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解题方法7：解答综合题
综合题是指在一道题中将代数、几何等内容进行综合考查的题目，这类题目有这样一些特点：
1、常常作为中考数学试卷的压轴题，通常在一个大题下，以几个小题的形式出现。
2、通常是全卷最难的题目，但每个小题的难度却不相同，往往（1）小题可能比前面的题目要简单很多，而（2）小题、（3）小题的难度会逐步以较大幅度增加。
3、题目的阅读量不一定很大，但计算量却较大，对计算的熟练程度要求较高，稍有不慎可能会做而做错。
4、题目放在最后，时间紧张，心理压力大，不容易集中精力，往往不能很好的发挥自己的水平。
根据这些题目的特点，提出以下建议：
对于中等水平的考生，可以放弃这些题目的解答，将时间用在前110分的题目上，完成这些题目的解答后将剩余的时间用来检查前面题目的解答是否正确，保证将会做得题目做对，将分拿到手。
对于平时程度较好的同学，在保证前面分能够拿到手之后还有时间，不妨完成在最后这道题目的前面的小题，争取做对，多拿一些分。
对于数学成绩特别优秀的学生，完成前面的题目用不了很多时间，会留下很多时间，但不应急于解答压轴题，也应该先检查前面解答题目的过程和结果是否正确，确保前面分拿到手，然后集中精力完成最后一题的解答。
本文中选择了一些题目和解答供有能力的同学选用。
例1 如图，矩形的长、宽分别为和1，且，点E，连接．
（1）求经过三点的抛物线的表达式；
（2）若以原点为位似中心，将五边形放大，使放大后的五边形的边长是原五边形对应边长的3倍．在下图网格中画出放大后的五边形A/E/D/C/B/；
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（3）经过三点的抛物线能否由（1）中的抛物线平移得到？请说明理由．
解：（1）设经过三点的抛物线为
（a≠0）．
．
∴，
解得 ．
∴过三点的抛物线的表达式为．
确定二次函数的解析式通常使用“待定系数法”，关键是正确列、解多元方程组。
（2）
（3）不能．理由如下：
设经过三点的抛物线的表达式为（a/≠0）．
，
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∴
解得 ．
∵，
∴
∴经过三点的抛物线不能由（1）中抛物线平移得到．
注意：解题中使用的作为依据来说明“经过三点的抛物线不能由（1）中抛物线平移得到”，表明两条抛物线的开口大小不同，因此，两条抛物线的形状不同。
本题还可以这样来解：
过三点的抛物线的表达式为= -2（x-）2+2
点E（，2）正好是抛物线的顶点
将y= -2（x-）2+2变形为y-2= -2（x-）2
令y-2=y / ，x-= x /
∴过A、E、D三点的抛物线为：y / = -2 x /2
假设经过三点的抛物线由（1）中抛物线平移得到，那么点
E /（，6）应该还是抛物线的顶点，将点E（，2）平移到点E/（，6），横坐标向右平移了3个单位，纵坐标向上平移了4个单位，这时抛物线的方程可以写成：y / -4= -2 （x /-3）2，则经过三点的抛物线应是：
y= -2（x-）2+6，这时点A/（3，）应该在抛物线y= -2（x-）2+6上，但将其坐标代入等式不成立。故经过三点的抛物线不能由（1）中抛物线平移得到。
注意：这里使用了“反证法”
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，即提出与结论相反的假设，然后进行推理，推出错误，反究错误产生的原因是“假设”错误。因此原结论成立。
也就是说，我们从上面的草图中看出“经过三点的抛物线不能由（1）中抛物线平移得到”，这时，为了说明这个结论是正确的，我们提出了与结论相反的“假设”，然后进行推理，最后，点A/（3，）应该在抛物线
y= -2（x-3）2+8上，其坐标代入抛物线的解析式后等式应该成立，但实际代入后不成立，说明前面一定出现了错误，但整个推理过程都是正确的，究其错误原因是假设错误，由此可得出结论“经过三点的抛物线不能由（1）中抛物线平移得到。”
另外，将点M（x,y）向右平移2个单位后，得到点M/（x-2,y）,再将点M/向上平移3个单位后，得到点M//（X-2,Y-3）。同理，抛物线y / = -2 x /2上所有点横坐标向右平移了3个单位，纵坐标向上平移了4个单位，这时抛物线的方程可以写成：y / -4= -2 （x /-3）2。
