数项为
由题知 ，则 .
故选：A.
【点睛】本题考查了两个二项式乘积的展开式中的系数问题，其中对 所取的项要进
行分类讨论，属于基础题.
4.已知函数 ，且 )，则“ 在 上是单调函数”是
“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分
也不必要条件
【答案】C
1 2i− + 1 5 5
2 1ai bii
− = − ( )2 1 , 1, 2ai i bi b i a b− = − = + ∴ = − =
( )2 21 2 , 1 2 1 2 5a bi i a bi i+ = − + ∴ + = − + = − + =
31(2 )(1 )mx x
− − m =
31(1 )x
− (2 )mx− 31(1 )x
−
31(2 )(1 )mx x
− − m
31(1 )x
− 3
1 3 3
11 ( ) ( 1)r r r r r r
rT C C xx
− −
+ = ⋅ − = ⋅ −
(2 )mx− 0
32 2C× =
(2 )mx− mx− 1 1
3 ( 1) 3m C m− × × − =
2 3 8m+ = 2m =
(2 )mx−
( ) log (| 2 | )( 0af x x a a= − − > 1a ≠ ( )f x (3, )+∞
0 1a< 1a ≠
2 0x a− − > 2x a< − 2x a> +
( )f x { 2x x a< − 2 }x a> + 0,a > 1a ≠
2t x a= − − ( ,2 )a−∞ − (2 , )a+ +∞
( )f x (3, )+∞
2 3
0
1
a
a
a
+ ≤
>
≠
0 1a< <
R ( )f x [ 2,2)x∈ − 1( ) 43
x
f x x = − −
( ) ( )3 3log 6 log 54f f− + =
3
2 3
3 log 22
− 1
2
−
3
2 log 23
+
[ 2,2)x∈ − 3(log 54)f 3
2(log )3f
( )3log 6f −
R ( )f x
3 3 3
2(log 54) (log 54 4) (log )3f f f∴ = − =当 时， ，
， ，
.
故选：A.
【点睛】本题考查了利用函数的周期性求函数值，对数的运算性质，属于中档题.
6.如图，在 中，点 是 的中点，过点 的直线分别交直线 ， 于不同的两
点 ，若 ， ，则 （ ）
A. 1 B. C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】
连接 AO，因为 O 为 BC 中点，可由平行四边形法则得 ，再将其用 ，
表示.由 M、O、N 三点共线可知，其表达式中的系数和 ，即可求出 的值.
【详解】连接 AO，由 O 为 BC 中点可得，
，
、 、 三点共线，
[ 2,2)x∈ − 1( ) ( ) 43
xf x x= − −
3log 6 [ 2,2)− ∈ − 3
2log [ 2,2)3
∈ −
( ) ( )3 3log 6 log 54f f∴ − +
33
2loglog 6
3
3
3
1 1 2( ) ( log 6) 4 ( ) log 43 3 3
−= − − − + − −
1 1
3 3
3log 6 log 2
3 3
1 1 2( ) ( ) (log 6 log ) 83 3 3
= + + − −
3
3 36 log (6 ) 82 2
= + + × −
3
2
=
ABC O BC O AB AC
M N， AB mAM= AC nAN= m n+ =
3
2
1 ( )2AO AB AC= + AM
AN 12 2
m n+ = m n+
1 ( )2 2 2
m nAO AB AC AM AN= + = +
M O N，
.
故选：C.
【点睛】本题考查了向量的线性运算，由三点共线求参数的问题，熟记向量的共线定理是关
键.属于基础题.
7.一个封闭的棱长为 2 的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一
半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大
高度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知可知水面的最大高度为正方体面对角线长的一半，由此得到结论．
【详解】正方体的面对角线长为 ，又水的体积是正方体体积的一半，
且正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，
所以容器里水面的最大高度为面对角线长的一半，
即最大水面高度为 ，故选 B.
