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第十九章 四边形
本章小结
小结1 本章概述
本章通过学习平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的定义、性质及判定，了解它们之间的关系，并能灵活运用它们的性质和判定解决一些计算问题和实际问题.同时，本章探索并了解了有关三角形中位线、梯形中位线的相关知识．
小结2 本章学习重难点
【本章重点】掌握并会灵活运用平行四边形的定义、性质及判定；会灵活应用平行四边形及特殊平行四边形的相关知识解决一些简单的实际问题；掌握梯形及等腰梯形的定义、性质及判定，并会灵活运用；理解并掌握三角形中位线、梯形中位线的定义及性质，会应用它们解决一些计算及实际问题.
【本章难点】掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质及判定条件，以及它们之间存在的联系与区别，会应用三角形中位线、梯形中位线解决一些简单问题.
【学习本章应注意的问题】通过设立问题情境，主动探索和自觉总结四边形的相关性质，掌握四边形的性质；同时要熟识几种特殊四边形的判定，掌握转化思想在本章中的应用，如将梯形问题转化为三角形和平行四边形问题来解决.
小结3 中考透视
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中考关于四边形的考题大多结合三角形知识进行考查，而平行四边形的性质是证明两条直线平行、线段相等及角相等的依据.另外关于平行四边形的面积及周长、对称性也常出现在中考题中，这类题有填空题、选择题、计算题和证明题，深刻理解和牢记多边形、平行四边形的性质和判定是关键和前提．
知识网络结构图
专题总结及应用
一、 知识性专题
专题1 平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的概念及性质
【专题解读】 围绕平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的概念及性质进行命题.
例1 下列说法错误的是 ( )
A.平行四边形的对角相等
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B.等腰梯形的对角线相等
C.两条对角线相等的平行四边形是矩形
D.对角线互相垂直的四边形是菱形
分析 由平行四边形、矩形、等腰梯形的性质可以发现A，B，C都是正确的.D不正确，对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，还可能是正方形或等腰梯形.
答案：D
【解题策略】对角线互相垂直的四边形不一定对角线互相平分.
例2 如图19-125所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E为BC的中点，设△DEA的面积为，梯形ABCD的面积为，则与的关系为 .
分析 由E为BC的中点，延长DE与AB的延长线交于点F，由CD∥AB，得，又因为所以△CED≌△BEF，所以DE=EF，所以S菱形ABCD= S△DAF.由等底等高的三角形面积相等，得= S△AFE=，即或.
答案：（或）
【解题策略】根据三角形面积公式，当同底三角形的高相等式相同时，可以考虑由底的关系确定三角形的面积之间的关系.
例3如图19-126所示，ABCD是正方形，G是BC上一点，于点E，于点F.
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（1）求证△ABF≌△DAE；
（2）求证.
分析 （1）根据正方形的性质证明全等的条件.（2）由全等和，则问题可证.
证明：（1）在正方形ABCD中，
∴.
∵∴，∴.
又∵∴∴△ABF≌△DAE（AAS）.
（2）由（1）可知△ABF≌△DAE，∴
∴即.
专题2 平行四边形（含特殊的平行四边形）的判定与性质之间的区别与联系
【专题解读】 围绕平行四边形（含特殊的平行四边形）的判定与性质综合应用命题.
例4 如图19-127所示，将一张矩形纸片ABCD沿着GF折叠（F在BC边上，不与B，C重合），使得C点落在矩形ABCD的内部点E处，FH平分，则的度数a满足 （ ）
A.90°＜a＜180°
B.a=90°
C.0°＜a＜90°
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D.a随关折痕位置的变化而变化
分析 利用矩形的性质和三角形全等的性质解答本题.由△GCF≌△GEF得，又有，所以所以.
答案：B
例5 如果菱形的一条对角线长是12㎝，面积是30，那么这个菱形的另一条对角线长为 ㎝.
分析 由于菱形的对角线互相垂直，所以菱形的面积可以用两条对角线乘积的一半表示，故另一条对角线的长为（㎝）.
答案：5
例6 如图19-128所示，的周长为16㎝，AC，BD相交于点O，，交AD于点E，则的△DCE周长为 （ ）
A.4㎝ B.6㎝
C.8㎝ D.10㎝
分析 因为的周长为16㎝，所以（㎝），因为O为AC的中点，又因为于点O，所以，所以△DCE的周长为（㎝）.
答案：C
二、规律方法专题
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专题3 构造中位线解决线段的倍分关系
【专题解读】 题目中涉及或2倍关系时，常常考虑构造中位线.
例7 四边形ABCD为平行四边形，∥AC，DE交AC的延长线于F点，交BE于E点.
（1）求证
（2）若求BE的长；
（3）在（2）的条件下，求四边形ABED的面积.
证明：（1）如图19-129所示，延长DC交BE于点M，
∵BE∥AC，AB∥DC，
∴四边形ABMC是平行四边形.
∴∴C为DM的中点.
∵BE∥AC，∴CF是△DME的中位线，∴.
解：（2）由（1）得CF是△DME的中位线，故.
又∵∴.
∵四边形ABMC是平行四边形，∴.
∴.
又∵，
∴在Rt△ADC中，利用勾股定理得.∴.
（3）可将四边形ABED的面积分为梯形ABMD和三角形DME
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两部分.
在Rt△ADC中利用勾股定理得.
由CF为△DME的中位线得.
