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第十七章 反比例函数
本章小结
小结1 本章概述
本章的主要内容是反比例函数的概念和图象，确定反比例函数的解析式.通过本章的学习掌握相关的知识，同时养成数形结合的思考形式和思考方法，代数式、方程、函数、图形、直角坐标系结合起来进行思考，互相解释、互相补充，对于整个中学数学的学习，愈往后，愈显出其重要性，通过本章的学习，要为数形结合能力打下良好的基础.培养学生的应用意识．
小结2 本章学习重难点
【本章重点】本章的重点是反比例函数的概念、图象和性质，图象是直观地描述和研究函数的重要工具.教材中给出了大量的具体的反比例函数的例子，用以加深学生对所学知识的理解和融会贯通.
【本章难点】本章的难点是对反比例函数及其图象和性质的理解和掌握，教学时在这方面要投入更多的精力．
知识网络结构图
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专题总结及应用
专题1 反比例函数的概念
【专题解读】函数(k≠0)叫做反比例函数，也可以写成xy=k（k≠0）或y=kx-1（k≠0）,它的自变量的取值范围是x≠0的所有实数，因为反比例函数(k≠0)只有一个常数k，所以求反比例函数表达式也就是求k，要注意两点：（1）(k≠0)；若写成y=kx-1是，x的指数是-1.
例1 判断下列各式是否表示y是x的反比例函数，若是，指出比例系数k的值；若不是，指出是什么函数.
（1） （2）
（3） （4）
（5）
分析 判断y是否是x的反比例函数，关键是根据的比例函数的定义，观察两个变量x，y之间能否写成（k为常数，k≠0）的形式.
解：（1）是反比例函数，k=-8.
（2）可写成是反比例函数，
（3）不是反比例函数，是一次函数.
（4）不是反比例函数，是正比例函数.
（5）可写成是反比例函数
例2 根据题意列出函数关系式，并判断是什么函数.
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（1）面积为常数m的长方形的长y与宽x之间的关系；
（2）一本500页的书，每天看15页，x天后尚未看完的页数y与天数x之间的关系.
解：（1）（m是常数，x＞0）,是反比例函数.
（2）y=500-15x，是一次函数.
【解题策略】 解答此题首先要熟练掌握一次函数与反比例函数的定义.
专题2 反比例函数图象的位置与系数的关系
【专题解读】 反比例函数的图象是由两个分支组成的双曲线，图象的位置与比例系数k的关系有如下两种情况：
（1）双曲线的两个分支在第一、三象限在第一象限内，y随x的增大而减小.
（2）双曲线的两个分支在第二、四象限在第一象限内，y随x的增大而增大.
例3 函数与在同一坐标系中的图象可能是（如图17-36所示）
分析 分两种情况来考虑a的正负情况：
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①当a＞0时，函数的图象在第一、二、四象限，函数的图象在第二、四象限，因此A项正确.
②当a＜0时，函数的图象在第一、三、四象限，函数的图象在第一、三象限，四个选项中没有适合的.
答案：A
【解题策略】 解答本题也可以从选项出发来考虑a的情况.例如A项，由函数的可判断a＞0，由函数的图象可判断a＞0，由此可判断A项正确,再例如B项，由函数的增减性质可判断-a＜0，即a＞0，但由函数的图象与y轴的交点位置可判断a＜0，与前面得到的a＞0相矛盾，故B不正确，类似地，也可判断C，D两个选项不正确.
专题3 反反函数的图象
【专题解读】 如图17-37所示，若点A（x，y）为反比例函数图象上的任意一点，过A作AB⊥x轴于B，作AC⊥y轴于C，则S△AOB=S△AOC=S矩形ABOC=.
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例4 如图17-38所示，点P是x轴正半轴上的一个动点，过P作x轴的垂线交双曲线于点Q，连续OQ，当点P沿x轴正方向运动时，Rt△QOP的面积 （ ）
A．逐渐增大 B．逐渐减小
C．保持不变 D．无法确定
分析 过Q作QA⊥y轴，交y轴于点A，则S△OPQ= S矩形AOPQ=所以S△OPQ是一个定值，即保持不变.
答案：C
【解题策略】 掌握比例系数k的几何意义，即|k|= S矩形AOPQ=2 S△OPQ是这类问题的解题关键.
例5 如图17-39所示，在反比例函数的图象上有点，它们的横坐标依次为1，2，3，4，分别过些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则 .
分析 由题意及图象可知，三个长方形的长都为1，设
代入可求得
答案：
专题4 反比例函数与一次函数的综合应用
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【专题解读】 主要考查反比例函数与一次函数的概念、图象、性质，以及用待定系烽法求出函数解析式，已知函数图象确定比例系数或变化范围等知识.
例6 已知反比例函数和一次函数的图象的一个交点坐标是（-3，4），且一次函数的图象与x轴的交点到原点的距离为5，分别确定反比例函数和一次函数的表达式.