【点睛】本题考查了正方体的几何特征，考查了空间想象能力，属于基础题．
8.抛物线 的焦点为 ，准线为 ， ， 是抛物线上的两个动点，且满足
12 2
m n∴ + =
2m n∴ + =
1 2 3 2 2
2 2
2
F l A B，设线段 的中点 在 上的投影为 ，则 的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：设 在直线 上 投影分别是 ，则 ， ，
又 是 中点，所以 ，则 ，
在 中
， 所 以
，即 ，所以 ，故选 B．
考点：抛物线的性质．
【名师点晴】在直线与抛物线的位置关系问题中，涉及到抛物线上的点到焦点的距离，焦点
弦长，抛物线上的点到准线（或与准线平行的直线）的距离时，常常考虑用抛物线的定义进
行问题的转化．象本题弦 的中点 到准线的距离首先等于 两点到准线距离之和的一
半，然后转化为 两点到焦点 的距离，从而与弦长 之间可通过余弦定理建立关
系．
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分.
9.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、
90 后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论正确的是（ ）
注：90 后指 1990 年及以后出生，80 后指 1980-1989 年之间出生，80 前指 1979 年及以前出生.
的
2
3AFB
π∠ = AB M l N
MN
AB
3
4
3
3
3
2 3
,A B l 1 1,A B 1AF AA= 1BF BB=
M AB 1 1
1 ( )2MN AA BB= + 1 11
2
MN AA BB
AB AB
+= ⋅
2
AF BF
AB
+=
ABF∆ 2 2 2AB AF BF= + 22 cos 3AF BF
π− 2 2AF BF AF BF= + +
2( )AF BF AF BF= + − 2( )AF BF≥ + 2( )2
AF BF+− 23 ( )4 AF BF= +
2
2
( ) 4
3
AF BF
AB
+ ≤ 2 3
3
AF BF
AB
+ ≤ 3
3
MN
AB
≤
AB M ,A B
,A B F ABA. 互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上
B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 20%
C. 互联网行业中从事运营岗位的人数 90 后比 80 前多
D. 互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后比 80 后多
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据扇形统计图和条状图，逐一判断选项，得出答案.
【详解】选项 A：因为互联网行业从业人员中，“90 后”占比为 56％，
其中从事技术和运营岗位的人数占的比分别为 39.6％和 17％，
则“90 后”从事技术和运营岗位的人数占总人数的
.“80 前”和“80 后”
中必然也有从事技术和运营岗位的人，则总的占比一定超过三成，
故选项 A 正确；
选项 B：因为互联网行业从业人员中，“90 后”占比为 56％，
其中从事技术岗位的人数占的比为 39.6％，则“90 后”从事技术
岗位的人数占总人数的 .“80 前”和“80 后”
中必然也有从事技术岗位的人，则总的占比一定超过 20％，故选项 B 正确；
选项 C：“90 后”从事运营岗位的人数占总人数的比为 ，
大于“80 前”的总人数所占比 3％，故选项 C 正确；
选项 D：“90 后”从事技术岗位的人数占总人数的 ，
“80 后”的总人数所占比为 41％，条件中未给出从事技术岗位的占比，
0 0 0 00 0 0 056 (39.6 17 ) 31.7× + ≈
0 0 00 0 056 39.6 22.2× ≈
0 0 00 0 056 17 9.5× ≈
0 0 00 0 056 39.6 22.2× ≈故不能判断，所以选项 D 错误.
故选：ABC.
【点睛】本题考查了扇形统计图和条状图的应用，考查数据处理能力和实际应用能力，属于
中档题.
10.下列说法正确的是（ ）
A. “ ”是“点 到直线 的距离为 3”的充要条件
B. 直线 的倾斜角的取值范围为
C. 直线 与直线 平行，且与圆 相切
D. 离心率为 的双曲线的渐近线方程为
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据点到直线的距离公式判断选项 A 错误；根据直线斜率的定义及正切函数的值域问题判断
选项 B 正确；根据两直线平行的判定及直线与圆相切的判定，可判断选项 C 正确；根据双曲
线渐近线的定义可判断选项 D 错误.
