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第二十七章 相似
本章小结
小结1 本章概述
本章内容是对三角形知识的进一步认识，是通过许多生活中的具体实例来研究相似图形．在全等三角形的基础上，总结出相似三角形的判定方法和性质，使学过的知识得到巩固和提高．在学习过程中，通过大量的实践活动来探索三角形相似的条件，并应用相似三角形的性质及判定方法来研究和解决实际问题．在研究相似三角形的基础上学习位似图形，知道位似变换是特殊的相似变换．
小结2 本章学习重难点
【本章重点】 通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于相似比的平方．了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件．
【本章难点】 通过具体实例观察和认识生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题．
【学习本章应注意的问题】
通过生活中的实例认识物体和图形的相似，探索并认识相似图形的特征，掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例以及面积的比与相似比的关系，能利用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题，了解图形的位似，能利用位似将一个图形放大或缩小，会建立坐标系描述点的位置，并能表示出点的坐标．
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小结3 中考透视
图形的相似在中考中主要考查：(1)了解比例的基本性质，了解线段的比及成比例线段．(2)认识相似图形，了解相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积比等于相似比的平方．(3)了解两个三角形相似的概念，掌握两个三角形相似的条件，能利用图形的相似解决一些实际问题．(4)了解图形的位似，能利用位似将一个图形放大或缩小．
相似是平面几何中重要的内容，在近几年的中考中题量有所增加，分值有所增大，且题型新颖，如阅读题、开放题、探究题等．由于相似图形应用广泛，且与三角形、平行四边形联系紧密，估计在今后中考的填空题、选择题中将会注重相似三角形的判定与性质等基础知识的考查，并在解答题中加大知识的横向与纵向联系．具体考查的知识点有相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的实际应用、图形的放大与缩小等．
知识网络结构图
专题总结及应用
一、知识性专题
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专题1 比例线段
【专题解读】 解决有关比例线段的问题时，常常利用三角形相似来求解．
例1 如图27－96所示，A，B，D，E四点在⊙O上，AE，BD的延长线相交于点C，AE＝8，OC＝12，∠EDC＝∠BAO．
(1)求证；
(2)计算CD·CB的值，并指出CB的取值范围．
分析 利用△CDE∽△CAB，可证明．
证明：(1)∵∠EDC＝∠BAO，∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CAB，∴.
解：(2)∵AE＝8，OC＝12，
∴AC＝12+4＝16，CE=12－4＝8．
又∵，
∴CD·CB＝AC·CE＝16×8＝128．
连接OB，在△OBC中，OB＝AE＝4，OC=12，
∴8＜BC＜16．
【解题策略】 将证转化为证明△CDE∽△CAB.
专题2 乘积式或比例式的证明
【专题解读】 证明形如，或=1的式子，常将其转化为若干个比例式之积来解决．如要证，可设法证，，然后将两式相乘即可，这里寻找线段x便是证题的关键。
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例2 如图27－97所示，在等腰三角形ABC中，过A作AD⊥BC，过C作CE⊥AB，又作DF⊥CE，FG⊥AD，求证．
分析 欲证，可将其分成三个比例式，，，再将三式相乘即可．不难得知x就是CD，而线段y在原图中没有，由相似关系可延长FG交AB于K，则y就是GK，只要证明就可以了．
证明：延长FG交AB于K，连接DK，
∵DF⊥EC，BE⊥EC，∴DF∥BE，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC，∴EF＝CF．
∵FG∥BC，∴∠1＝∠2，
∴Rt△FDC≌Rt△EKF，
∴KF＝DC，∠3＝∠4，
∴四边形KFCD是平行四边形，∴∠2＝∠5，
∴∠EKD＝∠3+∠5＝∠4+∠2＝90°，
∴DK⊥AB，
∴DF∥AB，∴∠BAD＝∠FDG，
∴Rt△ADB∽Rt△DGF，∴．①
∵GK∥BD，∴△AKG∽△ABD，∴．②
在△ABD中，∠ADB＝90°，DK⊥AB，∴△ADB∽△AKD．
又△AKD∽△KGD,△ADB∽△KGD，∴．③
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由①×②×③，得．
例3 如图27－98所示，在△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=1：2：4，求证.