分析 因为点（-3，4）是反比例函数和一次函数的图象的一个交点，所以把（-3，4）代入中即可求出反比例函数的表达式.欲求一次函数的表达式，有两个待定未知数m，n，书籍一个眯（-3，4），只需再求一个一次函数图象上的点即可.由2由一次函数图象与x轴的交点到的点的距离是5，则这个交点坐标为（-5，0）或（5，0）分类讨论即可求得一次函数的解析式.
解：因为函数的图象经过点（-3，4），
所以所以k=-12.
所以反比例函数的表达式是
由题意可知，一次函数的图象与x轴的交点坐标为（5，0）或（-5，0），则分两种尾部讨论：
当直线经过点（-3，4）和（5，0）时，
有解得
所以
当直线经过点（-3，4）和（-5，0）时，
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有解得
所以
所以所求反比例函数的表达式为一次函数的表达式为或
例7 已知反比例函数的图象经过点A（-2，3）.
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）经过点A的正比例函数的图象与反比例函数的图象还有其他交点吗？若有，求出交点坐标；若没有，说明理由.
分析 （1）利用点A（-2，3）求出反比例函数的表达式.（2）利用点A（-2，3）求出正比例函数的表达式，由两个函数关系式组成方程组，即可求出两图象的交点坐标，从而得到两个函数图象的另一个交点坐标.
解：（1）因为点A（-2，3）在反比例函数上.
所以所以k=-6,
所以反比例函数的表达式为
（2）有，理由如下：
因为正比例函数的图象经过点A（-2，3），
所以，所以
所以正比例函数的表达式为
则解得或
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所以正比例函数的图象与反比例函数的图象的另一个交点坐标为（2，-3）.
例8 已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标是3，点B的纵坐标是-3.
（1）求一次函数的表达式；
（2）当一次函数值小于0时，求x的取值范围.
分析 （1）首先由A，B两点在反比例函数图象上可求出A，B两点坐标，再用待定系数法求出k，b，进而得到一次函数的解析式.（2）令的值y＜0，求出x的取值范围.
解：因为A，B两点为两函数图象的交点，
所以点A，B在反比例函数的图象上.
当x=3时，当y=-3时，所以x=-2.
所以A（3，2），B（-2，-3）.
把A（3，2），B（-2，-3）代入中，
得解得
所以一次函数的表达式是y=x-1.
（2）令y＜0得x=1＜0，所以x＜1.
所以当函数值小于0时，x的取值范围是x＜1.
专题5 反比例函数的实际应用
例9由物理学知识知道，在力F（N）的作用下，物体会在力F的方向发生位移s（m），力F所做的功W（J）满足
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当W为定值时，F与s之间的函数图象如图17-42所示.
（1）力F所做的功是多少？
（2）试确定F与s之间的函数表达式；
（3）当F= 4 N时，s是多少？
解：（1）因为
把（2，7.5）代入得W=7.2×5=15（J）.
（2）
（3）当F= 4 N时，m.
【解题策略】 利用函数图象研究数量之间的关系是数形结合思想的具体运用的一种，在解决有关函数问题时起着重要的作用.
2011中考真题精选
一、选择题
1. 如果反比例函数 （k是常数，k≠0）的图象经过点（-1，2），那么这个函数的解析式是 y=- ．
考点：待定系数法求反比例函数解析式．
专题：待定系数法．
分析：根据图象过（-1，2）可知，此点满足关系式，能使关系时左右两边相等．
解答：解：把（-1，2）代入反比例函数关系式得：k=-2，
∴y=- ，
故答案为：y=- ，
点评：
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此题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．
2. （2011江苏扬州，6，3分）某反比例函数的图象经过点（-1,6），则下列各点中，此函数图象也经过的点是（ ）
A. （-3,2） B. （3,2） C.（2，3） D.（6,1）
考点：反比例函数图象上点的坐标特征。
专题：函数思想。
分析：只需把所给点的横纵坐标相乘，结果是（﹣1）×6=﹣6的，就在此函数图象上．
解答：解：∵所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数，
∴此函数的比例系数是：（﹣1）×6=﹣6，∴下列四个选择的横纵坐标的积是﹣6的，就是符合题意的选项； A、（﹣3）×2=6，故本选项正确； B、3×2=6，故本选项错误； C、2×3=6，故本选项错误； D、6×1=6，故本选项错误；
故选A．
点评：本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
3. （2011重庆江津区，6，4分）已知如图，A是反比例函数的图象上的一点，AB丄x轴于点B，且△ABC的面积是3，则k的值是（ ）
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A、3 B、﹣3 C、6 D、﹣6
考点：反比例函数系数k的几何意义。
分析：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S＝|k|．
解答：解：根据题意可知：S△AOB＝|k|＝3，
又反比例函数的图象位于第一象限，k＞0，
则k＝6．
故选C．
点评：本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
4. （2010•吉林）反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是（ ）
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A、﹣1 B、
C、1 D、2
考点：反比例函数的图象。
分析：根据函数所在象限和反比例函数上的点的横纵坐标的积小于1判断．
解答：解：∵反比例函数在第一象限，
∴k＞0，
∵当图象上的点的横坐标为1时，纵坐标小于1，
∴k＜1，
故选B．
点评：用到的知识点为：反比例函数图象在第一象限，比例系数大于0；比例系数等于在它上面的点的横纵坐标的积．
5. （2011辽宁阜新,6,3分）反比例函数与在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为（ ）
A. B.2 C.3 D.1
考点：反比例函数系数k的几何意义。
专题：探究型。
分析：