【详解】选项 A：由点 到直线 的距离为 3，
可得： ，解得 或 ，
“ ”是“点 到直线 的距离为 3”的充分不必要条件，
故选项 A 错误；
选项 B：直线 的斜率 ，
设直线的倾斜角为 ，则 或 ，
，故选项 B 正确；
选项 C：直线 可化为 ，
其与直线 平行，
5c = (2,1) 3 4 0x y c+ + =
sin 1 0x yα − + = 3[0, ] [ , )4 4
π π π∪
2 5y x= − + 2 1 0x y+ + = 2 2 5x y+ =
3 2y x= ±
(2,1) 3 4 0x y c+ + =
6 4 35
c+ + = 5c = 25−
5c = (2,1) 3 4 0x y c+ + =
sin 1 0x yα − + = sin [ 1,1]k α= ∈ −
θ 0 tan 1θ≤ < 1 tan 0θ− ≤ <
3[0, ] [ , )4 4
θ π π π∴ ∈
2 5y x= − + 2 5 0x y+ − =
2 1 0x y+ + =圆 的圆心 到直线 的距离为：
，
则直线 与圆 相切，故选项 C 正确；
选项 D：离心率为 ，则
若焦点在 x 轴，则双曲线的渐近线方程为 ，
若焦点在 y 轴，则双曲线的渐近线方程为 ，
故选项 D 错误.
故选：BC.
【点睛】本题考查了点到直线的距离，直线的斜率的定义，两直线的平行关系的判断，直线
与圆的相切的判断，双曲线的渐近线方程，知识点较繁杂，需要对选项逐一判断.属于中档题.
11.已知 是两个不重合的平面， 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则 与 所成的角
和 与 所成的角相等
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据线、面的位置关系，逐一进行判断.
【详解】选项 A：若 ，则 或 ，
又 ，并不能得到 这一结论，故选项 A 错误；
选项 B：若 ，则由线面垂直 性质定理和线面平行的
性质定理可得 ，故选项 B 正确；
选项 C：若 ，则有面面平行的性质定理可知 ，
故选项 C 正确；
的
2 2 5x y+ = (0,0)O 2 5 0x y+ − =
5 5
1 4
d
−= =
+
2 5 0x y+ − = 2 2 5x y+ =
3c
a
= 2b
a
=
2y x= ±
2
2y x= ±
,α β ,m n
, , / /m n m nα β⊥ ⊥ α β⊥ , / /m nα α⊥ m n⊥
/ / ,mα β α⊂ / /m β / / , / /m n α β m α
n β
,m n m α⊥ ⊥ n ⊂ α / /n α
/ /n β α β⊥
, / /m nα α⊥
m n⊥
/ / ,mα β α⊂ / /m β选项 D：若 ，则由线面角的定义和等角定理知， 与
所成的角和 与 所成的角相等，故选项 D 正确.
故选：BCD.
【点睛】本题考查了线面垂直的性质定理，线面平行的性质定理，面面平行的性质定理，以
及线面角的定义和等角定理等基础知识，需要对每个选项逐一进行判断，属于中档题.
12.已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 是周期为 的奇函数 B. 在 上为增函数
C. 在 内有 21 个极值点 D. 在 上恒成立的充要
条件是
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据周期函数的定义判定选项 A 错误；根据导航的符号判断选项 B 正确；根据导函数零点判
定选项 C 错误；根据恒成立以及对应函数最值确定选项 D 正确.
【详解】 的定义域为 R， ，
是奇函数，
但是 ，
不是周期为 的函数，故选项 A 错误；
当 时， ，
， 单调递增，
当 时， ，
， 单调递增，
且 在 连续，故 在 单调递增，
故选项 B 正确；
/ / , / /m n α β m α
n β
| |( ) sinxf x e x=
( )f x 2π ( )f x 3,4 4
π π −
( )f x ( 10 ,10 )π π− ( )f x ax 0, 4
π
1a
( )f x ( ) sin( ) ( )xf x e x f x−− = − = −
( )f x∴
2 2( 2 ) sin( 2 ) sin ( )x xf x e x e x f xπ ππ π+ ++ = + = ≠
( )f x∴ 2π
( ,0)4x
π∈ − ( ) sinxf x e x−=
(cos( ) sin ) 0x xf x e x−′ −= > ( )f x
3(0, )4x
π∈ ( ) sinxf x e x=
(sin) ) 0c( osx xf x e x+′ = > ( )f x
( )f x 3( , )4 4
π π− ( )f x 3( , )4 4
π π−当 时， ， ，
令 得， ，
当 时， ， ，
令 得， ,
因此， 在 内有 20 个极值点，故选项 C 错误；
当 时， ，则 ，
当 时， ，
设 ， ，
令 ，
， 单调递增，
，
， 在 单调递增，
又由洛必达法则知：
当 时，
，故答案 D 正确.
