2020-2021学年北师大版初三数学上册单元训练卷 第2章 一元二次方程

2020-2021 学年北师大版初三数学上册单元训练卷 第 2 章 一元二次方程 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是( A ) A. 9(x＋1)2＝6(x＋1) B. ＋ －8＝0 C. x2－8x＝x2＋10 D. 3x2－2xy－5y2＝0 2. 一元二次方程 x2－8x－1＝0 配方后可变形为( C ) A. (x＋4)2＝17 B. (x＋4)2＝15 C. (x－4)2＝17 D. (x－4)2＝15 3. 根据下面表格中的对应值，判断方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个解 x 的范围是( C ) x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2＋bx＋c －0.06 －0.02 0.03 0.09 A. 3＜x＜3.23 B. 3.23＜x＜3.24 C. 3.24＜x＜3.25 D. 3.25＜x＜3.26 4. 若 x＝－2 是关于 x 的一元二次方程 x2－ ax＋a2＝0 的一个根，则 a 的值为( B ) A. 1 或 4 B. －1 或－4 C. －1 或 4 D. 1 或－4 5. 若关于 x 的一元二次方程 x2＋2(k－1)x＋k2－1＝0 有实数根，则 k 的取值范围是( D ) A. k≥1 B. k＞1 C. k＜1 D. k≤1 6. 2020 年元旦，一个小组有若干人，若每人给小组的其他成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共 72 张， 设此组有 x 人，则可列方程为( A ) A. x(x－1)＝72 B. x(x－1)＝72 2 1 x 1 x 5 2 1 2C. x2＝72 D.(x－1)2＝72 7. 一个等腰三角形的两边长分别是方程 x2－7x＋10＝0 的两根，则该等腰三角形的周长是( A ) A. 12 B. 9 C. 13 D. 12 或 9 8. 关于 x 的方程 ax2－(3a＋1)x＋2(a＋1)＝0 有两个不相等的实数根 x1，x2，且有 x1－x1x2＋x2＝1－a， 则 a 的值是( B ) A. 1 B. －1 C. 1 或－1 D. 2 9. 近几年，我国经济高速发展，国家决定大幅度增加企业员工退休金.企业退休职工李师傅 2017 年月 退休金为 2500 元，2019 年达到 3160 元，设李师傅的月退休金从 2017 年到 2019 年年平均增长率为 x，可 列方程为( B ) A. 3160(1－x)2＝2500 B. 2500(1＋x)2＝3160 C. 2500(1－x)2＝3160 D. 2500＋2500(1＋x)＋2500(1＋x)2＝3160 10. 如图，在一次函数 y＝－x＋6 的图象上取一点 P，作 PA⊥x 轴于点 A，PB⊥y 轴于点 B，且矩形 PBOA 的面积为 5，则在 x 轴上方满足上述条件的点 P 个数共有( C ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 二、填空题(每小题 3 分，共 24 分) 11. 若关于 x 的方程(m－3)x|m|－1＋2x－5＝0 是一元二次方程，则 m 的取值为　m＝－3　. 12. 若 x＝1 是关于 x 的一元二次方程 x2＋3mx＋n＝0 的解，则 6m＋2n＝　－2　.13. 若(m＋n)(m＋n＋5)＝6，则 m＋n 的值是　－6 或 1　. 14. 已知一元二次方程 x2＋3x－4＝0 的两根为 x1，x2，则 ＋x1x2＋ ＝　13　. 15. 若关于 x 的一元二次方程(k－1)x2＋2x－2＝0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是　k＞ 且 k≠1　. 16. 已知一个两位数，它的十位数字比个位数字小 3，个位数字的平方恰好等于这个两位数，设个位数 字为 x，则可列方程为　x2＝10(x－3)＋x　. 17. 某种 T 恤衫，平均每天销售 40 件，每件盈利 20 元.若每降价 1 元，则每天可多售出 10 件.如果每天 盈利 1400 元，那么每件应降价　6 或 10　元. 18. 如图所示，已知图形的面积为 24，根据图中的条件，可以列出方程　(x＋1)2－1＝24(不唯一)　. 三、解答题(共 66 分) 19. (12 分)用适当的方法解下列方程： (1)(6x－1)2＝25； 解：x1＝1，x2＝－ . (2)x2－2x＝2x－1. 解：x1＝2＋ ，x2＝2－ . 2 1x 2 2x 1 2 2 3 3 320. (8 分)一元二次方程 a(x2＋1)＋b(x＋2)＋4＝0 中，一次项与二次项系数之和为 16，常数项为 30，求 以 a，b 为两条对角线的菱形面积. 解：方程 a(x2＋1)＋b(x＋2)＋4＝0 化为一般形式为 ax2＋bx＋a＋2b＋4＝0，由题意，得 解 得 ∴以 a，b 为对角线的菱形面积 S＝ ab＝30. 21. (8 分)关于 x 的方程 2x2－(a2－4)x－a＋1＝0. (1)当 a 为何值时，方程的一根为 0? (2)当 a 为何值时，方程的两根互为相反数? 