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分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，过B作BC⊥y轴，点C为垂足，再根据反比例函数系数k的几何意义分别求出四边形OEAC、△AOE、△BOC的面积，进而可得出结论．
解答：解：分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，过B作BC⊥y轴，点C为垂足，
∵由反比例函数系数k的几何意义可知，S四边形OEAC=6，S△AOE=3，S△BOC=，
∴S△AOB=S四边形OEAC﹣S△AOE﹣S△BOC=6﹣3﹣=．
故选A．
点评：本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|；在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．
6 （2011福建省漳州市，9,3分）如图，P（x，y）是反比例函数y=的图象在第一象限分支上的一个动点，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，随着自变量x的增大，矩形OAPB的面积（ ）
A、不变 B、增大
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C、减小 D、无法确定
考点：反比例函数系数k的几何意义。
专题：计算题。
分析：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=|k|，所以随着x的逐渐增大，矩形OAPB的面积将不变．
解答：解：依题意有矩形OAPB的面积=2×|k|=3，所以随着x的逐渐增大，矩形OAPB的面积将不变．
故选A．
点评：本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|．
7.（2011•玉林，11，3分）如图，是反比例函数y=和y=（k1＜k2）在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条曲线于A、B两点，若S△AOB=2，则k2﹣k1的值是（ ）
A、1 B、2 C、4 D、8
考点
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：反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形的面积。
专题：计算题。
分析：设A（a，b），B（c，d），代入双曲线得到K1=ab，K2=cd，根据三角形的面积公式求出cd﹣ab=4，即可得出答案．
解答：解：设A（a，b），B（c，d），
代入得：K1=ab，K2=cd，
∵S△AOB=2，
∴cd﹣ab=2，
∴cd﹣ab=4，
∴K2﹣K1=4，
故选C．
点评：本题主要考查对反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能求出cd﹣ab=4是解此题的关键．
8. （2011•铜仁地区8,3分）反比例函数y=（k＜0）的大致图象是（ ）
A、 B、 C、 D、
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考点：反比例函数的图象。
专题：图表型。
分析：根据反比例函数图象的特点与系数的关系解答即可．
解答：解：当k＜0时，反比例函数y=的图象在二、四象限．
故选B．
点评：本题主要考查了反比例函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限．
9. （2011广西防城港 11，3分）如图，是反比例函数y＝和y＝（k1＜k2）在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条曲线于A、B两点，若S△AOB＝2，则k2－k1的值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
考点：反比例函数系数k
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的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形的面积
专题：反比例函数
分析：设A（a，b），B（c，d），代入双曲线得到k1＝ab，k2＝cd，根据三角形的面积公式求出cd－ab＝4，即可得出答案，也就是cd－ab＝2，从而k2－k1＝4，故选C．
解答：C
点评：本题主要考查对反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能求出cd－ab＝4是解此题的关键．
二、填空题
1.（2011•湖南张家界，13，3）如图，点P是反比例函数图象上的一点，则矩形PEOF的面积是 ．
考点：反比例函数系数k的几何意义。
专题：计算题。
分析：因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S=|k|，再根据反比例函数的图象所在的象限确定k的值
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解答：解：∵点P是反比例函数图象上的一点，
∴S=|k|=6．
故答案为：6．
点评：本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
2.已知反比例函数 y=的图象经过点（3，-4），则这个函数的解析式为
y=- ．
考点：待定系数法求反比例函数解析式．
分析：根据待定系数法，把点（3，-4）代入y= 中，即可得到k的值，也就得到了答案．
解答：解：∵图象经过点（3，-4），
∴k=xy=3×（-4）=-12，
∴这个函数的解析式为：y=- ．
故答案为：y=- ．
点评：此题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点，此题比较简单，1. （2011云南保山，14，3分）如图，已知OA=6，∠AOB=30°，则经过点A的反比例函数的解析式为（ ）
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A． B． C． D．
分析：首先根据直角三角形的性质求出AC=3，再根据勾股定理求出OC的长，从而得到A点坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式．
解答：解：∵∠AOB=30°，
∴，
∵OA=6，
∴AC=3，
在Rt△ACO中，
OC2=AO2﹣AC2，
∴，
∴A点坐标是：，
设反比例函数解析式为，