故选：BD.
【点睛】本题考查了奇函数、周期函数定义，三角函数的几何性质，函数的极值，利用导数
研究单调性以及利用导数研究恒成立问题，考查综合分析求解与论证能力，属较难题.
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.已知 ，则 __________．
【答案】
【解析】
[0,10 )x π∈ ( ) sinxf x e x= (sin c )s( ) oxf x e x x+′ =
( ) 0f x′ = ( 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)4x k k
π π= − + =
( 10 ,0)x π∈ − ( ) sinxf x e x−= (co( s) sin )x xf x e x−= −′
( ) 0f x′ = ( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)4x k k
π π= + = − − − − − − − − − −
( )f x ( 10 ,10 )π π−
0x = ( ) 0 0f x ax= ≥ = a R∈
(0, ]4x
π∈ sin( )
xe xf x ax a x
≥ ⇔ ≤
sin( )
xe xg x x
= 2
( sin cos sin )( )
xe x x x x xg x x
+ −′∴ =
( ) sin cos sinh x x x x x x= + − (0, ]4x
π∈
( ) sin (cos sin ) 0h x x x x x′∴ = + − > ( )h x
( ) (0) 0h x h∴ > =
( ) 0g x′∴ > ( )g x (0, ]4
π
0x → 0
sin (sin cos )( ) 11
x x
x
e x e x xg x x =
+= → =
1a∴ ≤
( )3 3 12, , ,sin ,sin4 5 4 13
π πα β π α β β ∈ + = − − = cos 4
πα + =
56
65
−∵ ，
∴ ,
∴ ．
又 ，
∴ ．
∴
．
答案：
14.一个房间的地面是由 12 个正方形所组成，如图所示.今想用长方形瓷砖铺满地面，已知每
一块长方形瓷砖可以覆盖两块相邻的正方形，即 或 ，则用 6 块瓷砖铺满
房间地面的方法有_______种.
【答案】11
【解析】
【分析】
将图形中左侧的两列瓷砖的形状先确定，再由此进行分类，在每一类里面又分按两种形状的
瓷砖的数量进行分类，在其中会有相同元素的排列问题，需用到“缩倍法”. 采用分类计数原
理，求得总的方法数.
3, ,4
πα β π ∈
3 ,22
πα β π + ∈
( ) ( )2 4cos = 1 sin 5
α β α β+ − + =
3,4 2 4
π π πβ − ∈
12sin ,4 13
πβ − =
2 5cos( )= 1 sin ( )4 4 13
π πβ β− − − − = −
cos( ) cos[( ) ( )]4 4
π πα α β β+ = + − − cos( )cos( ) sin ( )sin( )4 4
π πα β β α β β= + − + + −
4 5 3 12 56( ) ( )5 13 5 13 65
= × − + − × = −
56
65
−【详解】（1）先贴如图这块瓷砖，
然后再贴剩下的部分，按如下分类：
5 个 ： ，
3 个 ，2 个 ： ，
1 个 ，4 个 ： ，
（2）左侧两列如图贴砖，
然后贴剩下的部分：
3 个 ： ，
1 个 ，2 个 ： ，
综上，一共有 （种）.
故答案为：11.
【点睛】本题考查了分类计数原理，排列问题，其中涉及到相同元素的排列，用到了“缩倍
法”的思想.属于中档题.
5! 15!
=
4! 43!
=
3! 32!
=
3! 13!