分析 原式等价于＝1，也就是，在CA上取一点D，使CD＝BC，原式就变成，要证明这个比例式，需要构造相似三角形，为此作∠ACB的平分线CE，交AB于点E，连接DE，显然有△BCE≌△DCE，从而易证AD＝DE＝CE，于是只需证即可．
证明：∵∠A：∠B：∠C＝1：2：4，
∴设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝4x
作CE平分∠BCA，交AB于E，
在AC边上取一点D，使CD＝CB，连接DE，
∴△DCE≌△BCE，
∴∠CDE＝∠B＝2x，∠DEC＝∠BEC=3x，
又∠CDE＝∠A+∠DEA，∴∠DEA＝x，∴AD＝DE，
又∵DE＝EC，∴AD＝CE．
在△ABC和△ACE中，∠CAB＝∠CAE，∠ACE＝∠B＝2x，
∴△ABC∽△ACE，∴，
即，
∴,∴=1
即.
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二、规律方法专题
专题3：相似三角形的性质
【专题解读】 相似三角形是初中数学重要的内容之一，其应用广泛，可以证明线段相等、平行、垂直，也可以计算图形的面积及线段的比值等，解题的关键是识别(或构造)相似三角形的基本图形．
例4 如图27－99所不，在△ABC中，看DE∥BC，，DE＝4 cm，则BC的长为 ( )
A．8 cm B．12 cm
C．11 cm D．10 cm
分析 由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，．因为，所以,所以．因为DE=4 cm，所以BC=12 cm故选B.
例5 如图27－100所示，在△ABC中，AB＝BC＝12 cm，∠ABC＝80°，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC.
(1)求∠EDB的度数；
(2)求DE的长．
分析 (1)由DE∥BC，得∠EDB＝∠DBC＝∠ABC，可求∠EDB．(2)由DE∥BC，得△ADE△ACB，则，再证出BE＝DE，可求DE．
解：(1)∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBC.
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∵BD平分∠ABC，
∴ ∠DBC＝∠ABC＝×80°＝40°，∴∠EDB＝40°．
(2)∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，
∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，
∴∠EDB＝∠EBD，∴BE＝DE．
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，
∴.
∴，∴DE=6 cm
【解题策略】 将比例式中的AE转化为AB－DE，逐步由未知转化为已知，建立关于DE的关系式来求解．
例6 如图27－101所示，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC，求证△ABC∽△FDE．
分析 由已知可证∠FDE＝∠B，∠FED＝∠C，从而可证△ABC∽△FDE．
证明：∵FD∥AB，FE∥AC，
∴∠FDE＝∠B，∠FED＝∠C，
∴△ABC∽△FDE．
例7 （08·无锡）如图27－102所示，已知点正是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于点F，求证△ABF∽△EAD．
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分析 由矩形的性质可知∠BAD＝∠D＝90°，再由BF⊥AE可证∠AFB＝∠D和∠DAE＝∠FBA，从而证明△ABF∽△EAD．
证明：在矩形ABCD中，∠BAD＝∠D=90°，
∵BF⊥AE，∴∠AFB＝∠D＝90°，
∴∠ABF+∠BAE＝90°．
又∵∠DAE+∠BAE＝∠BAD＝90°，
∴∠ABF＝∠EAD，
∴△ABF∽△EAD，
三、思想方法专题
专题4 分类讨论思想
【专题解读】 分类讨论思想是一种重要的数学思想，我们在研究问题的解法时，应把可能出现的各种情况都加以考虑，这样才能全面、严谨地思考问题．
例8 在△ABC中，AB＞BC＞AC，D是AC的中点，过点D作直线l，使截得的三角形与原三角形相似，这样的直线l有 条．
分析 如图27－103所示，过点D作AB的平行线，或过点D作DF∥BC，或作∠CDH＝∠B，或作∠ADG＝∠B，故填4．
专题5 建模思想
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【专题解读】本章建模思想多用于将实际问题转化为几何图形，然后根据相似的性质解决问题．
例9 如图27－104所示，小明想用皮尺测量池塘A，B间的距离，但现有皮尺无法直接测量池塘A，B间的距离，学习有关的数学知识后，他想出了一个主意，先在地面上取一个可以直接到达A，B两点的点O，连接OA，OB，分别在OA，OB上取中点C，D，连接CD，并测得CD＝a，由此他知道A，B间的距离是( )
A．a B．2a C．a D．3a
分析 ∵D，C分别为OB，OA的中点，∴CD是△ABO的中位线，∴CD＝AB，∴AB＝2CD＝2a．故选D．