∵反比例函数的图象经过点A，
∴，
∴反比例函数解析式为．
故选B．
点评：
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此题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，以及待定系数法求反比例函数解析式，做题的关键是根据勾股定理求出A点的坐标．
一、选择题
1. （2011江苏淮安，8，3分）如图，反比例函数的图象经过点A(-1,-2).则当x＞1时，函数值y的取值范围是（ ）
A.y＞1 B.0＜y＜1 C. y＞2 D.0＜ y＜2
考点：反比例函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征。
专题：数形结合。
分析：先根据反比例函数的图象过点A（﹣1，﹣2），利用数形结合求出x＜﹣1时y的取值范围，再由反比例函数的图象关于原点对称的特点即可求出答案．
解答：解：∵反比例函数的图象过点A（﹣1，﹣2），
∴由函数图象可知，x＜﹣1时，﹣2＜y＜0，
∴当x＞1时，0＜y＜2．
故选D．
点评：本题考查的是反比例函数的性质及其图象，能利用数形结合求出x＜﹣1时y的取值范围是解答此题的关键．
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2. （2011江苏连云港，4，3分）关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．必经过点（1，1） B．两个分支分布在第二、四象限
C．两个分支关于x轴成轴对称 D．两个分支关于原点成中心对称
考点：反比例函数的性质；轴对称图形；中心对称图形。
专题：推理填空题。
分析：把（1，1）代入得到左边≠右边；k=4＞0，图象在第一、三象限；根据轴对称的定义沿X轴对折不重合；根据中心对称的定义得到两曲线关于原点对称；根据以上结论判断即可．
解答：解：A、把（1，1）代入得：左边≠右边，故本选项错误；B、k=4＞0，图象在第一、三象限，故本选项错误； C、沿X轴对折不重合，故本选项错误； D、两曲线关于原点对称，故本选项正确；
故选D．
点评：本题主要考查对反比例函数的性质，轴对称图形，中心对称图形等知识点的理解和掌握，能根据反比例函数的性质进行判断是解此题的关键．
3. （2011盐城，6，3分）对于反比例函数y=，下列说法正确的是（ ）
A.图象经过点（1，﹣1） B.
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图象位于第二、四象限
C.图象是中心对称图形 D.当x＜0时，y随x的增大而增大
考点：反比例函数的性质.
专题：探究型.
分析：根据反比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可．
解答：解：A、∵1×（﹣1）=﹣1≠1，∴点（1，﹣1）不在反比例函数y=的图象上，故本选项错误；B、∵k=1＞0，∴反比例函数y=的图象在一、三象限，故本选项错误；C、∵函数y=是反比例函数，∴此函数的图象是中心对称图形，故本选项正确；D、∵k=1＞0，∴此函数在每一象限内y随x的增大而减小，故本选项错误．故选C．
点评：本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键，即反比例函数的性质：
（1）反比例函数y=（k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
4. （2011新疆建设兵团，7，5分）如图，l1是反比例函数y＝在第一象限内的图象，且经过点A（1，2）．l1关于x轴对称的图象为l2，那么l2的函数表达式为（ ）
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A、y＝（x＜0） B、y＝（x＞0） C、y＝﹣（x＜0） D、y＝﹣（x＞0）
考点：反比例函数的性质．
分析：因为l1关于x轴对称的图象为l2，因此可知道A关于x轴的对称点A′在l2的函数图象上，从而可求出解析式．
解答：解：A（1，2）关于x轴的对称点为（1，﹣2）．
所以l2的解析式为：y＝﹣，
因为l1是反比例函数y＝在第一象限内的图象，
所以x＞0．
故选D．
点评：本题考查反比例函数的性质，知道一点可以确定函数式，因此根据对称找到反比例函数上的点，从而求出解．
5.（2011湖北咸宁，5，3分）直角三角形两直角边的长分别为x，y，它的面积为3，则y与x之间的函数关系用图象表示大致是（ ）
A、 B、C、 D、
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考点：反比例函数的应用；反比例函数的图象。
专题：图表型。
分析：根据题意有：xy=3；故y与x之间的函数图象为反比例函数，且根据x y实际意义x、y应大于0，其图象在第一象限；故可判断答案为C．
解答：解：∵xy=3，
∴y=（x＞0，y＞0）．
故选C．
点评：本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．
6. （2010•吉林）反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是（ ）
A、﹣1 B、
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C、1 D、2
考点：反比例函数的图象。
分析：根据函数所在象限和反比例函数上的点的横纵坐标的积小于1判断．
解答：解：∵反比例函数在第一象限，
∴k＞0，
∵当图象上的点的横坐标为1时，纵坐标小于1，
∴k＜1，
故选B．
点评：用到的知识点为：反比例函数图象在第一象限，比例系数大于0；比例系数等于在它上面的点的横纵坐标的积．
7. （2011江苏淮安，8，3分）如图，反比例函数的图象经过点A(-1,-2).则当x＞1时，函数值y的取值范围是（ ）
A.y＞1 B.0＜y＜1 C. y＞2 D.0＜ y＜2
考点：反比例函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征。
专题：数形结合。
分析：
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先根据反比例函数的图象过点A（﹣1，﹣2），利用数形结合求出x＜﹣1时y的取值范围，再由反比例函数的图象关于原点对称的特点即可求出答案．
解答：解：∵反比例函数的图象过点A（﹣1，﹣2），
∴由函数图象可知，x＜﹣1时，﹣2＜y＜0，
∴当x＞1时，0＜y＜2．
故选D．
点评：本题考查的是反比例函数的性质及其图象，能利用数形结合求出x＜﹣1时y的取值范围是解答此题的关键．
