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六、解答数学应用问题
中考数学试卷中会有一些与生活联系非常密切的题目，这些题目考查我们运用数学知识分析问题，解决问题的能力。这些题目与列方程解应用题完全不同，解答这些题目需要较多的数学知识和较高的能力。
解这类题目需要注意三个问题：
1、读懂题目：这类题目有一个共同的特点，题目的文字特别多。文字多的原因是需要正确地表述问题情境和需要解决的问题，避免产生歧义。也就是我们常说的“阅读量大”。在中考考场上大阅读量给我们带来了心理压力。往往不能集中精力认真阅读，读一遍不知道什么意思，就开始紧张，越紧张就越读不懂题目，就更加紧张，造成很大的心理负担，影响自己水平的发挥。
因此，我们要有足够的心理准备，遇到这样的题目时提醒自己不要紧张，定下心来认真阅读和思考，这样会充分发挥自己的智慧，顺利完成题目的解答。
读题是解题的开头，读题，不仅是把题目完整的读下来，而且还要读懂。这和阅读文章一样，首先读明白说的是什么事情，要解决什么问题；其次在这件事情中提供了哪些使用数学知识解决问题的信息；最后读清楚这些信息之间有哪些联系，给我们提供了什么启示。
2、建立数学模型
我们知道，利用数学知识解决应用问题的关键是建立数学模型，有了数学模型就有了解决问题的知识和方法。常用的数学模型有：方程（组）、不等式（组）、函数、统计等，每一类模型中还有小的类型，例如，函数模型中又包括：一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数、三角函数等。
3、解答
这类题目的解答并不困难，往往解答的书写量还没有阅读量大，有时甚至更少。当你读懂了题目，选准了数学模型，解答就应该不成问题了。但是，由于这些题目与实践生活联系密切，提供的数据往往与我们在课堂上做的练习题目差别很大，需要我们动一番脑筋去算。这时正确地计算很重要。
下面我们就来看一些题目：
一、一次函数模型
例1 一辆经营长途运输的货车在高速公路的A处加满油后，以每小时80
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千米的速度匀速行驶，前往与A处相距636千米的B地，下表记录的是货车一次加满油后油箱内余油量y（升）与行驶时间x（时）之间的关系：
行驶时间x（时）
0
1
2
2.5
余油量y（升）
100
80
60
50
（1）请你认真分析上表中所给的数据，用你学过的一次函数、反比例函数和二次函数中的一种来表示与之间的变化规律，说明选择这种函数的理由，并求出它的函数表达式；（不要求写出自变量的取值范围）
（2）按照（1）中的变化规律，货车从A处出发行驶4.2小时到达C处，求此时油箱内余油多少升？
解：（1）如图，根据表中的数据，在平面直角坐标系
中，描出各点，这些点可以看成一条直线上的点，因此，
可以用学过的一次函数来表示与之间的变化规律。
设与之间的关系为一次函数：（k≠0）
将（0，100）和（1，8 0）代入，得
解得 ∴
验证：当时，，符合一次函数；
当时，，也符合一次函数．
∴可用一次函数表示其变化规律。
（2）当时，由可得
即货车行驶到处时油箱内余油16升．
注意：
1、为什么要利用函数的图象来确定函数模型呢？
我们知道，函数有三种表示法，这三种表示法虽然形式不同，但本质却表示同一函数关系。而最容易判断函数类型的是函数的图象，各类函数图象都有自己的特点，因此使用函数图象来判断函数类型是十分有效的方法。
2、为什么在确定了一次函数的解析式后还要进行检验？
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我们知道，根据表格中的数据在平面直角坐标系中描点后，根据这些点的位置判断它们属于一次函数模型，又根据其中两个点列出了一次函数的关系式，这是一种由特殊到一般的推理，这种推理所得到的结论不一定正确，因此还要检验另外两组数据是否符合。
例2 小明到三山服装专卖店做社会调查．了解到商店为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资＋计件奖金”的方法，并获得如下信息：
营业员
甲
乙
月销售件数（件）
200
150
月总收入（元）
1400
1250
假设营业员月基本工资为元，销售每件奖励a元，月销售件数为x件，月总收入为y元．
（1）确定y与x之间的关系式；
（2）若营业员小俐当月总收入不低于元，她当月至少要卖服装多少件？
解：（1）根据题意，得 （a≠0）
解得
（2）根据题意，得 即
解得 ．
答：小俐当月至少要卖服装334件。
注意：题目中给出的月工资计算方法虽然没有明确表明是一次函数关系，但用式子表示出来却和一次函数的解析式类似，但是，它却不是一次函数。因为，自变量x只能取整数。
二、正比例函数、反比例函数模型
例3 为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（a为常数，且≠0），如图所示．据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）写出从药物释放开始，与之间的两个函数关系式；