【解题策略】 此题将所求问题转化为三角形中位线的问题来解决．
例10 如图27－105所示，九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD＝3 m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15 m，人的眼睛与地面的高度EF＝1．6 m，人与标杆CD的水平距离DF＝2 m，求旗杆AB的高度．
分析 利用相似三角形得比例式，构建线段关系求线段长．
解：因为CD⊥FB，AB⊥FB，所以CD∥AB，
所以△CGE∽△AHE，所以，
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即，
所以，解得AH＝11．9，
所以AB＝AH+HB＝AH+EF＝11.9+1.6＝13.5(m)．
故旗杆AB的高度为13．5 m．
专题6 转化思想
【专题解读】 本章中的转化思想主要用于解决一些比例线段的问题．
例11 如图27－106所示，已知E为ABCD的边CD延长线上的一点，连接BE交AC于O，交AD于F．求证BO2＝OF·OE．
分析 要证BO2＝OF·OE，只需证，而OB，OE，OF在一条直线上，因此不能通过三角形相似证得，于是想到要用中间比，而由已知可证△AOF∽△COB和△AOB∽△COE，即有，，从而得证．
证明：在ABCD中，AB∥CE，AD∥BC，
∴△AOF∽△COB，△AOB∽△COE，
∴，，
∴，
∴OB2＝OF·OE．
例12 在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，如果△ABC的周长是16，面积是12，那么△DEF的周长、面积依次为 ( )
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A．8，3 B．8，6 C．4，3 D．4，6
分析 由AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，得△ABC∽△DEF，且相似比为2，则，所以S△DEF＝＝3，△DEF的周长为＝8．故选A．
例13 已知△ABC与△DEF相似且面积比为4：25，则△ABC与△DEF的相似比为 ．
分析 利用相似三角形的性质求解．故填2：5．
例14 已知△ABC∽△A′B′C′，且S△ABC：S△A′B′C′＝1：2，则AB：A′B′＝ ．
分析 根据相似三角形面积比等于相似比的平方，且S△ABC：S△A′B′C′＝1：2，得AB：A′B′＝1：.故填1：.
2011中考真题精选
1. （2010广东，3，3分）将左下图中的箭头缩小到原来的，得到的图形是（ ）
A．
B．
D．
C．
题3图
考点：相似图形
分析：根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除错误答案．
解答：解：∵图中的箭头要缩小到原来的，∴箭头的长、宽都要缩小到原来的；
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选项B箭头大小不变；选项C箭头扩大；选项D的长缩小、而宽没变．故选A．
点评：本题主要考查了相似形的定义，联系图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换．
2. （2011，台湾省，22,5分）某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、下学期各社团的人数比例．若该校上、下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述何者正确？（ ）
舞蹈社
溜冰社
魔術社
上學期
3
4
5
下學期
4
3
2
A、舞蹈社不变，溜冰社减少 B、舞蹈社不变，溜冰社不变
C、舞蹈社增加，溜冰社减少 D、舞蹈社增加，溜冰社不变
考点：比例的性质。
专题：计算题。
分析：若甲：乙：丙=a：b：c，则甲占全部的，乙占全部的，丙占全部的．
解答：解：由表得知上、下学期各社团人数占全部人数的比例如下：
舞蹈社
溜冰社
魔術社
上學期
=
=
=
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下學期
=
=
=
∴舞蹈社增加，溜冰社不变．
故选D．
点评：本题考查了比例的性质：两内项之积等于两外项之积．
3. （2011，台湾省，33,5分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E、F两点分别在AB、DC上．若AE=4，EB=6，DF=2，FC=3，且梯形AEFD与梯形EBCF相似，则AD与BC的长度比为何？（ ）
A、1：2 B、2：3
C、2：5 D、4：9
考点：相似多边形的性质。
分析：根据两个梯形相似，则对应边的比相等，即可求解．
解答：解：∵梯形AEFD∽梯形EBCF，且DF：FC=2：3
∴AD：EF=EF：BC=2：3⇒AD：EF：BC=4：6：9
∴AD：BC=4：9．
故选D．
点评：本题主要考查了相似多边形的性质，正确理解性质是关键．
4. （2011贵州毕节，7，3分）两个相似多边形的面积比是，其中较小多边形周长为36cm，则较大多边形周长为( )
A．48cm B．54cm C．56cm D．64cm
考点：相似多边形的性质。