=
2! 2=
1 4 3 1 2 11+ + + + =15.《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、
兑八卦），每一卦由三根线组成（" "表示一根阳线，" "表示一根阴线），从八卦中任
取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
观察八卦中阴线和阳线的情况为 3 线全为阳线或全为阴线各一个，还有 6 个是 1 阴 2 阳和 1
阳 2 阴各 3 个。抽取的两卦中共 2 阳 4 阴的所有可能情况是一卦全阴、另一卦 2 阳 1 阴，或
两卦全是 1 阳 2 阴。
【详解】八卦中阴线和阳线的情况为 3 线全为阳线的一个，全为阴线的一个，1 阴 2 阳的 3 个，
1 阳 2 阴的 3 个。抽取的两卦中共 2 阳 4 阴的所有可能情况是一卦全阴、另一卦 2 阳 1 阴，或
两卦全是 1 阳 2 阴。
∴从 8 个卦中任取 2 卦，共有 种可能，两卦中共 2 阳 4 阴的情况有 ，所
求概率为 。
故答案为： 。
【点睛】本题考查古典概型，解题关键是确定基本事件的个数。本题不能受八卦影响，我们
关心的是八卦中阴线和阳线的条数，这样才能正确地确定基本事件的个数。
3
14
2
8 28C = 1 2
3 3 6C C+ =
6 3
28 14P = =
3
1416.过点 的直线 与直线 垂直，直线 与双曲线
的两条渐近线分别交于点 ，若点 满足 ，则双
曲线 的渐近线方程为_______，离心率为_______.
【答案】 (1). ， (2).
【解析】
【分析】
先求出直线 的方程，将其与双曲线的渐近线方程联立，求得 两点的坐标，进而求得
的中点 的坐标.利用点 满足 ，可知点 在线段 的中垂线上，即
， ，从而可求得 ，再根据 ，求出 ，即可写出渐近线方
程和离心率.
【详解】 过点 的直线 与直线 垂直，
直线 的方程为 ，
双曲线 的两条渐近线方程为 ，
将两个方程联立，可得 ， ，
的中点坐标为 ，
点 满足 ，
点 在线段 的中垂线上，即
，
，
则 ， ，
渐近线方程为 ，离心率为 .
( ,0)( 0)M m m− ≠ l 3 3 0x y+ − = l
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > > ,A B ( ,0)P m | | | |PA PB=
C
1
2y x= ± 5
2
l ,A B AB
N ( ,0)P m | | | |PA PB= ( ,0)P m AB
PN AB⊥ 3PNk = − 1
2
b
a
=
2
2
2 1be a
= + e
( ,0)( 0)M m m− ≠ l 3 3 0x y+ − =
∴ l 3 0x y m− + =
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > by xa
= ±
( , )3 3
ma mbA b a b a− − ( , )3 3
ma mbB b a b a
− + +
AB∴
2 2
2 2 2 2
3( , )9 9
ma mbN b a b a− −
( ,0)P m PA PB=
∴ ( ,0)P m AB PN AB⊥
2
2 2
2
2 2
3 09 3
9
mb
b a
ma mb a
−−∴ = −
−−
2a b∴ =
1
2
b
a
=
2 2
2 2
51 2
c be a a
= = + =
∴ 1
2y x= ± 5
2故答案为： ， .
【点睛】本题考查了双曲线的渐近线和离心率的求法，求直线的方程，两直线的交点坐标，
中点坐标公式.其中将 转化为点 在中垂线上是关键.属于综合性较强的题.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤.
17.在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，
并解答.
已知等差数列 的公差为 ，等差数列 的公差为 .设 分别是数列
的前 项和，且 ， ，
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
方案一：（1）根据等差数列的通项公式及前 n 项和公式列方程组，求出 和 ，从而写出数
列 的通项公式；
（2）由第（1）题的结论，写出数列 的通项 ，采用分组求
和、等比求和公式以及裂项相消法，求出数列 的前 项和 .
其余两个方案与方案一的解法相近似.