∴.
由四边形ABMC是平行四边形得.
∴梯形ABMD的面积为.
由和BE∥AC，得三角形DME是直角三角形，
其面积为，
∴四边形ABED的面积为.
专题4 构造平行四边形解决线段相等、角相等的问题
【专题解读】 利用平行四边形边、角的性质可以解决有关线段相等、角相等的问题.
例8 如图19-130所示，在中，是DC的中点，E是垂足，求证.
分析 添加辅助线MN，交BE于F.N为AB中点，由已知条件证得.由三角形中位数性质证得则，又由四边形BCMN是菱形，证得，从而结论得证.
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证明：取AB的中点N，连接MN，MB.MN交EB于F.
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以ABDC.
又M，N分别是DC，AB的中点，
所以DMAN，MCNB，
即四边形ANMD和四边形MNBC都是平行四边形.
所以.
因为N是AB中点，NF∥AE，
所以F是BE的中点.
又，所以，
因为MC=BC，所以是菱形，
所以，即.
【解题策略】证明角的和、差、倍、分关系时，应依据题目的背景经观察分析后适当添加辅助线，把较大角分割成若干较小角，最终归结到证明两个角相等的途径上以解决问题.本题添加辅助线MN，MB后，利用菱形对角线性质及等腰三角形三线合一的性质证明有关角相等，从而解决问题.
专题5 有关四边形的性质与判定的开方探索题
【专题解读】 这类题分为条件开放、结论开放、条件和结论双开放三种类型.
例9 如图19-131所示，在中，E，F分别是边AD，BC的中点，AC分别交BE，DF
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于点M，N.给出下列结论：①△ABM≌△CDN；②③④S△AMB S△ABC.其中正确的结论是 . （只填序号）
分析 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB CD，∴又∵E，F分别是AD，BC的中点，∴DEBF，∴四边表BEDF是平行四边形，∴∵∴∴△ABM≌△CDN.∴①正确.由可得∴又∵AD∥BC，∴又∴△AME≌△CNF，∴.由FN∥BM，FC=BF，得CN=MN，∴∴②正确.∵∴S△AMB S△ABC.∴④不正确.FN为△BMC的中位线，△ABM≌△CDN，则∴.∴③正确.
答案：①②③
专题6 动手操作题
【专题解读】 这类题的特点是根据给出的图形，需要通过裁剪、平移、旋转等方法才能得到题中要求的图形和结论.
例10 某市要在一块块形状为平行四边形ABCD的空地上建造一个四边形花园，要求花园所占面积是
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面积的一半，并且四边形花园的四个顶点作为出入口，要求其分别在的四条边上，请你设计两种方案.
方案（一）：如图19-132（1）所示，两个出入口E，F已确定，请在图（1）上画出符合要求的四边形花园，并简要说明画法.
方案（二）：如图19-132（2）所示，一个出入口M已确定，请在图（2）上画出符合要求的梯形花园，并简要说明画法.
解：方案（一） 画法1：①过F作FH∥AB，交AD于点H.
②在DC上作取一点G，连接则四边形EFGH就是所要画的四边形，如图19-133（1）所示.
画法2：①过F作FH∥AB，交AD于点H.
②过E作EG∥AD，交DC于点G，连接则四边形EFGH就是所要画的四边形，如图19-133（2）所示.
画法3：①在AD上取一点H，使.
②在CD上任取一点G，连接EF,则四边形EFGH就是所要画的四边形，如图19-133（3）所示.
方案（二） 画法：①过M点作MP∥AB，交AD于点P.
②在AB上取一点Q，连接PQ.
③过M作MN∥PQ，交DC于点N，连接QM，PN
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，则四边形QMNP就是所要画的梯形，如图19-133（4）所示.
三、 思想方法专题
专题7 转化思想
【专题解读】 本章中转化思想主要是将梯形问题转化为三角形和平行四边形问题来处理.
例11 如图19-134所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，将该梯形折叠，点A恰好与点D重合，BE为折痕，那么AD的长度为 .
分析 ∵BD是AB沿BE折叠得到的，∴∵，∴.过点D作垂足为F.∵DC∥AB，∴∵∴.
答案：30
【解题策略】在梯形中求线段的长，常作梯形的高为辅助线，使其转化为矩形和直角三角形，化整为零，化陌生为熟悉，这是处理梯形问题常见的转化方法.
专题8 方程思想
【专题解读】 本章主要体现在通过方程（组）、不等式（组）恒等变形等式代数方法解决有关图形计算的问题.
例12 已知两个多边形的内角和为1440°，且两多边形的边数之比为1：3，求它们的边数分别是多少.
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分析 先设某一个多边形的边数为x，由多边表的内角和公式列出关于x的一元一次方程，求解即可.
解：设其中边数较少的多边形边数是x，则另一个多边形边数是3x，
由题意得，解得.
答：它们的边数分别为3和9.