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（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？
y（毫克）
O
3
t(小时)
1
P
解：（1）将点代入函数关系式，
解得 ∴
设（k≠0）
将代入 解得 点（，1）在上
再（，1）将代入 解得 ，
∴．
（2） 根据题意，得 解得
∴至少需要经过6小时后，学生才能进入教室．
注意：
1、这里为什么先求反比例函数的解析式，然后才求正比例函数的解析式？
我们知道题目中先给出的正比例函数关系然后才是反比例函数关系，按理说应该先求正比例函数的解析式，然后再反求比例函数的解析式，但题目中给出的函数图象中只有反比例函数图象上有一点P的坐标是知道的，根据这个条件只能先求出反比例函数的解析式，然后再寻找条件求正比例函数的解析式。
2、根据什么条件求正比例函数的解析式呢？
从图象上我们发现，有一个点即在反比例函数图象上又在正比例函数图象上，且它的纵坐标为1，只要确定了这个点的横坐标就可以了。又因为这个点在反比例函数的图象上，这个点的坐标能使反比例函数关系式成立，代入即可求得。有了正比例函数图象上的一个点，确定正比例函数的解析式就不困难了。
三、二次函数模型
例4 研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为（吨）时，所需的全部费用（万元）与满足关系式
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，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价，（万元）均与满足一次函数关系．（注：年利润＝年销售额－全部费用）
（1）成果表明，在甲地生产并销售吨时，，请用含的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润（万元）与（吨）之间的函数关系式；
（2）成果表明，在乙地生产并销售吨时，（为常数），且在乙地当年的最大年利润为35万元．试确定的值；
（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据（1），（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？
参考公式：抛物线的顶点坐标是．
解：（1）甲地当年的年销售额为万元；
（2）在乙地区生产并销售时，
．
当x=时，
解得 ， n=（不合题意，舍去）．
（3）将代入，得 （万元）
将代入，得 （万元）
∴应选乙地．
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注意：这个题目并不难，关键是读懂题意。
例5 如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型
拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均
为5m．
（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中
（如右图所示），求抛物线的解析式；
（2）求支柱的长度；
（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中
间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车
道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由．
解：（1）根据题意，得 A（-10，0），B（10，0），C（0，6）
设抛物线的解析式为（a≠0），
将的坐标代入，
得 解得．
所以抛物线的表达式是．
（2）可设
∵F是抛物线上的点 ∴
从而支柱的长度是米．
（3）设是隔离带的宽，是三辆车的宽度和
则（7，0）
过点作垂直交抛物线于
则．
由此可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车．
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注意：这个题目虽然使用了二次函数模型，但与抛物线联系十分密切，因此解题时要特别关注图形（即二次函数的图象）。根据图形中的信息来解决问题。
四、三角函数模型
例6 某大草原上有一条笔直的公路，在紧靠公路相距40千米的A、B两地，分别有甲、乙两个医疗站，如图，在A地北偏东45°、B地北偏西60°方向上有一牧民区C．一天，甲医疗队接到牧民区的求救电话，立刻设计了两种救助方案，
方案I：从A地开车沿公路到离牧民区C最近的D处，再开车穿越草地沿DC方向到牧民区C．
方案II：从A地开车穿越草地沿AC方向到牧民区C．
已知汽车在公路上行驶的速度是在草地上行驶速度的3倍．
（1）求牧民区到公路的最短距离CD．