8.（2011年山东省威海市，5，3分）下列各点中，在函数图象上的是（ ）
A、（–2，–4） B、（2，3） C、（–6，1） D、（– ，3）
考点：反比例函数图象上点的坐标特征．
专题：计算题．
分析：根据函数，得到–6=xy，只要把点的坐标代入上式成立即可．
解答：解：∵函数，
∴–6=xy，
只要把点的坐标代入上式成立即可，
把答案A、B、D的坐标代入都不成立，只有C成立．
故选C．
点评：本题主要考查对反比例函数图象上点的坐标特征的理解和掌握，能根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断是解此题的关键．
9. （2011•南充，7，3分，）小明乘车从南充到成都，行车的平均速度v（km/h）和行车时间t（h）之间的函数图象是（ ）
A、 B、
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C、 D、
考点：反比例函数的应用；反比例函数的图象。
专题：数形结合。
分析：根据时间t、速度v和路程s之间的关系，在路程不变的条件下，得v=，则v是t的反比例函数，且t＞0．
解答：解：∵v=（t＞0），
∴v是t的反比例函数，
故选B．
点评：本题是一道反比例函数的实际应用题，注：在路程不变的条件下，v是t的反比例函数．
10.（2011辽宁沈阳，4，3）下列各点中，在反比例函数图象上的是（ ）
A、（－1，8） B、（－2，4） C、（1，7） D、（2，4）
考点：反比例函数图象上点的坐标特征。
专题：计算题。
分析：由于反比例函数y＝中，k＝xy，即将各选项横、纵坐标分别相乘，其积为8者即为正确答案．
解答：解：A、∵－1×8＝－8≠8，∴该点不在函数图象上，故本选项错误；
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B、∵－2×4＝－8≠8，∴该点不在函数图象上，故本选项错误；
C、∵1×7＝7≠8，∴该点不在函数图象上，故本选项错误；
D、2×4＝8，∴该点在函数图象上，故本选项正确．
故选D．
点评：此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，将横、纵坐标分别相乘其积为k者，即为反比例函数图象上的点．
11.（2011辽宁本溪，7，3分）反比例函数 的图象如图所示，若点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是这个函数图象上的三点，且x1＞x2＞0＞x3，则y1、y2、y3的大小关系（ ）
A．y3＜y1＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y1＜y2＜y3
考点：反比例函数图象上点的坐标特征
专题：计算题
分析：由反比例函数图象可知，当x＜0或x＞0时，y随x的增大而增大，由此进行判断．
解答 解：由反比例函数的增减性可知，当x＞0时，y随x的增大而增大，
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∴当x1＞x2＞0时，则0＞y1＞y2，
又C（x3，y3）在第二象限，y3＞0，
∴y2＜y1＜y3，故选B．
点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点．关键是根据反比例函数的增减性解题．
4.（2011辽宁沈阳，4，3分）一元二次方程的根（ ）
A．（﹣1，8） B．（﹣2，4）
C．（1，7） D．（2，4）
考点：反比例函数图象上点的坐标特征。
专题：计算题。
分析：由于反比例函数中，k=xy，即将各选项横、纵坐标分别相乘，其积为8者即为正确答案．
解答：解：A、∵﹣1×8=﹣8≠8，∴该点不在函数图象上，故本选项错误；
B、∵﹣2×4=﹣8≠8，∴该点不在函数图象上，故本选项错误；
C、∵1×7=7≠8，∴该点不在函数图象上，故本选项错误；
D、2×4=8，∴该点在函数图象上，故本选项正确．
故选D．
点评：此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，将横、纵坐标分别相乘其积为k者，即为反比例函数图象上的点．
12. （2011福建福州，4，4分）如图是我们学过的反比例函数图象，它的函数解析式可能是（ ）
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A．y=x2 B． C． D．
考点：反比例函数的图象；正比例函数的图象；二次函数的图象．
分析：根据图象知是双曲线，知是反比例函数，根据在一三象限，知k＞0，即可选出答案．
解答：解：根据图象可知：函数是反比例函数，且k＞0，答案B的k=4＞0，符合条件，故选B．
点评：本题主要考查对反比例函数的图象，二次函数的图象，正比例函数的图象等知识点的理解和掌握，能熟练地掌握反比例的函数的图象是解此题的关键．
13. （2011福建省三明市，8,4分）下列4个点，不在反比例函数y=﹣图象上的是（ ）
A、（2，﹣3） B、（﹣3，2）
C、（3，﹣2） D、（3，2）
考点：反比例函数图象上点的坐标特征。
分析：根据y=﹣得k=xy=﹣6，所以只要点的横坐标与纵坐标的积等于﹣6，就在函数图象上．
解答：解：原式可化为：xy=﹣6，
A、2×（﹣3）=﹣6，符合条件；
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B、（﹣3）×2=﹣6，符合条件；
C、3×（﹣2）=﹣6，符合条件；
D、3×2=6，不符合条件．
故选D．
点评：本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
14.（2011甘肃兰州，2，4分）如图，某反比例函数的图象过点（－2，1），则此反比例函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
x
y
-2
1
O
考点：待定系数法求反比例函数解析式．
分析：利用待定系数法，设 y=，然后将点M（-2，1）代入求出待定系数即可．
解答：设反比例函数的解析式为 y=（k≠0），由图象可知，函数经过点P（-2，1），得k=-2，∴反比例函数解析式为．故选B．
点评：本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式：图象上的点满足解析式，满足解析式的点在函数图象上．利用待定系数法是求解析式时常用的方法．
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一、选择题
1. （2011•泰州，5，3分）某公司计划新建一个容积V（m3）一定的长方体污水处理池，池的底面积S（m2）与其深度h（m）之间的函数关系式为，这个函数的图象大致是（ ）
A、 B、.