例2 如图，抛物线y＝x2＋bx－2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A(－1，0)．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断的形状，证明你的结论；
解：（1）点在抛物线上，
，．
∴抛物线的解析式为．
，
∴顶点的坐标为．
（2）当时，，．
当时，，，，．
，，．
，，，
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．是直角三角形．
注意：
1、利用“配方法”求抛物线的顶点坐标是一种常用的方法，尤其是不使用计算器时，不失为一种方便、快捷的方法。由于中考可以使用计算器，我们不经常使用配方法，但上高中以后会经常用到。
2、如图，在平面直角坐标系中，点的坐标与线段
的程度有关，一般情况下│x│=PM，│y│=PN，只有点P落在第一象限时才有x=PM， y=PN。因此，在这类
题目中使用的点常常在第一象限。题目通过图象上的点的坐标转换为线段的长度，将代数与几何等联系起来。
3、在解这类题目时，正确的画出函数图象和从图象（或图形）中获取信息十分重要。在判断△ABC的形状时，我们从图形上可以直观感觉到是直角三角形，然后使用勾股定理的逆定理去判断。
例3 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB＝OC ，tan∠ACO＝．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，
在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、
E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）方法一：由已知得：C（0，－3），A（－1，0）
∵A、B、C三点在抛物线上
∴ 解得
∴
方法二：点 A（－1，0）， B（3，0）是抛物线与x轴的交点
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设抛物线为：（a＞0）
∵点C（0，-3）在抛物线上
∴a（0+1）（0-3）=-3 解得
∴
（2）方法一：存在，如图中F点
过C作CF∥AE，
CF与抛物线相交于点F（x，-3）
∵D是抛物线的顶点
∴xD=
yD=
∴D（1，－4）
设过C、D的直线为：y=kx+b（k≠0）
∴ 解得
∴
∴E点的坐标为（－3，0） ∴AE=2
∵F（x，-3）在抛物线上
∴F（2，－3） ∴CF=2
∵CF∥AE，CF=AE=2
∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形
∴存在点F（2，－3）
方法二：同上，可求得E（－3，0）
如图，以A、C、E为顶点的
平行四边形的第四个顶点为F1、F2、F3，
显然，只有F1在抛物线上
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∴存在点F（2，－3）
注意：
解（2）的方法一利用点坐标来证明“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”。这里由于过C作CF∥AE，这时，点C与点F的纵坐标相等。 只要求出点F的横坐标，就可以算出线段CF的长度。
解（2）的方法二是一种传统方法，如上图可知，在平面直角坐标系中，如果已知一个平行四边形的三个顶点，那么这个平行四边形的第四个顶点就有三种情况。
例4 如图，在梯形中，，
，，于点E，
F是CD的中点，DG是梯形的高．
（1）求证:四边形AEFD是平行四边形；
（2）设，四边形DEGF的面积为y，求y关于x的函数关系式.
（1）证明：∵ ∴梯形ABCD为等腰梯形
∵∠C=60° ∴
在△ABD中，
∴ ∠BDC=90°
∵ ∴
∵∠BDC=∠AED =90° ∴AE∥DF.
在Rt△AED中，∠ADE =30° ∴AE=AC
∵F是CD的中点 ∴DF=CD=AC=AE
在四边形AEFD中，AE∥DF AE. =DF
∴四边形AEFD是平行四边形.
（2）解：在Rt△AED中, ∵ ∴.