解：(1)由方程的一根为 0 可得－a＋1＝0，∴a＝1. (2)设方程的两根分别为 x1，x2，∵两根互为相反数，∴x1＋x2＝0. ∴ ＝0. ∴a＝±2. ∵当 a＝－2 时，方程 2x2 －(a2－4)x－a＋1＝0 无解，∴a＝2. 22. (8 分)关于 x 的方程(k－1)x2＋2kx＋2＝0. (1)求证：无论 k 为何值，方程总有实数根； (2)设 x1，x2 是方程(k－1)x2＋2kx＋2＝0 的两个根，记 S＝ ＋ ＋x1＋x2，S 的值能为 2 吗?若能，求 出此时 k 的值；若不能，请说明理由. (1)证明：当 k＝1 时，原方程可化为 2x＋2＝0，解得 x＝－1，此时该方程有实数根；当 k≠1 时，方程是一 元二次方程，∵Δ＝(2k)2－4(k－1)×2＝4k2－8k＋8＝4(k－1)2＋4＞0，∴无论 k 为何值，方程总有实数根. 综 上所述，无论 k 为何值，方程总有实数根. 16 2 4 30 a b a b    ＋ ＝ ， ＋ ＋ ＝ ， 10 6. b a    ＝ ， ＝ 1 2 2 4 2 a － 2 1 x x 1 2 x x(2)解：由根与系数的关系可知，x 1 ＋x2 ＝－ ，x1x2 ＝ ，若 S＝2，则 ＋ ＋x 1 ＋x2 ＝2，即 ＋x1＋x2＝2，将 x1＋x2＝－ ，x1x2＝ 代入，整理得 k2－3k＋2＝0，解得 k＝1(舍) 或 k＝2. ∴S 的值能为 2，此时 k＝2. 23. (8 分)现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，据调查，长沙市某家小型“大学生 自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为 10 万件和 12.1 万件. 现假定该 公司每月的投递总件数的增长率相同. (1)求该快递公司投递总件数的月平均增长率； (2)如果平均每人每月最多可投递快递 0.6 万件，那么该公司现有的 21 名快递投递业务员能否完成今年 六月份的快递投递任务?如果不能，请问至少需要增加几名业务员? 解：(1)设该快递公司投递总件数的月平均增长率为 x，根据题意得 10(1＋x)2＝12.1，解得 x1＝0.1，x2＝－ 2.1(不合题意，舍去). 答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为 10％； (2)今年六月份的快递投递任务是 12.1×(1＋10％)＝13.31(万件). ∵平均每人每月最多可投递 0.6 万件，∴21 名 快递投递业务员最多能完成的快递投递任务是 0.6×21＝12.6(万件)＜13.31(万件)，∴该公司现有的 21 名快递 投递业务员不能完成今年六月份的快递投递任务，∴至少需要增加业务员(13.31－12.6)÷0.6＝1 ≈2(名). 答：该公司现在有的 21 名快递投递业务员不能完成今年六月份的快递任务，至少需要增加 2 名业务员. 24. (10 分)某小商品市场以每副 60 元的价格购进 800 副羽毛球拍. 九月份以单价 100 元销售，售出了 200 副.十月份如果销售单价不变，预计仍可售出 200 副，小商品市场为增加销售量，决定降价销售，根据 市场调查，销售单价每降低 5 元，可多售出 10 副，但最低销售单价应高于购进的价格.十月份结束后，批发 商将对剩余的羽毛球拍一次性清仓，清仓时销售单价为 50 元.设十月份销售单价降低 x 元. (1)填表： 月份 九月 十月 清仓 2 1 k k－ 2 1k－ 2 1 x x 1 2 x x 2 1 2 1 2 1 2 2( )x x x x x x ＋ － 2 1 k k－ 2 1k－ 11 60销售单价(元) 100 100－x 50 销售量(件) 200 200＋2x 800－200－(200＋2x) (2)如果小商品市场希望通过销售这批羽毛球拍获利 9200 元，那么十月份的销售单价应是多少元? 解：(2)根据题意，得 100×200＋(100－x)(200＋2x)＋50［800－200－(200＋2x)］－60×800＝9200，整理得 x2＋50x－1400＝0. 解这个方程，得 x1＝20，x2＝－70(舍去). 当 x＝20 时，100－x＝80＞60，符合题意. 答： 十月份的销售单价应是 80 元. 25. (12 分)一商店销售某种商品，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元.为了扩大销售，增强盈利，该 店采取了降价措施，在每件盈利不少于 25 元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低 1 元，平 均每天可多售出 2 件. (1)若降价 3 元，则平均每天销售数量为　26　件. (2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为 1200 元? 解：(2)设每件商品降价 x 元时，该商店每天销售利润为 1200 元. 根据题意，得(40－x)(20＋2x)＝1200，整 理得 x2－30x＋200＝0，解得 x1＝10，x2＝20. ∵要求每件盈得不少于 25 元，∴x2＝20 应舍去，故 x＝10. 答： 当每件商品降价 10 元时，该商品销售利润为 1200 元.