2011中考真题精选
1. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，过点D作DE⊥BC，垂足为E，并延长DE至F，使EF=DE．连接BF、CD、AC．
（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；
（2）如果DE2=BE•CE，求证四边形ABFC是矩形．
考点：等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质．
专题：证明题．
分析：（1）连接BD，利用等腰梯形的性质得到AC=BD，再根据垂直平分线的性质得到DB=FB，从而得到AC=BF，然后证得AC∥BF，利用一组对边平行且相等判定平行四边形；
（2）利用题目提供的等积式和两直角相等可以证得两直角三角形相似，得到对应角相等，从而得到直角来证明有一个角是直角的平行四边形是矩形．
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解答：证明：（1）连接BD，
∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴AC=BD，∠ACB=∠DBC
∵DE⊥BC，EF=DE，
∴BD=BF，∠DBC=∠FBC，
∴AC=BF，∠ACB=∠CBF
∴AC∥BF，
∴四边形ABFC是平行四边形；
（2）∵DE2=BE•CE
∴ ，
∵∠DEB=∠DEC=90°，
∴△BDE∽△DEC
∴∠BDC=∠BFC=90°，
∴四边形ABFC是矩形．
点评：本题考查了等腰梯形的性质、全等及相似三角形的判定及性质等，是一道集合了好几个知识点的综合题，但题目的难度不算大．
2. （2011四川广安，23，8分）如图5所示，在菱形ABCD中，∠ABC＝ 60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE＝BE．
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图5
考点：菱形的性质，等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，线段的倍分关系
专题：四边形
分析：思路一：易知四边形ACED是平行四边形，则AD＝CE＝BC，从而可知BC＝BE，要说明DE＝BE，只需说明DE＝BC即可．
思路二：连接BD，先证∠BDE＝90°，再证∠DBE＝30°，根据30°的角所对的直角边等于斜边的一半可直接获得结论（自己完成证明过程）．
解答：∵ABCD是菱形，
∴AD//BC，AB＝BC＝CD＝DA．
又∵∠ABC＝ 60°，
∴BC＝AC＝AD．
∵DE∥AC
∴ACED为平行四边形．
∴CE＝AD＝BC，DE＝AC．
∴DE＝CE＝BC，
∴DE＝BE．
点评：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，而平行四边形的对边相等，由此可以得出相等的线段，可实现线段的等量代换（转移），这就为证明线段相等或倍、分关系创造了条件．
3. （2010重庆，24，10分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=45°，CD=2，BD⊥CD．过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD
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于F，点G为BC中点，连接EG、AF．
（1）求EG的长；
（2）求证：CF=AB+AF．
A
B
E
G
C
D
F
24题图
考点：梯形；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理
分析：（1）根据BD⊥CD，∠DCB=45°，得到∠DBC=∠DCB，求出BD=CD=2，根据勾股定理求出BC=2，根据CE⊥BE，点G为BC的中点即可求出EG；
（2）在线段CF上截取CH=BA，连接DH，根据BD⊥CD，BE⊥CD，推出∠EBF=∠DCF，证出△ABD≌△HCD，得到AD=BD，∠ADB=∠HDC，根据AD∥BC，得到∠ADB=∠DBC=45°，推出∠ADB=∠HDB，证出△ADF≌△HDF，即可得到答案．
解答：（1）解：∵BD⊥CD，∠DCB=45°，
∴∠DBC=45°=∠DCB，∴BD=CD=2，在Rt△BDC中BC==2，∵CE⊥BE，点G为BC的中点，∴EG=BC=．
答：EG的长是．
（2）证明：在线段CF上截取CH=BA，连接DH，
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A
B
E
G
C
D
F
24题答图
∵BD⊥CD，BE⊥CE，
∴∠EBF+∠EFB=90°，∠DFC+∠DCF=90°，
∵∠EFB=∠DFC，
∴∠EBF=∠DCF，
∵DB=CD，BA=CH，
∴△ABD≌△HCD，
∴AD=DH，∠ADB=∠HDC，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC=45°，
∴∠HDC=45°，∴∠HDB=∠BDC﹣∠HDC=45°，
∴∠ADB=∠HDB，
∵AD=HD，DF=DF，
∴△ADF≌△HDF，
∴AF=HF，
∴CF=CH+HF=AB+AF，
∴CF=AB+AF．
点评：本题主要考查对梯形，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行推理是解此题的关键．
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4. （2011•泰州，24，10分）如图，四边形ABCD是矩形，直线l垂直平分线段AC，垂足为O，直线l分别与线段AD、CB的延长线交于点E、F．
（1）△ABC与△FOA相似吗？为什么？
（2）试判定四边形AFCE的形状，并说明理由．
考点：相似三角形的判定；线段垂直平分线的性质；菱形的判定；矩形的性质。
专题：证明题；综合题。
分析：（1）根据角平分线的定义，同角的余角相等可知∠AFO=∠CAB，根据垂直的定义，矩形的性质可知∠ABC=∠FOA，由相似三角形的判定可证△ABC与△FOA相似；
（2）先证明四边形AFCE是平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判断．
解答：解：（1）∵直线l垂直平分线段AC，
∴∠AFO=∠CFO，
∵∠CFO+∠FCO=∠CAB+∠FCO=90°，
∴∠AFO=∠CAB，
∵∠AOF=∠CBA=90°，
∴△ABC∽△FOA．
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（2）∵直线l垂直平分线段AC，
∴AF=CF，
可证△AOF≌△AOE，
∴AE=CF，FO=EO．
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴四边形AFCE是菱形．
点评：考查了线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定，矩形的性质，菱形的判定，综合性较强，有一定的难度．
5. （2010重庆，26，12分）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=2，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP=3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点发发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧．设运动的时间为t秒（t≥0）．