【详解】解：方案一：
（1）∵数列 都是等差数列，且 ，
，解得
1
2y x= ± 5
2
| | | |PA PB= ( ,0)P m
5 3A B=
1 2 2
1 1 4
a a B
− =
5 35B =
{ }na ( 0)d d > { }nb 2d ,n nA B
{ } { },n na b n 1 23, 3b A= =
{ } { },n na b
1
32 na
n
n n
c b b +
= + { }nc n nS
, 2 1n na n b n= = + 1 3( 2)2 2 3
n n
n
+ +− +
1a d
{ } { },n na b
{ }nc 3 1 12 2 2 1 2 3
n
nc n n
= + − + +
{ }nc n nS
{ } { }n na b， 2 5 33,A A B= =
1
1
2 3
5 10 9 6
a d
a d d
+ =∴ + = +
1 1
1
a
d
=
=，
综上
（2）由（1）得：
方案二：
（1）∵数列 都是等差数列，且 ，
解得
，
综上，
（2）同方案一
方案三：
（1）∵数列 都是等差数列，且 .
，解得 ，
，
.
1 ( 1)na a n d n∴ = + − =
1 ( 1)2 2 1nb b n d n= + − = +
, 2 1n na n b n= = +
3 3 1 12 2(2 1)(2 3) 2 2 1 2 3
n n
nc n n n n
= + = + − + + + +
2 3 1 1 1 1 1 1(2 2 2 ) [( ) ( ) ( )]2 3 5 5 7 2 1 2 3
n
nS n n
∴ = + + + + − + − + + −+ +
( )2 1 2 3 1 1
1 2 2 3 2 3
n
n
− = + − − +
1 3( 2)2 2 3
n n
n
+ += − +
{ } { }n na b， 2
1 2 2
1 1 43,A a a B
= − =
( )1
1 1
2 3
4 (6 2 )
a d
a a d d d
+ =∴ + = +
1 1
1
a
d
=
=
1 ( 1)na a n d n∴ = + − =
1 ( 1)2 2 1nb b n d n= + − = +
, 2 1n na n b n= = +
{ } { }n na b， 52 3, 35A B= =
12 3
5 43 5 2 352
a d
d
+ =∴ ×× + × =
1 1
1
a
d
=
=
( 1)n ta a n d n∴ = + − =
1 ( 1)2 2 1nb b n d n= + − = +综上，
（2）同方案一
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前 n 项和公式的应用，考查了分组求和、等比求
和及裂项相消法求数列的前 n 项和，属于中档题.
18.在 中，内角 的对边分别为 ，且
（1）求 ；
（2）若 ，且 面积的最大值为 ，求 周长的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（ 1 ） 利 用 二 倍 角 公 式 及 三 角 形 内 角 和 定 理 ， 将 化 简 为
，求出 的值，结合 ，求出 A 的值；
（2）写出三角形的面积公式，由其最大值为 求出 .由余弦定理，结合 ，
，求出 的范围，注意 .进而求出周长的范围.
【详解】解：（1）
整理得
解得 或 (舍去)
又
；
（2）由题意知
1 2 1n na n b n= = +
ABC , ,A B C , ,a b c 28cos 2cos2 32
B C A
+ − =
A
2a = ABC 3 ABC
3A
π= (4,6]
28cos 2cos2 32
B C A
+ − =
24cos 4cos 3 0A A+ − = cos A (0, )A π∈
3 4bc 2a =
3A
π= b c+ 2b c a+ > =
28cos 2cos2 32
B C A
+ − =
4(1 cos( )) 2cos2 3B C A∴ + + − =
24cos 4cos 3 0A A+ − =
1cos 2A = 3cos 2A = −
(0, )A π∈
3A
π∴ =
ABC
1 3sin 32 4S bc A bc∆ = = ≤，
又 ，
，
又
周长的取值范围是
【点睛】本题考查了二倍角余弦公式，三角形面积公式，余弦定理的应用，求三角形的周长
的范围问题.属于中档题.
19.在四边形 中， ， ；如图，将 沿
边折起，连结 ，使 ，求证：
（1）平面 平面 ；
（2）若 为棱 上一点，且 与平面 所成角的正弦值为 ，求二面角
的大小.
