人教a版数学【选修1-1】作业：3.1.1 3.1.2 变化率问题 导数的概念（含答案）.doc

第三章　导数及其应用 §3.1 变化率与导数 3.1.1　变化率问题 3.1.2　导数的概念 课时目标 　1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利 用导数的定义求函数在某点处的导数． 1．函数的变化率 定义 实例 平均 变化率 函数 y＝f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率为 ________________，简记作：Δy Δx. ①平均速度； ②曲线割线的斜率. 瞬时 变化率 函数 y＝f(x)在 x＝x 0 处的瞬时变化率是 函数 f(x)从 x0 到 x0＋Δx 的平均变化率在 Δx→0 时的极限， 即_______________＝ Δy Δx ①瞬时速度：物体在某一时刻的速度； ②切线斜率. 2 ． 导 数 的 概 念 ： 一 般 地 ， 函 数 y=f(x) 在 x ＝ x0 处 的 瞬 时 变 化 率 是 Δy Δx＝ ____________，我们称它为函数 y=f(x)在 x＝x0 处的 ，记为 或 即 f′(x0) ＝ Δy Δx 一、选择题 1．当自变量从 x0 变到 x1 时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数(　　) A．在[x0，x1]上的平均变化率 B．在 x0 处的变化率 C．在 x1 处的变化率 D．以上都不对 2．已知函数 f(x)＝2x2－1 的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx，f(1＋Δx))，则 Δy Δx等于 (　　) A．4 B．4＋2Δx C．4＋2(Δx)2 D．4x 3．如图，函数 y＝f(x)在 A，B 两点间的平均变化率是 (　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 4．设 f(x)在 x＝x0 处可导，则 f(x0－Δx)－f(x0) Δx 等于 (　　) 0 lim x→ 0 lim x→ 0 lim x→ 0 lim x→A．－f′(x0) B．f′(－x0) C．f′(x0) D．2f′(x0) 5．已知 f(x)＝－x2＋10，则 f(x)在 x＝3 2处的瞬时变化率是(　　) A．3 B．－3 C．2 D．－2 6．一物体的运动方程是 s＝1 2at2(a 为常数)，则该物体在 t＝t0 时的瞬时速度是(　　) A．at0 B．－at0 C.1 2at0 D．2at0 题　号 1 2 3 4 5 6 答　案 二、填空题 7．已知函数 y＝f(x)＝x2＋1，在 x＝2，Δx＝0.1 时，Δy 的值为________． 8．过曲线 y＝2x 上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为________． 9．已知物体运动的速度与时间之间的关系是：v(t)＝t2＋2t＋2，则在时间间隔[1,1＋Δt] 内的平均加速度是________，在 t＝1 时的瞬时加速度是________． 三、解答题 10．已知函数 f(x)＝x2－2x，分别计算函数在区间[－3，－1]，[2,4]上的平均变化率． 11．用导数的定义，求函数 y＝f(x)＝ 1 x 在 x＝1 处的导数． 能力提升 12．已知二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 的导数为 f′(x)，f′(0)>0，对于任意实数 x，有 f(x)≥0， 则 f(1) f′(0)的最小值为________． 13．枪弹在枪筒中可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是 a＝5×105 m/s2，枪弹 从枪口射出时所用的时间为 1.6×10－3 s．求枪弹射出枪口时的瞬时速度． 1．做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数 s＝s(t)描述，设 Δt 为时间改变量， 在 t0＋Δt 这段时间内，物体的位移(即位置)改变量是 Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)，那么位移改变量 Δs 与时间改变量 Δt 的比就是这段时间内物体的平均速度v，即v＝Δs Δt＝s(t0＋Δt)－s(t0) Δt . 2．由导数的定义可得求导数的一般步骤(三步法)： (1)求函数的增量 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率Δy Δx；0 Δy Δx.→0 Δy Δx.第三章　导数及其应用 §3.1　变化率与导数 3．1.1　变化率问题 3．1.2　导数的概念 答案 知识梳理 1．f(x2)－f(x1) x2－x1 lim Δx→0 f(x0＋Δx)－f(x0) Δx 2． lim Δx→0 f(x0＋Δx)－f(x0) Δx 导数　f′(x0)　y′|x＝x0　 lim Δx→0 f(x0＋Δx)－f(x0) Δx 作业设计 1．A 2．B　[∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1) ＝2(1＋Δx)2－1－2×12＋1＝4Δx＋2(Δx)2， ∴Δy Δx＝4Δx＋2(Δx)2 Δx ＝4＋2Δx.] 3．B　[Δy Δx＝f(3)－f(1) 3－1 ＝1－3 2 ＝－1.] 4 ． A 　 [ lim Δx→0 f(x0－Δx)－f(x0) Δx ＝ lim Δx→0－ f(x0)－f(x0－Δx) Δx ＝ － lim Δx→0 f(x0)－f(x0－Δx) Δx ＝ － f′(x0)．] 5．B　[∵Δy Δx＝ f(3 2＋Δx)－f(3 2 ) Δx ＝－Δx－3， ∴ lim Δx→0 Δy Δx＝－3.] 6．A　[∵Δs Δt＝s(t0＋Δt)－s(t0) Δt ＝1 2aΔt＋at0， ∴ lim Δt→0 Δs Δt＝at0.] 7．0.41 8．1 解析　由平均变化率的几何意义知 k＝2－1 1－0＝1. 9．4＋Δt　4 解析　在[1,1＋Δt]内的平均加速度为Δv Δt＝v(1＋Δt)－v(1) Δt ＝Δt＋4，t＝1 时的瞬时加速度 是 li m Δt→0 Δv Δt＝li m Δt→0 (Δt＋4)＝4. 10．解　函数 f(x)在[－3，－1]上的平均变化率为： f(－1)－f(－3) (－1)－(－3) ＝[(－1)2－2 × (－1)]－[(－3)2－2 × (－3)] 2 ＝－6. 函数 f(x)在[2,4]上的平均变化率为： f(4)－f(2) 4－2 ＝ (42－2 × 4)－(22－2 × 2) 2 ＝4.11．解　∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝ 1 1＋Δx － 1 1 ＝1－ 1＋Δx 1＋Δx ＝ －Δx 1＋Δx·(1＋ 1＋Δx)， ∴Δy Δx＝ －1 1＋Δx·(1＋ 1＋Δx)， ∴ lim Δx→0 Δy Δx＝ lim Δx→0 －1 1＋Δx·(1＋ 1＋Δx) ＝ －1 1＋0·(1＋ 1＋0)＝－1 2， ∴y′|x＝1＝f′(1)＝－1 2. 12．2 解析　由导数的定义， 得 f′(0) ＝ lim Δx→0 f(Δx)－f(0) Δx ＝ lim Δx→0 a(Δx)2＋b(Δx)＋c－c Δx ＝ lim Δx→0 [a·(Δx)＋b]＝b. 又Error!，∴ac≥b2 4 ，∴c>0. ∴ f(1) f′(0)＝a＋b＋c b ≥b＋2 ac b ≥2b b ＝2. 13．解　运动方程为 s＝1 2at2. 因为 Δs＝1 2a(t0＋Δt)2－1 2at20 ＝at0Δt＋1 2a(Δt)2， 所以Δs Δt＝at0＋1 2aΔt.所以 0 Δv Δt＝li m Δt→0 Δs Δt＝at0. 由题意知，a＝5×105 m/s2，t0＝1.6×10－3s， 所以 at0＝8×102＝800 (m/s)． 即枪弹射出枪口时的瞬时速度为 800 m/s.