（1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；
（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；
（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H
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，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存大，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．
A
D
C
O
B
P
F
E
26题图
考点：相似三角形的判定与性质；根据实际问题列二次函数关系式；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；矩形的性质；解直角三角形
分析：（1）当边FG恰好经过点C时，∠CFB=60°，BF=3﹣t，在Rt△CBF中，解直角三角形可求t的值；
（2）按照等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的图形特点，分为0≤t＜1，1≤t＜3，3≤t＜4，4≤t＜6四种情况，分别写出函数关系式；
（3）存在．当△AOH是等腰三角形时，分为AH=AO=3，HA=HO，OH=OA三种情况，分别画出图形，根据特殊三角形的性质，列方程求t的值．
解答：解：（1）当边FG恰好经过点C时，∠CFB=60°，BF=3﹣t，在Rt△CBF中，BC=2，tan∠CFB=，即tan60=，解得BF=2，即3﹣t=2，t=1，∴当边FG恰好经过点C时，t=1；
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A
D
C
O
B
P
F
E
G
26题答图①
（2）当0≤t＜1时，S=2t+4；
当1≤t＜3时，S=﹣t2+3t+；
当3≤t＜4时，S=﹣4t+20；
当4≤t＜6时，S=t2﹣12t+36；
（3）存在．
理由如下：在Rt△ABC中，tan∠CAB==，
∴∠CAB=30°，又∵∠HEO=60°，∴∠HAE=∠AHE=30°，
∴AE=HE=3﹣t或t﹣3，
1）当AH=AO=3时，（如图②），过点E作EM⊥AH于M，则AM=AH=，
在Rt△AME中，cos∠MAE═，即cos30°=，
∴AE=，即3﹣t=或t﹣3=，
∴t=3﹣或t=3+，
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A
D
C
O
B
P
E
H
M
26题答图②
2）当HA=HO时，（如图③）则∠HOA=∠HAO=30°，
又∵∠HEO=60°，∴∠EHO=90°，EO=2HE=2AE，
又∵AE+EO=3，∴AE+2AE=3，AE=1，
即3﹣t=1或t﹣3=1，∴t=2或t=4；
A
D
C
O
B
P
E
H
26题答图③
3）当OH=OA时，（如图④），则∠OHA=∠OAH=30°，
∴∠HOB=60°=∠HEB，∴点E和点O重合，
∴AE=3，即3﹣t=3或t﹣3=3，t=6（舍去）或t=0；
A
D
C
O(E)
B
P
H
26题答图④
综上所述，存在5个这样的t值，使△AOH是等腰三角形，即t=3﹣或t=3+或t=2或t=2或t=0．
点评：本题考查了特殊三角形、矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的有关知识．关键是根据特殊三角形的性质，分类讨论．
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6. （2011湖北咸宁，22，10分）（1）如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数．
（2）如图②，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD，点M，N是BD边上的任意两点，且∠MAN=45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连接NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由．
（3）在图①中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若EG=4，GF=6，BM=3，求AG，MN的长．
考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理。
分析：（1）根据高AG与正方形的边长相等，证明三角形相等，进而证明角相等，从而求出解．
（2）用三角形全等和正方形的对角线平分每一组对角的知识可证明结论．
（3）设出线段的长，结合方程思想，用数形结合得到结果．
解答：（1）在Rt△ABE和Rt△AGE中，，，
∴△ABE≌△AGE． ∴．
同理，．
∴．
（2）．
∵，，
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∴． ∴．
又∵，，
∴△AMN≌△AHN． ∴．
∵，，
∴． ∴．
∴． ∴．
A
B
C
F
D
E
G
（图①）
M
N
（3）由（1）知，，．
设，则，．
∵，
∴．
解这个方程，得，（舍去负根）．
∴．
∴．
在（2）中，，，
∴．
设，则．
∴．即．
点评：本题考查里正方形的性质，四边相等，对角线平分每一组对角，以及全等三角形的判定和性质，勾股定理的知识点等．
7.（2011•贵港）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE．
（1）求证：四边形ABED是菱形；
（2）若∠ABC=60°，CE=2BE，试判断△CDE的形状，并说明理由．
考点
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：梯形；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质。
专题：几何综合题。
分析：（1）根据AB=AD及AE为∠BAD的平分线可得出∠1=∠2，从而证得△BAE≌△DAE，这样就得出四边形ABED为平行四边形，根据菱形的判定定理即可得出结论；
（2）过点D作DF∥AE交BC于点F，可得出DF=AE，AD=EF=BE，再由CE=2BE得出DE=EF，从而结合∠ABC=60°，AB∥DE可判断出结论．
解答：（1）证明：如图，∵AE平分∠BAD，
∴∠1=∠2，
∵AB=AD，AE=AE，
∴△BAE≌△DAE，
∴BE=DE，
∵AD∥BC，
∴∠2=∠3=∠1，
∴AB=BE，
∴AB=BE=DE=AD，
∴四边形ABED是菱形．
（2）解：△CDE是直角三角形．
如图，过点D作DF∥AE交BC于点F，
则四边形AEFD是平行四边形，
∴DF=AE，AD=EF=BE，
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∵CE=2BE，
∴BE=EF=FC，
∴DE=EF，
又∵∠ABC=60°，AB∥DE，