在Rt△DGC中 ∠C=60°
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∵sin60°= ∴DG=CDsin60°=x
∵ ∴
∴S四边形DEGF=EF·DG=x2
注意：
这道题很有意思，在图中△ABE、△ADE、△FED、△FEG、△CDG这五个三角形全等。它们都是有一个60°角，有一条长直角边相等的直角三角形。
例5 如图，四边形ABCD中，AD＝CD，∠DAB＝∠ACB＝90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E．已知AB＝15 cm，BC＝9 cm，P是射线DE上的动点．设DP＝x cm（x＞0），四边形BCDP的面积为y cm2．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）当x为何值时，△PBC的周长最小，并求出此时y的值．
解：（1）∵DE⊥AC ∴∠DFC＝∠FCB＝90°
∴BC∥DF
∴四边形BCDP是梯形
在Rt△ABC中 AC2+BC2=AB2
∴
在△ACD中，∵DA=DC DF⊥AC
∴CF=AF=6
∴（x＞0）．
（2）∵BC＝9（定值）
∴要使△PBC的周长最小，只需PB＋PC最小
∵点P是线段AB垂直平分线上的点
∴PA=PC
∴PB+PC＝PB+PA 故只要求PB+PA最小．
如图，显然当P与E重合时PB+PA最小
此时x=DP＝DE，PB+PA＝AB
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在△DAE和△ABC中
∵BC∥DF ∴∠AEF=∠B
∵∠DFA=∠ACB=90°
∴△DAE∽△ACB ∴ 即
在△AFE和△ACB中
∵∠FAE=∠CAB ∠AFE=∠ACB=90°∴△AFE∽△ACB
∴ 即 ∴AE=
在Rt△ADE和△CAB中
∵∠AEF=∠B ∴tan∠AEF=tan∠B
∴ 即
∴AD=10 ∴
∴当时，△PBC的周长最小，此时．
注意：这道题的第二问的解答太复杂，可以不看。但是，这里介绍了一种求线段长度的方法。我们知道，可以利用“全等三角形对应边相等”求线段的长度，实际上，还可以利用“相似三角形对应线段成比例”求线段的长度。题目中先后两次使用相似三角形。
例6 如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB. 设AP=x, △PBE的面积为y.
（1）求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.
解：（1）过P作PF⊥BC，垂足为F
在Rt△CPF和Rt△CAB中
∵∠PCF=∠ACB ∠CFP=∠CBA=90°
∴△CPF∽△CAB
∴ ∴
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∴CF=PF=1- BE=2BF=x
y=×x（1-）=（0＜x＜）
（2）y==.
∵＜0 ∴ 当时，y最大值.
注意：在这个问题中二次函数y=（0＜x＜）中自变量x有实际意义----线段AP的长度，且0＜x＜，因此，这个函数的图象只能是二次函数y=图象上0＜x＜的一段，这时抛物线的顶点（，）正好在这一段上。
例7 如图，直线和轴，轴的交点分别为，点的坐标是．动点从点出发沿轴向点运动，同时动点从点出发沿线段向点运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，它们都停止运动．
（1）试说明是等腰三角形；
（2）设点运动秒时，的面积为求与的函数关系式；
（3）当点在线段上运动时，是否存在的情形？若存在，求出对应的值；若不存在，说明理由；
（4）在运动过程中，当为直角三角形时，求的值．
解：（1）将代入 得，
∴点的坐标为；
将代入 得
∴点的坐标为．
在中，，，．
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又，，，
是等腰三角形．
（2）
故点同时开始运动，同时停止运动．
过点作轴于
N
D
M
图甲
在Rt△BND和Rt△BCO中
∵sin∠OBC=
∴DN=BNsin∠OBC=t
当时（如图甲），，
∴S=OM·DN=（2- t）t= -t2+t（）
图乙
N
D
M
当时（如图乙），，
∴S=OM·DN=（t -2）t （）
（3）存在的情形．
当时，．
解得，（不合题意，舍去）．
，故当时，秒．
（4）①如图，当轴时，为直角三角形．
在Rt△BNM和Rt△BCO中
∵cos∠CBO=
BN=t，BM=5-t ∴BM=t=5-t
∴
②如图，当点分别运动到点时，为直角三角形，∴．
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故为直角三角形时，秒或秒．
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