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分析：根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算即可．
解答：解：两个相似多边形的面积比是9：16，面积比是周长比的平方，则大多边形与小多边形的相似比是4：3．相似多边形周长的比等于相似比，因而设大多边形的周长为x，则有=，解得：x=48．大多边形的周长为48cm．故选A．
点评：本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．
（2011福建莆田，25，14分）已知菱形ABCD的边长为1，∠ADC=60º，等边△AEF两边分别交DC、CB于点E、F。
（1）（4分）特殊发现：如图1，若点E、F分别是DC、CB的中点，求证菱形ABCD对角母AC、BD的交点O即为等边△AEF的外心；
（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动，记等边△AEF的外心为点P。
①（4分）猜想验证：如图2，猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；
②（5分）拓展运用：如图3，猜想△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由。
考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；菱形的性质；三角形的外接圆与外心．
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分析：（1）首先分别连接OE、0F，由四边形ABCD是菱形，即可得AC⊥BD，BD平分∠ADC．AO=DC=BC，又由E、F分别为DC、CB中点，即可证得0E=OF=OA，则可得点O即为△AEF的外心；
（2）①首先分别连接PE、PA，过点P分别作PI⊥CD于I，PJ⊥AD于J，即可求得∠IPJ的度数，又由点P是等边△AEF的外心，易证得△PIE≌△PJA，可得PI=PJ，即点P在∠ADC的平分线上，即点P落在直线DB上．
②当AE⊥DC时．△AEF面积最小，此时点E、F分别为DC、CB中点．连接BD、AC交于点P，由（1）可得点P即为△AEF的外心．由△GBP∽△MDP，即可 为定值2．
解答：（1）证明：如图1，分别连接OE、0F，
A
B
C
D
第25题 图1
O
F
E
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BD平分∠ADC．AO=DC=BC，
∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°．
∠ADO= ∠ADC= ×60°=30°，
又∵E、F分别为DC、CB中点，
∴OE= CD，OF= BC，AO= AD，
∴0E=OF=OA，
∴点O即为△AEF的外心．
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（2）①猜想：外心P一定落在直线DB上．
证明：如图第25题 图2
A
B
C
D
E
F
I
J
P
2，分别连接PE、PA，过点P分别作PI⊥CD于I，PJ⊥AD于J，
∴∠PIE=∠PJD=90°，
∵∠ADC=60°，
∴∠IPJ=360°-∠PIE-∠PJD-∠JDI=120°，
∵点P是等边△AEF的外心，
∴∠EPA=120°，PE=PA，
∴∠IPJ=∠EPA，
∴∠IPE=∠JPA，
∴△PIE≌△PJA，
∴PI=PJ，
∴点P在∠ADC的平分线上，即点P落在直线DB上．
② 为定值2．
当AE⊥DC时．△AEF面积最小，
此时点E、F分别为DC、CB中点．
连接BD、AC交于点P，由（1）
可得点P即为△AEF的外心．
如图3．设MN交BC于点G，
设DM=x，DN=y（x≠0．y≠O），则CN=y-1，
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∵BC∥DA，
∴△GBP∽△MDP．
∴BG=DM=x．
第25题 图3
B
A
C
D
E
F
M
N
P
∴CG=1-x
∵BC∥DA，
∴△GBP∽△NDM，
∴ ，
∴ ，
∴x+y=2xy，
∴ + =2，
即 =2
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的外心的判定与性质，以及菱形的性质等知识．此题综合性很强，图形也比较复杂，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应
（2011甘肃兰州，27，12分）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD>AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE。
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；
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（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC·AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由.