A
D
Ｂ
C
45°
60°
（2）你认为甲医疗队设计的两种救助方案，哪一种方案比较合理？并说明理由．（结果精确到0.1．参考数据：取1.73，取1.41）
解:（1）设CD为千米，
由题意得，∠CBD=30°，∠CAD=45°
∴AD=CD=x
在Rt△BCD中 tan30°= ∴BD=
∵AD+DB=AB=40
∴ 解得 ≈14.7
∴牧民区到公路的最短距离CD为14.7千米．
（若用分母有理化得到CD=14.6千米，可得4分）
（2）设汽车在草地上行驶的速度为，则在公路上行驶的速度为3，
在Rt△ADC中，∠CAD=45°，∴AC=CD
方案I用的时间：
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方案II用的时间：
∴=
∵＞0 ∴ ＞0
∴方案I用的时间少，方案I比较合理。
注意：利用函数模型解决问题时，经常使用函数图象和函数的性质，而使用三角函数模型时通常使用直角三角形的性质，要从图形中发现隐含的条件。
五、统计模型
例7 为减少环境污染，自2008年6月1日起，全国的商品零售场所开始实行“塑料购物袋有偿使用制度”（以下简称“限塑令”）．某班同学于6月上旬的一天，在某超市门口采用问卷调查的方式，随机调查了“限塑令”实施前后，顾客在该超市用购物袋的情况，以下是根据100位顾客的100份有效答卷画出的统计图表的一部分：
40
35
30
25
20
15
10
5
0
图1
1
2
3
4
5
6
7
4
3
11
26
37
9
塑料袋数／个
人数／位
“限塑令”实施前，平均一次购物使用不同数量塑料购物袋的人数统计图
“限塑令”实施后，使用各种
购物袋的人数分布统计图
其它
5%
收费塑料购物袋
_______％
自备袋
46%
押金式环保袋24%
图2
“限塑令”实施后，塑料购物袋使用后的处理方式统计表
处理方式
直接丢弃
直接做垃圾袋
再次购物使用
其它
选该项的人数占
总人数的百分比
5%
35%
49%
11%
请你根据以上信息解答下列问题：
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（1）补全图1，“限塑令”实施前，如果每天约有2 000人次到该超市购物．根据这100位顾客平均一次购物使用塑料购物袋的平均数，估计这个超市每天需要为顾客提供多少个塑料购物袋？
（2）补全图2，并根据统计图和统计表说明，购物时怎样选用购物袋，塑料购物袋使用后怎样处理，能对环境保护带来积极的影响．
解：（1）补全图1见下图．
40
35
30
25
20
15
10
5
0
图1
1
2
3
4
5
6
7
4
3
11
26
37
9
塑料袋数／个
人数／位
“限塑令”实施前，平均一次购物使用不同数量塑料购物袋的人数统计图
10
（个）．
这100位顾客平均一次购物使用塑料购物袋的平均数为3个．
．
估计这个超市每天需要为顾客提供6000个塑料购物袋．
（2）图2中，使用收费塑料购物袋的人数所占百分比为．
根据图表回答正确即可，
例如：由图2和统计表可知，购物时应尽量使用自备袋和押金式环保袋，少用塑料购物袋；
塑料购物袋应尽量循环使用，以便减少塑料购物袋的使用量，为环保做贡献．
注意：解答本题的关键是读懂统计图（表），从中获取正确的信息。
例8 李明对某校九年级（2）班进行了一次社会实践活动调查，从调查的内容中抽出两项．
综合素质
考试成绩
体育测试
满分
100
100
100
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小聪
72
98
60
小亮
90
75
95
调查一：对小聪、小亮两位同学的毕业成绩
进行调查，其中毕业成绩按综合素质、考试成绩、
体育测试三项进行计算，计算的方法按4：4：2进行，毕业成绩达80分以上（含80分）为“优秀毕业生”，小聪、小亮的三项成绩如右表：（单位：分）
不及格
O
36%及格
18%
良好
优秀3人
调查二：对九年级（2）班50名同学某项跑
步成绩进行调查，并绘制了一个不完整的扇形统
计图，如右图．
请你根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）他们俩谁能达到“优秀毕业生”水平？哪位同学的毕业成绩更好些？
（2）升入高中后，请你对他俩今后的发展给每人提一条建议．
（3）扇形统计图中“优秀率”是多少？
（4）“不及格”在扇形统计图中所占的圆心角是多少度？
解：（1）小聪成绩是：（分）
小亮成绩是：（分）
小聪、小亮成绩都达到了“优秀毕业生”水平．
小亮毕业生成绩好些．
（2）小聪要加强体育锻炼，注意培养综合素质．
小亮在学习文化知识方面还要努力，成绩有待进一步提高．
（3）优秀率是：．
（4）“不及格”在扇形统计图中所占的圆心角是：
．
解答数学应用问题是一种综合能力的使用，即包含对数学知识的理解和掌握，也包含对图形的观察和分析，同时还包含对题意的阅读和理解，我们应该见一些这样的题目，使自己的综合能力得到提高。
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