∴∠DEF=60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴DF=EF=FC，
∴△CDE是直角三角形．
点评：本题综合考查了梯形、全等三角形的判定及性质、菱形的判定及性质，难度较大，解答本题需要掌握①有一组邻边相等的平行四边形是菱形，②直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半．
8. （2011•安顺）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE．
（1）说明四边形ACEF是平行四边形；
（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．
考点
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：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定。
分析：（1）证明△AEC≌△EAF，即可得到EF=CA，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可判断；
（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形．根据直角三角形的性质，即可证得AC=EC，根据菱形的定义即可判断．
解答：（1）证明：由题意知∠FDC=∠DCA=90°，
∴EF∥CA，
∴∠AEF=∠EAC，
∵AF=CE=AE，
∴∠F=∠AEF=∠EAC=∠ECA．
又∵AE=EA，
∴△AEC≌△EAF，
∴EF=CA，
∴四边形ACEF是平行四边形．
（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形．
理由是：∵∠B=30°，∠ACB=90°，
∴AC=，
∵DE垂直平分BC，
∴BE=CE，
又∵AE=CE，
∴CE=，
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∴AC=CE，
∴四边形ACEF是菱形．
点评：本题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定方法，正确掌握判定定理是解题的关键．
9. （2011•湘西州）如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠ACB=30°，AB=2．
（1）求AC的长．
（2）求∠AOB的度数．
（3）以OB、OC为邻边作菱形OBEC，求菱形OBEC的面积．
考点：矩形的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质。
专题：综合题。
分析：（1）根据AB的长结合三角函数的关系可得出AC的长度．
（2）根据矩形的对角线互相平分可得出△OBC为等腰三角形，从而利用外角的知识可得出∠AOB的度数．
（3）分别求出△OBC和△BCE的面积，从而可求出菱形OBEC的面积．
解答：解（1）在矩形ABCD中，∠ABC=90°，
∴Rt△ABC中，∠ACB=30°，
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∴AC=2AB=4．
（2）在矩形ABCD中，
∴AO=OA=2，
又∵AB=2，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°．
（3）由勾股定理，得BC=，
．
，
所以菱形OBEC的面积是2．
点评：本题考查矩形的性质、菱形的性质及勾股定理的知识，综合性较强，注意一些基本知识的掌握是关键．
10.（2011年山东省东营市，19，8分）如图，在四边形ABCD中，DB平分∠ADC，∠ABC=120°，∠C=60°，∠BDC=30°；延长CD到点E，连接AE，使得∠E=∠C．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）若DC=12，求AD的长．
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考点：等腰梯形的性质；含30度角的直角三角形；平行四边形的判定与性质．
专题：计算题；证明题．
分析：（1）可证明AB∥ED，AE∥BD，即可证明四边形ABDE是平行四边形；由∠ABC=120°，∠C=60°，得AB∥ED；∠E= ∠C=∠BDC=30°，得AE∥BD；
（2）可证得四边形ABCD是等腰梯形，AD=BC，易证△BDC是直角三角形，可得BC= DC=6．
解答：证明：（1）∵∠ABC=120°，∠C=60°，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴AB∥DC，即AB∥ED；
又∠C=60°，∠E= ∠C，∠BDC=30°，
∴∠E=∠BDC=30°，
∴AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形；
解：（2）∵AB∥DC，
∴四边形ABCD是梯形，
∵DB平分∠ADC，∠BDC=30°，
∴∠ADC=∠BCD=60°，
∴四边形ABCD是等腰梯形；
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∴BC=AD，
∵在△BCD中，∠C=60°，∠BDC=30°，
∴∠DBC=90°，
又DC=12，
∴AD=BC= DC=6．
点评：本题考查了知识点较多，有等腰梯形、直角三角形的性质以及平行四边形的判定和性质，只有牢记这些知识才能熟练运用．
11. （2011浙江宁波，23，？）如图，在□ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AG∥DB交CB的延长线于点G．
（1）求证：DE∥BF；
（2）若∠G＝90°，求证：四边形DEBF是菱形．
考点：菱形的判定；平行线的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质。
专题：证明题。
分析：（1）根据已知条件证明∴△ADE≌△CBF，即∠3＝∠CBF，再根据角平分线的性质可知∴∠BDE＝∠FBD，根据内错角相等，即可证明DE∥BF，
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（2）根据三角形内角和为180°，可以得出∠1＝∠2，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，从而得出结论．
解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠4＝∠C，AD＝CB，AB＝CD．
∵点E、F分别是AB、CD的中点，
∴AE＝AB，CF＝CD．∴AE＝CF，∴△ADE≌△CBF，
∴∠3＝∠CBF，∵∠ADB＝∠CBD，∴∠2＝∠FBD，∴DE∥BF，
（2）∵∠G＝90°，∴四边形AGBD是矩形，∠ADB＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，∴2∠2+2∠3＝180°．∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．
∴DE＝AE＝BE，∵AB∥CD，DE∥BF，∴四边形DEBF是菱形．
点评：本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定、平行的判定、菱形的判定，比较综合，难度适中．10.