C、. D、.
考点：反比例函数的应用；反比例函数的图象。
专题：几何图形问题；数形结合。
分析：先根据长方体的体积公式列出解析式，再根据反比例函数的性质解答．注意深度h（m）的取值范围．
解答：解：根据题意可知：，
依据反比例函数的图象和性质可知，图象为反比例函数在第一象限内的部分．
故选C．
点评：主要考查了反比例函数的应用和反比例函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．反比例函数y=的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；
当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．
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2. （2011湖北咸宁，5，3分）直角三角形两直角边的长分别为x，y，它的面积为3，则y与x之间的函数关系用图象表示大致是（ ）
A、 B、C、 D、
考点：反比例函数的应用；反比例函数的图象。
专题：图表型。
分析：根据题意有：xy=3；故y与x之间的函数图象为反比例函数，且根据x y实际意义x、y应大于0，其图象在第一象限；故可判断答案为C．
解答：解：∵xy=3，
∴y=（x＞0，y＞0）．
故选C．
点评：本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．
3.
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（2011黑龙江大庆，4，3分）若一个圆锥的侧面积是10，则下列图象中表示这个圆锥母线l与底面半径r之间的函数关系的是（ ）
A、 B、C、D、
考点：圆锥的计算；反比例函数的图象；反比例函数的应用。
专题：应用题。
分析：圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求得圆锥母线长l与底面半径r之间函数关系，看属于哪类函数，找到相应的函数图象即可．
解答：解：由圆锥侧面积公式可得l=，属于反比例函数．
故选D．
点评：本题考查了圆锥的计算及反比例函数的应用的知识，解决本题的关键是利用圆锥的侧面积公式得到圆锥母线长l与底面半径r之间函数关系．
4. （2011•南充，7，3分，）小明乘车从南充到成都，行车的平均速度v（km/h）和行车时间t（h）之间的函数图象是（ ）
A、 B、
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C、 D、
考点：反比例函数的应用；反比例函数的图象。
专题：数形结合。
分析：根据时间t、速度v和路程s之间的关系，在路程不变的条件下，得v=，则v是t的反比例函数，且t＞0．
解答：解：∵v=（t＞0），
∴v是t的反比例函数，
故选B．
点评：本题是一道反比例函数的实际应用题，注：在路程不变的条件下，v是t的反比例函数．
二、解答题
1. （2011•河池）如图，李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一个自制类似天平的仪器的左边固定托盘A中放置一个重物，在右边的活动托盘B（可左右移动）中放置一定质量的砝码，使得仪器左右平衡，改变活动托盘B与点O的距离x（cm），观察活动托盘B中砝码的质量y（g）的变化情况．实验数据记录如下表：
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（1）把上表中（x，y）的各组对应值作为点的坐标，在坐标系中描出相应的点，用平滑曲线连接这些点；
（2）观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，求出函数关系式并加以验证；
（3）当砝码的质量为24g时，活动托盘B与点O的距离是多少cm？
（4）当活动托盘B往左移动时，应往活动托盘B中添加还是减少砝码？
考点：反比例函数的应用。
专题：跨学科。
分析：（1）根据各点在坐标系中分别描出即可得出平滑曲线；
（2）观察可得：x，y的乘积为定值300，故y与x之间的函数关系为反比例函数，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的的关系式；
（2）把y=24代入解析式求解，可得答案；
（4）利用函数增减性即可得出，随着活动托盘B与O点的距离不断减小，砝码的示数应该不断增大．
解答：解：（1）如图所示：
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（2）由图象猜测y与x之间的函数关系为反比例函数，
∴设（k≠0），
把x=10，y=30代入得：k=300，
∴，
将其余各点代入验证均适合，
∴y与x的函数关系式为：．
（3）把y=24代入得：x=12.5，
∴当砝码的质量为24g时，活动托盘B与点O的距离是12.5cm．
（4）根据反比例函数的增减性，即可得出，随着活动托盘B与O点的距离不断减小，砝码的示数会不断增大；
∴应添加砝码．
点评：此题主要考查了反比例函数的应用，此题是跨学科的综合性问题，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