【答案】（1）证明见详解；（2）
【解析】
【分析】
（1）由题可知，等腰直角三角形 与等边三角形 ，在其公共边 AC 上取中点 O，连
接 、 ，可得 ，可求出 .在 中，由勾股定理可证
得 ，结合 ，可证明 平面 .再根据面面垂直的判定定理，
4bc∴
2 2 2 2 cos , 2b c a bc A a+ − = =
2 2 4b c bc∴ + = +
2( ) 4 3 16b c bc∴ + = +
2b c+ >
2 4b c∴ < + <
4 6a b c∴ < + +
ABC∴ (4,6]
ABCP 2, 3AB BC P
π= = ∠ = 2PA PC= = PAC AC
PB PB PA=
ABC ⊥ PAC
F AB AP PCF 3
4
F PC A− −
6
π
ABC PAC
OB OP ,OB AC OP AC⊥ ⊥ 3OP = OPB△
OP OB⊥ OP AC O∩ = OB ⊥ PAC可证平面 平面 .
（2）以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，由点 F 在线段 上，设
，得出 的坐标，进而求出平面 的一个法向量 .用向量法表
示出 与平面 所成角的正弦值，由其等于 ，解得 .再结合 为平面 的一
个法向量，用向量法即可求出 与 的夹角，结合图形，写出二面角 的大小.
【详解】证明：（1）在 中，
为正三角形，且
在 中，
为等腰直角三角形，且
取 的中点 ，连接
，
，
， 平面
平面
平面
..平面 平面
（2）以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，则
，
，
，
设 .则
设平面 的一个法向量为 .则
ABC ⊥ PAC
O O xyz− AB
(0 1)AF mAB m= < 1 2,F F :l y kx m= +
C ,P Q l C A 2F 1F PQ∆ 4 2
l C 4
3
C
M POQ△ O MP MO MQ+ + = 0 M
2 2 4
9O x y+ =： m
2
2 12
x y+ = 1m > 1m < −【分析】
（1）由椭圆的定义可知，焦点三角形的周长为 ，从而求出 .写出直线
的方程，与椭圆方程联立，根据交点横坐标为 ，求出 和 ，从而写出椭圆的方程；
（2）设出 P、Q 两点坐标，由 可知点 为 的重心，根据重心
坐标公式可将点 用 P、Q 两点坐标来表示.由点 在圆 O 上，知点 M 的坐标满足圆 O 的
方程，得 式. 为直线 l 与椭圆 的两个交点，用韦达定理表示 ，将其代入方程 ，
再利用 求得 的范围，最终求出实数 的取值范围.
【详解】解：（1）由题意知 .
，
直线 的方程为
∵直线 与椭圆 的另一个交点的横坐标为
解得 或 (舍去)
，
∴椭圆 的方程为
（2）设
.
∴点 为 的重心，
∵点 在圆 上，
4 4 2a = 2a = 2AF
4
3
c 2b
MP MO MQ+ + = 0 M POQ△
M M
( )∗ ,P Q C 1 2x x+ ( )∗
> 0∆ k m
4 4 2a =
2a∴ =
2AF ( )by x cc
= −
2AF C 4
3
2
2
2
4
3
4
3 12
by cc
y
b
= − ∴ + =
1c = 2c =
2 1b∴ =
C
2
2 12
x y+ =
( ) ( )1 1 2 2, , ,P x y Q x y
MP MO MQ+ + = 0
M POQ△
1 2 1 2,3 3
x x y yM
+ + ∴
M 2 2 4
9O x y+ =：
( ) ( )2 2
1 2 1 2 4 ( )x x y y∴ + + + = ∗由 得
，
代入方程 ，得
，
即
由 得
解得 .
或
【点睛】本题考查了椭圆的焦点三角形的周长，标准方程的求解，直线与椭圆的位置关系，
其中重心坐标公式、韦达定理的应用是关键.考查了学生的运算能力，属于较难的题.