12. （2011浙江嘉兴，23，10分）以四边形ABCD的边AB．BC．CD．DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E．F．G．H，顺次连接这四个点，得四边形EFGH．
（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）；
（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC=α
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（0°＜α＜90°），
①试用含α的代数式表示∠HAE；
②求证：HE=HG；
③四边形EFGH是什么四边形？并说明理由．
考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；菱形的判定与性质．
专题：证明题．
分析：（1）根据等腰直角三角形得到角都是直角，且边都相等即可判断答案；
（2）①∠HAE=90°+a，根据平行四边形的性质得出，∠BAD=180°﹣a，根据△HAD和△EAB是等腰直角三角形，得到∠HAD=∠EAB=45°，求出∠HAE即可；
②根据△AEB和△DGC是等腰直角三角形，得出AE=AB，DC=CD，平行四边形的性质得出AB=CD，求出∠HDG=90°+a=∠HAE，证△HAE≌△HDC，即可得出HE=HG；
③由②同理可得：GH=GF，FG=FE，推出GH=GF=EF=HE，得出菱形EFGH，证△HAE≌△HDG，求出∠AHD=90°，∠EHG
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=90°，即可推出结论．
解答：（1）答：四边形EFGH的形状是正方形．
（2）解：①∠HAE=90°+a，
在平行四边形ABCD中AB∥CD，
∴∠BAD=180°﹣∠ADC=180°﹣a，
∵△HAD和△EAB是等腰直角三角形，
∴∠HAD=∠EAB=45°，
∴∠HAE=360°﹣∠HAD﹣∠EAB﹣∠BAD=360°﹣45°﹣45°﹣（180°﹣a）=90°+a，
答：用含α的代数式表示∠HAE是90°+a．
②证明：∵△AEB和△DGC是等腰直角三角形，
∴AE=AB，DC=CD，
在平行四边形ABCD中，AB=CD，
∴AE=DG，
∵△HAD和△GDC是等腰直角三角形，
∴∠HDA=∠CDG=45°，
∴∠HDG=∠HDA+∠ADC+∠CDG=90°+a=∠HAE，
∵△HAD是等腰直角三角形，
∴HA=HD，
∴△HAE≌△HDC，
∴HE=HG．
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③答：四边形EFGH是正方形，
理由是：由②同理可得：GH=GF，FG=FE，
∵HE=HG，
∴GH=GF=EF=HE，
∴四边形EFGH是菱形，
∵△HAE≌△HDG，
∴∠DHG=∠AHE，
∵∠AHD=∠AHG+∠DHG=90°，
∴∠EHG=∠AHG+∠AHE=90°，
∴四边形EFGH是正方形．
点评：本题主要考查对正方形的判定，等腰直角三角形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行推理是解此题的关键．
13. （2011梧州，22，8分）如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接DE．延长DE交AB的延长线于点F．求证：AB=BF．
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考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质。
专题：证明题。
分析：根据平行四边形的性质先证明△DEC≌△FEB，然后根据AB=CD，运用等量代换即可得出结论．
解答：解：由ABCD是平行四边形得AB∥CD，
∴∠CDE=∠F，∠C=∠EBF．
又∵E为BC的中点，
∴△DEC≌△FEB，
∴DC=FB．
又∵AB=CD，
∴AB=BF．
点评：本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定，难度一般，对于此类题目关键是熟练掌握并运用平行四边形的性质．
14. （2011•玉林，25，10分）如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．
（1）求证：EB=GD；
（2）判断EB与GD的位置关系，并说明理由；
（3）若AB=2，AG=，求EB的长．
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考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理。
分析：（1）在△GAD和△EAB中，∠GAD=90°+∠EAD，∠EAB=90°+∠EAD，得到∠GAD=∠EAB从而GAD≌△EAB，即EB=GD；
（2）EB⊥GD，由（1）得∠ADG=∠ABE则在△BDH中，∠DHB=90°所以EB⊥GD；
（3）设BD与AC交于点O，由AB=AD=2在Rt△ABD中求得DB，所以得到结果．
解答：（1）证明：在△GAD和△EAB中，∠GAD=90°+∠EAD，∠EAB=90°+∠EAD，
∴∠GAD=∠EAB，
又∵AG=AE，AB=AD，
∴△GAD≌△EAB，
∴EB=GD；
（2）EB⊥GD，理由如下：连接BD，
由（1）得：∠ADG=∠ABE，则在△BDH中，
∠DHB=180°﹣（∠HDB+∠HBD）=180°﹣90°=90°，
∴EB⊥GD；
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（3）设BD与AC交于点O，
∵AB=AD=2在Rt△ABD中，DB=，
∴EB=GD=．
点评：本题考查了正方形的性质，考查了利用其性质证得三角形全等，并利用证得的条件求得边长．
15. （2011•安顺，25，9分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE．
（1）说明四边形ACEF是平行四边形；
（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．
考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定。
分析：（1）证明△AEC≌△EAF，即可得到EF=CA，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可判断；
（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形．根据直角三角形的性质，即可证得AC=EC，根据菱形的定义即可判断．
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解答：（1）证明：由题意知∠FDC=∠DCA=90°，
∴EF∥CA，
∴∠AEF=∠EAC，
∵AF=CE=AE，
∴∠F=∠AEF=∠EAC=∠ECA．
又∵AE=EA，
∴△AEC≌△EAF，
∴EF=CA，
∴四边形ACEF是平行四边形．
（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形．
理由是：∵∠B=30°，∠ACB=90°，
∴AC=AB，
∵DE垂直平分BC，
∴BE=CE，
又∵AE=CE，
∴CE=AB ，
∴AC=CE，
∴四边形ACEF是菱形．