A
B
C
D
E
F
O
考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）.
分析：（1）通过证明△AOE≌△COF，可得四边形AFCE是平行四边形；由折叠的性质，可得AE=EC，即可证明；（2）由勾股定理得AB2+FB2=100，△ABF的面积为24cm2可得，AB×BF=48；变换成完全平方式，即可解答；（3）过点E作AD的垂线，交AC于点P，通过证明△AOE∽△AEP，即可证明；
解答：（1）证明：由题意可知OA=OC，EF⊥AO，
∵AD∥BC，∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，∴△AOE≌△COF，∴AE=CF，又AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形；
（2）∵四边形AECF是菱形，∴AF=AE=10cm，
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设AB=a，BF=b，∵△ABF的面积为24cm2，
∴a2+b2=100，ab=48，∴（a+b）2=196，
∴a+b=14或a+b=﹣14（不合题意，舍去），
∴△ABF的周长为14+10=24cm；
（3）存在，过点E作AD的垂线，交AC于点P，点P就是符合条件的点；
证明：∵∠AEP=∠AOE=90°，∠EAO=∠EAP，
∴△AOE∽△AEP，∴=，∴AE2=AO•AP，
∵四边形AECF是菱形，∴AO=AC，∴AE2=AC•AP，∴2AE2=AC•AP．
点评：本题考查了相似和全等三角形的判定和性质、勾股定理及矩形的性质，考查了知识点较多，综合性较强，考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力．
（2011湖南益阳,21,12分）如图是小红设计的钻石形商标，△ABC是边长为2的等边三角形，四边形ACDE是等腰梯形，AC∥ED，∠EAC=60°，AE=1．
（1）证明：△ABE≌△CBD；
（2）图中存在多对相似三角形，请你找出一对进行证明，并求出其相似比（不添加辅助线，不找全等的相似三角形）；
（3）小红发现AM=MN=NC，请证明此结论；
（4）求线段BD的长．
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考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理；等腰梯形的性质．
专题：证明题．
分析：（1）由△ABC是等边三角形，得AB=BC，∠BAC=∠BCA=60°，由四边形ACDE是等腰梯形，得AE=CD，∠ACD=∠CAE=60°，利用“SAS”判定△ABE≌△CBD；
（2）存在．可利用AB∥CD或AE∥BC得出相似三角形；
（3）由（2）的结论得==2，即CN=AC，同理，得AM=AC，可证AM=MN=NC；
（4）作DF⊥BC交BC的延长线于F，在Rt△CDF中，由∠CDF=30°，CD=AE=1，可求CF，DF，在Rt△BDF中，由勾股定理求BD．
解答：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠BAC=∠BCA=60°． （1分）
∵四边形ACDE是等腰梯形，∠EAC=60°，
∴AE=CD，∠ACD=∠CAE=60°，
∴∠BAC+∠CAE=120°=∠BCA+∠ACD，
即∠BAE=∠BCD．（2分）
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在△ABE和△BCD中，AB=BC，∠BAE=∠BCD，AE=CD，
∴△ABE≌△CBD．（3分）
（2）存在．答案不唯一．如△ABN∽△CDN．
证明：∵∠BAN=60°=∠DCN，∠ANB=∠DNC，
∴△ANB∽△CND．（5分）
其相似比为：==2；（6分）
（3）由（2）得==2，
∴CN=AN=AC，（8分）
同理AM=AC，
∴AM=MN=NC．（9分）
（4）作DF⊥BC交BC的延长线于F，
∵∠BCD=120°，
∴∠DCF=60°．（1O分）
在Rt△CDF中，∴∠CDF=30°，
∴CF=CD=，
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∴DF===； （11分）
在Rt△BDF中，∵BF=BC+CF=2+=，DF=，
∴BD===．（12分）
点评：本题考查了相似三角形．全等三角形的判定与性质，特殊三角形，等腰梯形的性质，勾股定理的运用．关键是根据等边三角形，等腰梯形的特殊性质得出平行线，构造直角三角形，利用勾股定理解题．
（2011•江西，25，10）某课题学习小组在一次活动中对三角形的内接正方形的有关问题进行了探讨：
定义：如果一个正方形的四个顶点都在一个三角形的边上，那么我们就把这个正方形叫做三角形的内接正方形．
结论：在探讨过程中，有三位同学得出如下结果：
甲同学：在钝角、直角、不等边锐角三角形中分别存在 个、 个、 个大小不同的内接正方形．
乙同学：在直角三角形中，两个顶点都在斜边上的内接正方形的面积较大．
丙同学：在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小．