22.已知函数
（1）若函数 在 处取得极值 1，证明：
（2）若 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）证明见详解；（2）
【解析】
【分析】
（1）求出函数 的导函数 ，由 在 处取得极值 1，可得 且
. 解 出 ， 构 造 函 数 ， 分 析 其 单 调 性 ， 结 合
2
2 12
y kx m
x y
= + + =
( )2 2 21 2 4 2 2 0k x kmx m+ + + − =
2
1 2 1 22 2
4 2 2,1 2 1 2
km mx x x xk k
−∴ + = − =+ +
( )∗
2 2 2 2
1 2 1 2 2 2
4 4( ) ( ) ( ) [ ( ) 2 ] 41 2 1 2
km kmx x y y k mk k
+ + + = − + − + =+ +
( )
( )
2 2 2 2 2
2
2 22
16 1 16 4 41 21 2
k k m k m mkk
+
− + =++
> 0∆ 2 21 2k m+ >
( )22
2
2
1 2
1 2 4 1
k
k k
+
∴ + > +
0k ≠
( )22 2
2
2 2
2 2
1 2 4 41 1 14 14 1 4 1
k km k k
k k
+
∴ = = + = + >+ + +
1m∴ > 1m < −
ln( ) ,x
x axf x a Re
+= ∈
( )y f x= ( )0 0ln 2 ln3x x x= < < 1 12 3ln 2 ln3a− < < −
1( ) xf x x e
− a
( ,1]−∞
( )y f x= ( )f x′ ( )f x 0x x= 0( ) 0f x′ =
0( ) 1f x = 0
0
1xa e x
= − 1( ) ( 0)xr x e xx
= − >，即可得到 的范围，命题得证；
（2）由 分离参数，得到 恒成立，构造函数 ，
求 导 函 数 ， 再 构 造 函 数 ， 进 行 二 次 求 导
.由 知 ，则 在 上单调递增.根据零点存在
定理可知 有唯一零点 ，且 .由此判断出 时， 单调递减，
时， 单调递增，则 ，即 .由 得
，再次构造函数 ，求导分析单调性，从而得 ，即
，最终求得 ，则 .
【详解】解：（1）由题知，
∵函数 在 ，处取得极值 1，
，且 ，
，
，
令 ，则
为增函数，
，即 成立.
0ln 2 ln3x< < a
1( ) xf x x e
−
ln 1x xa e x x
− −
ln 1( ) x xg x e x x
= − −
2
2
ln( )
xx e xg x x
′ += 2( ) lnxh x x e x= +
( )2 1( ) 2 xh x x x e x
′ = + + 0x > ( ) 0h x′ > ( )h x (0, )+∞
( )h x 1x 1
1 12 x< < ( )10,x x∈ ( )g x
( )1,x x∈ +∞ ( )g x ( )min 1( )g x g x= 1 1
1 1
ln 1x xa e x x
− − ( )1 0h x =
1
1
1
1
lnx xx e x
= − ( ) ( 0)xk x xe x= > 1 1lnx x= −
1
1
1xe x
= ( )1 1g x = 1a
1 (ln )
( ) x
a x axxf x e
′
+ − +
=
( )y f x= 0x x=
( )
( )
0
0 0
0
0
1 ln
0x
a x axxf x e
+ − +
′∴ = = ( ) 0 0
0 0
ln 1x axf x e
+= =
0
00
0
1 ln xa x ax ex
∴ + = + =
0
0
1xa e x
∴ = −
1( ) ( 0)xr x e xx
= − > 2
1( ) 0xr x e x
′ = + >
( )r x∴
00 ln 2 ln3x< < ( ) 0h x′∴ >
( )h x∴ (0, )+∞ 1(1) 0, ln 2 02 4
eh e h = > = − ( ) 0g x′ > ( )g x
( )min 1( )g x g x∴ =
1 1
1 1
ln 1x xa e x x
∴ − −
( )1 0h x = 1
1
1
1
lnx xx e x
= −
1
1 12 x<
( ) ( 0)xk x xe x= > 1
1
1
1
lnx xx e x
= − ( ) ( )1 1lnk x k x= −
( ) ( 1) xk x x e′ = + (0, )+∞
( )k x∴ (0, )+∞
( ) ( )1 1lnk x k x= −
1 1lnx x∴ = −
1
1
1xe x
∴ =，
∴实数 的取值范围为 .
【点睛】本题考查了函数的极值，利用导函数判断函数的单调性，函数的零点存在定理，证
明不等式，解决不等式恒成立问题.其中多次构造函数，是解题的关键，属于综合性很强的难
题.
( ) ( )
1 11
1
1 1 1 1 1
ln 1 1 1 1x xxg x e x x x x x
−∴ = − − = − − =
1a∴
a ( ,1]−∞
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