点评：本题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定方法，正确掌握判定定理是解题的关键．
16. （2011海南，23，10分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点P、Q分别在边AB、BC上，且AP＝BQ．
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（1）求证：△BDQ≌△ADP；
（2）已知AD＝3，AP＝2，求cos∠BPQ的值（结果保留根号）．
考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；解直角三角形。
分析：（1）由四边形ABCD是菱形，可证得AD＝AB，∠ABD＝∠CBD＝∠ABC，AD∥BC，又由∠A＝60°，易得△ABD是等边三角形，然后由SAS即可证得△BDQ≌△ADP；
（2）首先过点Q作QE⊥AB，交AB的延长线于E，然后由三角函数的性质，即可求得PE与QE的长，又由勾股定理，即可求得PQ的长，则可求得cos∠BPQ的值．
解答：解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，∠ABD＝∠CBD＝∠ABC，AD∥BC，
∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，∠ABC＝120°，
∴AD＝BD，∠CBD＝∠A＝60°，
∵AP＝BQ，
∴△BDQ≌△ADP（SAS）；
（2）过点Q作QE⊥AB，交AB的延长线于E，
∵△BDQ≌△ADP，
∴BQ＝AP＝2，
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∵AD∥BC，
∴∠QBE＝60°，
∴QE＝QB•sin60°＝2×＝，BE＝QB•cos60°＝2×＝1，
∵AB＝AD＝3，
∴PB＝AB－AP＝3－2＝1，
∴PE＝PB＋BE＝2，
∴在Rt△PQE中，PQ＝＝，
∴cos∠BPQ＝＝＝．
点评：此题考查了菱形的性质与勾股定理、三角函数的性质．此题难度适中，解题的关键是数形结合思想的应用．
17. （2011黑龙江省哈尔滨,23，6分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线，BE⊥AC，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F．求证：DF=BE．
考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质。
专题：证明题。
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分析：根据平行四边形的对边相等得出BC=AD，再由两直线平行内错角相等可得出∠BCA=∠DAC，从而可判断出△CEB≌△AFD，利用全等三角形的性质即可得出结论．
解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形．
∴BC=AD，BC∥AD．
∴∠BCA=∠DAC
∵BE⊥AC，DE⊥AC．
∴∠CEB=∠AFD=90°．
∴△CEB≌△AFD
∴BE=DF．
点评：本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，属于基础题，关键是利用全等的知识证明线段的相等，这是经常用到的，同学们要注意掌握．
综合验收评估测试题
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题
1．若四边形的两条对角线互相垂直，则这个四边形 ( )
A．一定是矩形 B．一定是菱形
C．一定是正方形 D．形状不确定
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2．如图19-135所示，设F为正方形ABCD上一点，交AB的延长线于点E，若正方形ABCD的面积为64，△CEF的面积为50，则△CBE的面积为 （ ）
A．20 B．24
C．25 D．26
3．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论不一定正确的是 （ ）
A．
B．
C．当时，它是菱形
D．当时，它是矩形
4．如图19-136所示，AB∥CD，交CD于点E，.则梯形ABCD的面积为 （ ）
A．130 B．140
C．150 D．160
5．下列命题错误的是 ( )
A．平行四边形的对角相等
B．等腰梯形的对角线相等
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C．两条对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
6．在矩形ABCD中，是CD上一点，且则的度数是（ ）
A．30° B．22.5° C．15° D．以上都不对
7．菱形的周长为20㎝，两邻角的角度之比为1：2，则较长的对角线的长为 （ ）
A．4.5㎝ B．4㎝
C．㎝ D．㎝
8.顺次连接等腰梯形的四边中点，得到一个四边形，再顺次连接所得四边形四边的中点，得到的图形是 （ ）
A．等腰梯形 B．直角梯形
C．菱形 D．矩形
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9．小明爸爸的风筝厂准备购进甲、乙两种规格相同但颜色不同的布料，生产一批形状如图19-137所示的风筝.点分别是四边形ABCD各边的中点，其中阴影部分用甲布料，其余部分用乙布料（裁剪两种布料时，均不计余料）.若生产这批风筝需要甲布料30匹，那么需要乙布料 （ ）
A．15匹 B．20匹
C．30匹 D．60匹
10．如图19-138所示，在中，已知㎝，㎝，DE平分，交BC边于点E，则BE等于 （ ）
A．2㎝ B．4㎝ C．6㎝ D．8㎝
二、填空题
11．顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得的四边形是 .
12．矩形的周长为48㎝，长比宽多2㎝，则矩形的面积为 .
13．如图19-139所示，在中，AC与BD
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交于点O，点E是BC边的中点，OE=1，则AB的长是 .
14．如图19-140所示，在中，于点E，于点F，，则= .
15．如图19-141所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC， ，则梯形ABCD的周长是 .
16．如图19-142所示，在中，BD为对角线，E，F分别是AD，BD的中点，连接EF，若EF=3，则CD的长为 .
17．若矩形的一条短边的长为5㎝，两条对角线 的夹角为60°，则它的一条较长的边为 ㎝.
18．如图19-143所示，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕BD再折叠，使AD落在对角线BD上，得折痕DG，若AB=2，BC=1，则AG= .
19．若菱形的两条对角线长分别为16㎝和12㎝，则它的边长为 ㎝，面积为
20．已知等边三角形ABE在正方形ABCD内，DE的延长线交CB于G，则 .
三、解答题
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21．如图19-144所示，在中，点E是AD的中点，连接CE并延长，交BA的延长线于点F.求证.