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2. （2011•郴州）用洗衣粉洗衣物时，漂洗的次数与衣物中洗衣粉的残留量近似地满足反比例函数关系．寄宿生小红、小敏晚饭后用同一种洗衣粉各自洗一件同样的衣服，漂洗时，小红每次用一盆水（约10升），小敏每次用半盆水（约5升），如果她们都用了5克洗衣粉，第一次漂洗后，小红的衣服中残留的洗衣粉还有1.5克，小敏的衣服中残留的洗衣粉还有2克．
（1）请帮助小红、小敏求出各自衣服中洗衣粉的残留量y与漂洗次数x的函数关系式；
（2）当洗衣粉的残留量降至0.5克时，便视为衣服漂洗干净，从节约用水的角度来看，你认为谁的漂洗方法值得提倡，为什么？
考点：反比例函数的应用。
专题：应用题。
分析：（1）设小红、小敏衣服中洗衣粉的残留量与漂洗次数的函数关系式分别为：y1=，y2=，后根据题意代入求出k1和k2即可；
（2）当y=0.5时，求出此时小红和小敏所用的水量，后进行比较即可．
解答：解：（1）设小红、小敏衣服中洗衣粉的残留量与漂洗次数的函数关系式分别为：y1=，y2=，
将和分别代入两个关系式得：
1.5=，2=，解得：k1=1.5，k2=2．
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∴小红的函数关系式是=，小敏的函数关系式是．
（2）把y=0.5分别代入两个函数得：
=0.5，=0.5，
解得：x1=3，x2=4，
10×3=30（升），5×4=20（升）．
答：小红共用30升水，小敏共用20升水，小敏的方法更值得提倡．
点评：本题考查了反比例函数的实际应用，读懂题意正确列出函数关系式是解题的关键．
综合验收评估测试题
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题
1．拖拉机开始工作时，油箱中有油40 L.如果每小时耗油5 L，那么工作时，油箱中余油量Q（L）与工作时间t（h）的函数关系图象为（如图17-43所示） （ ）
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2．如图17-44所示，在直解坐标系中一次函数y=6-x与反比例函数的图象相交于点A，B.设点A的坐标为（x1，y1），那么长为x1、宽为y1的矩形的面积和周长分别为 （ ）
A．4，12 B．8，12 C．4，6 D．8，6
3．函数的图象是（如图17-45所示） （ ）
4．如图17-46所示，某个反比例函数的图象经过点P，它的函数表达式为 （ ）
A．
B．
C．
D．
5．若矩形面积S为为定值，矩形的长为a，宽为b，则b关于a的函数关系图象大致是（如图17-47所示）
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（ ）
6．函数(k≠0)的图象如图17-48所示，那么函数的图象大致是（如图17-49所示） （ ）
7．反比例函数的图象如图17-50所示，随着x值的增大，y值 （ ）
A．增大
B．减小
C．不变
D．先减小后增大
8．如图17-51所示，正比例函数y=x
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的图象与反比例函数的图象相交于A，C两，AB⊥x轴于B，CD⊥x轴于D，则四边形ABCD的面积为 （ ）
A．1
B．
C．2
D．
9．反比例函数的图象位于 （ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、三象限 D．第二、四象限
10．在反比例函数的图象上有两点且，则的值为 （ ）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
二、填空题
11．在平面直角坐标系中，已知点在第二象限，且m为整数，则过点A的反比例函数的表达式为 .
12．若函数的图象经过点（-1，2），则k= .
13．若反比例函数则m= .
14．反比例函数图象的两支分别在第 象限.
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15．若是双曲线上的两点，且，则y1 y2（填“＞”“＜”或“＝”）.
16．点A（2，1）在反比例函数的图象上，当1＜x＜4时，y的取值范围是 .
17．若反比例函数经过点（-1，2），则一次函数的图象一定不经过第 象限.
18．点P是反比例函数上的一点，PD⊥x轴于点D，则△POD的面积为 .
19．函数（k是常数且k≠0）的图象经过点A（a，-a），那么k 0（填“＞”“＜”）.
20．反比例函数（m为常数）的图象如图17-52所示，则m的取值范围是 .
三、解答题
21．已知如图17-53中的曲线是反比例函数（m为常数）图象的一支.
（1）这个反比例函数图象的另一支在第几象限？常数m的取值范围是什么？
（2）若该函数的图象与正比例函数y=2x的图象在第一象限内的交点为A，过A点作x轴的垂线，垂足为B，当△OAB的面积为4时，求点A的坐标及反比例函数的解析式.
22．已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内的交点为P（x0，3）.
（1）求x0的值；
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（2）求一次函数及反比例函数的表达式.
23．反比例函数的图象经过点A（2，3）.
（1）求这个函数的表达式；
（2）试判断点B（1，6）是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由.
24．已知关于x的一次函数和反比例函数的图象都经过点（2，m）.
（1）求一次函数的解析式；
（2）求这两个函数图象的另一个交点坐标.
25．某气球充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体的体积V（m3）是反比例函数，其图象如图17-54所示.
（1）写出这一函数的表达式；
（2）当气体体积为1 m3时，气压是多少？
（3）当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为安全起见，气球的体积应大于多少？
26．如图17-55所示，A，B两点在函数的图象上.
（1）求m的值及直线AB的解析式；
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（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点，请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数.
27．如图17-56所示，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点A（3，2）.
（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式.
（2）根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？
（3）M（m,n）是反比例函数图象上的一动点，其中过点M作直线MB∥x轴，交y轴于点B；过点A作直线AC∥y轴，交x轴于点C，交直线MB于点D.当四边形OADM的面积为6时，请判断线段MB与DM的大小关系，并说明理由.
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参考答案
1．C[提示：Q=40-5t,0≤t≤8.]
2．A[提示：联立和求交点，得到A点坐标.]
3．D[提示：图象在第一、三象限.]
4．D[提示：图象经过（-1，1），代入中，得]
5．C[提示：当面积S为定值时，有且有]
6．C[提示：由图象知所以一次函数的]
7．B
8．C[提示：由方程组得所以A（1，1），C（-1，-1）.因为AB⊥x轴，CD⊥x轴，AB=CD=1，所以ABCD.所以四边形ABCD是平行四边形，且B（1，0），D（-1，0）.所以S□ABCD=2·S△ABD=·BD·AB=BD·AB=2×1=2.]
9．D[提示：由可知k=-2，由反比例函数的性质可知，反比例函数图象在第二、四象限.]
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10．A[提示：欲判断的值的情况，只需判断y1与y2的大小关即可.由可知，这个反比例函数的图象在第二、四象限，由反比例函数的图象与性质可知，在反比例函数图象的每一个分支上，y随x的增大而增大，又因为所以
均在第四象限分支上，所以，即]
11．[提示：是整数，所以m=4，所以点A的坐标为（-1，1）.]
12．-2 13．-1 14．一、三 15．＜ 16． 17．四
18．1[提示：设P点坐标为，则有S△POD=]
19．＜
20．[提示：由反比例函数图象可知解得]
21．提示：双曲线是成对出现的.k＞0时，在第一、三象限；k＜0时，在第二、四象限.解：（1）这个反比例函数图象的另一支在第三象限.因为这个反比例函数的图象分布在第一、三象限，所以解得m＞5.（2）如图17-57所示，由第一象限内的点A在正比例函数y=2x的图象上，设点A的坐标为，则点B的坐标为S△OAB=4，·解得（负值舍去）.∴点A的坐标为（2，4）.又∵点A在反比例函数的图象上，∴即
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22．解：（1）因为点在一次函数的图象上，所以即m=3-x0,① 又因为点在反比例函数的图象上，所以所以② 由①②可知（2）由（1）得所以一次函数的表达式为y=x+2,反比例函数的表达式为
23．解：（1）因为点A（2，3）在反比例函数的图象上，所以，所以k=6.所以反比例函数的表达式为（2）点B（1，6）在这个反比例函数的图象上，理由职下：当x=1时, 所以点B（1，6）在这个反比例函数的图象上.
24．提示：（1）由待定系数法求一次函数y=kx+1的解析式，只需求出点（2，m）中的m，而点（2，m）在反比例函数图象上，代入即可求出m，进而求出一次函数的解析式.（2）由（1）和组成方程组，求出两个函数图象的另一个交点坐标.解：（1）由题意可知由②得m=3.把m=3代入①，得3=2k+1，所以k=1，所以一次函数的解析式为y=x+1.（2）由解得或显然，两个函数图象的另一个交点坐标是（-3，-2）.
25．解：（1）设由图象过A（0.8，120），得m=0.8×120=96，即（2）当V=1时，（kPa）.（3）p≤140，由反比例函数关系式得140≥，即V≥
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所以，为安全起见，气球的体积应大于m3.
26．解：（1）由图象可知，函数的图象经过点A（1，6），可得m=6.设直线AB的解析式为y=kx+b.∵A（1，6），B（6，1）两点在函数y=kx+b的图象上，∴解得∴直线AB的解析式为y=-x+7.（2）图17-58中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数是3.当x=2时，y=-x+7=5，又3＜4＜5，故（2，4）为阴影部分内的格点.同理可知（3，3），（4，2）也是阴影部分内的格点.故阴影部分（不包括边界）所含格点有（2，4），（3，3），（4，2）三个.
27．解：（1）将A（3，2）分别代入中，得∴反比例函数的表达式为正比例函数的表达式为（2）观察图象，得在第一象限内，0＜x＜3时，反比例函数的值大于正比例函数的值.（3）BM=DM.理由：∵S△OMB=∴S矩形OBDC= S四边形OADM + S△OMB + S△OAC=6+3+3=12，即OC·OB=12.∵OC=3，∴OB=4，即n=4，∴
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