22．如图19-145所示，四边形ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，于点E，BF∥DE，交AG于点F，求证.
23．如图19-146所示，的对角线AC，BD相交于点O，于点O，分别交AD，BC于点E，F，且.求证四边形ABCD为矩形.
24．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，AD=BC，AC为对角线，且AC平分.
（1）求梯形各内角的度数；
（2）当梯形的周长为30时，求各边的长；
（3）求梯形的面积.
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25．某生活小区的居民筹集资金1600元，计划在一块上、下底分别为10m，20m的梯形空地上种植花木（如图19-147（1）所示）.
（1）他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花，单价为8元/㎡，当△AMD地带种满花后（图形阴影部分），共花了160元.请计算种满△BMC地带所需的费用；
（2）若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/㎡和10元/㎡.应选择哪能种花木种植，可以刚好用完所筹集的资金？
（3）若梯形ABCD为等腰梯形，面积不变（如图19-147（2）所示），请设计一种花坛图案，即在梯形内找一点P，使△APB≌△DPC得，且S△APD =S△PBC，并说出理由.
26．如图19-148所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC，E，F两点在边BC上，且四边形AEFD是平行四边形.
（1）AD与BC有何数量关系？请说明理由；
（2）当AB=DC时，求证四边形AEFD是矩形.
参考答案
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1．D［提示：可以是正方形、菱形或等腰梯形.］
2．B[提示：易证△BCE≌△DCF，∴.∵∴，∴CE=10.在Rt△BEC中，BC=8，∴，∴S△BCE=×6×8=24.] 3．B[提示：平行四边形的对角线不一定相等.]
4．C[提示：过点A作AF∥BD交CD的延长线于点F，则四边形AFDB是平行四边形，∴易证S△ADF=S△ABC，即S△APC=S梯形ABCD.∵,
,∴
∴S△FAC=.]
5．D[提示：对角线互相垂直的四边形可以为任意四边形.]
6．C[提示：∵在Rt△ADE中，∴.∵AB∥CD，∴.∵，∴∴，
∴.]
7．C[提示：∵两邻角之比为1：2，∴两邻角的度数分别为60°，120°.∴较短对角线长为5，较长对角线长为（㎝）.]
8．D[提示：第一次连接得到的四边形是菱形，第二次连接得到的四边形是矩形.] 9．C[提示：S阴影= S剩余.]
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10．A[提示：在中，AD∥BC，则.又∵，∴∴㎝.又∵㎝，∴=2㎝.]
11．菱形
12．143[提示：设两边长分别为，则，∴∴S矩形=13×11=143（）.]
13．2[提示：由题意知OE是△ABC的中位线，∴.]
14．75°[提示：∵=75°，∴105°.在四边形AECF中，=360°-90°-90°-105°=75°.]
15．17[提示：如图19-149所示，过点D作DE∥AB交BC于点E，则易证四边形ABED是平行四边形，△CDE是等边三角形，所以.所以梯形ABCD的周长为
，]
16．6[提示：因为EF为△ABD的中位线，所以.又因为四边形ABCD是平行四边形，所以.]
17．[提示：较长边长=（㎝）.]
18．[提示：，设，点A落在对角线BD上的对应点为，则，∴
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.在Rt△中，，解出方程即可.]
19．10 96[提示：边长（㎝）.]
20．45°[提示：75°，∴=180°-75°-60°=45°.]
21．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC.∴
.又∵∴△AFE≌△DCE.∴.∴.
22．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴.∵∴，∴.又∵=
90°，∴.∵BF∥DE，∴.在△ABF与△DAE中，∴△ABF≌△DAE（AAS）.∴.∵AF=AE+EF，∴AF=BF+EF.
23．证明：因为四边形ABCD为平行四边形，所以
，所以△AOE≌△COF.所以又因为所以.因为，所以又，所以=30°.所以.因为所以30°，所以，所以，所以四边形ABCD为矩形.
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24．解：（1）如图19-150所示，因为AC平分，所以∠1=∠2.又因为DC∥AB，所以∠2=∠3.所以∠1=∠3.设∠1=a，则∠2=a，.因为，所以.所以，即，所以a=30°，2a=60°.所以梯形ABCD各内角的度数分别为.
（2）因为∠1=∠3，所以.又因为∠2=30°，，所以.因为梯形ABCD的周长为，所以.所以等腰梯形各边长分别为. （3）过点C作于点E，则，所以.所以S梯形ABCD=.
25．提示：（1）∵四边形ABCD是梯形，∴AD∥BC，∴△AMD~△CMB，S△AMD：S△BMC =，故△BMC地带花费为160÷8×4×8=640（元）. （2）S梯形ABCD =180㎡，S△AMB+ S△DMC=180-20-80=80（㎡），∴160+640+80×12=1760（元），160+640+80×10=1600（元），∴种植茉莉花刚好用完所筹集的资金. （3）由△APB≌△DPC可知点P在AD，BC的中垂线上.设△APO的高为x，则S△APO=，S△BPC
，∴，解得，故当点P为AD，BC的中垂线上且与AD的距离为8m时，S△APD = S△BPC.
26．（1）解：.理由如下：∵AD∥BC，AB∥DE，AF∥
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DC，∴四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，∴.又∵四边形AEFD是平行四边形，∴.∴.∴. （2）证明：∵四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，∴.∵∴.又∵四边形AEFD是平行四边形，∴四边形AEFD是矩形.
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