任务：（1）填充甲同学结论中的数据；
（2）乙同学的结果正确吗？若不正确，请举出一个反例并通过计算给予说明，若正确，请给出证明；
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（3）请你结合（2）的判定，推测丙同学的结论是否正确，并证明．
考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质。
分析：（1）分别画一下即可得出答案；
（2）先判断，再举一个例子；例如：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=1，则．
（3）先判断，再举一个例子：设△ABC的三条边分别为a，b，c，不妨设a＞b＞c，三条边上的对应高分别为ha，hb，hc，内接正方形的边长分别为xa，xb，xc．
解答：解：（1）1，2，3．（3分）
（2）乙同学的结果不正确．（4分）
例如：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=1，则．
如图①，四边形DEFB是只有一个顶点在斜边上的内接正方形．
设它的边长为a，则依题意可得：，∴，
如图②，四边形DEFH两个顶点都在斜边上的内接正方形．
设它的边长为b，则依题意可得：，∴．
∴a＞b．（7分）
（3）丙同学的结论正确．
设△ABC的三条边分别为不妨设
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，三条边上的对应高分别为，内接正方形的边长分别为.
依题意可得：， ∴.同理 .
=
=
=
又∵， ∴，
∴，即.
∴在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小. (10分)
点评：本题是一道难度较大的题目，考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，举出例子是解此题的关键．
（2011年江西省，25，10分）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：
设∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在两射线上．
活动一：
如图甲所示，从点A1
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开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒．
数学思考：
（1）小棒能无限摆下去吗？答：能（填“能“或“不能”）
（2）设AA1=A1A2=A2A3=1．
①θ= 22.5度；
②若记小棒A2n-1A2n的长度为an（n为正整数，如A1A2=a1，A3A4=a2，…），求出此时a2，a3的值，并直接写出an（用含n的式子表示）．
活动二：
如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2=AA1．
数学思考：
（3）若已经向右摆放了3根小棒，则θ1= 2θ，θ2= 3θ，θ3= 4θ（用含θ的式子表示）；
（4）若只能摆放4根小棒，求θ的范围．
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考点：相似三角形的判定与性质；一元一次不等式组的应用；平行线的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．
专题：规律型．
分析：（1）本题需先根据已知条件∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）小棒两端分别落在两射线上，从而判断出能继续摆下去．
（2）本题需先根据已知条件AA1=A1A2=A2A3=1，A1A2⊥A2A3，得出A2A3和AA3的值，判断出A1A2∥A3A4、A3A4∥A5A6，即可求出∠A=∠AA2A1=∠AA4A3=∠AA6A，从而此时a2，a3的值和出an．
（3）本题需先根据A1A2=AA1，得出∠A1AA2和∠AA2A1相等，即可得出θ1的值，同样道理得出θ2、θ3的值．
（4）本题需先根据已知条件，列出不等式组，解出θ的取值范围，即可得出正确答案．
解答：解：（1）∵根据已知条件∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）小棒两端能分别落在两射线上，
∴小棒能继续摆下去．
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（2）①∵A1A2=A2A3，A1A2⊥A2A3，
∴∠A2A1A3=45°
∴∠AA2A1+∠θ=45°
∵∠AA2A1=∠θ
∴∠θ=22.5°
②∵AA1=A1A2=A2A3=1，A1A2⊥A2A3
∴A2A3= ，AA3=1+
又∵A2A3⊥A3A4
A1A2∥A3A4
同理；A3A4∥A5A6
∴∠A=∠AA2A1=∠AA4A3=∠AA6A5
∴AA3A3A4，AA5=A5A6
∴a2=A3A4=AA3=1+
a3═AA3+A3A5=a2+A3A5
∵A3A5=
∴a3=A5A6=AA5=a2 +a2=
∴an=
（3）∵A1A2=AA1
∴∠A1AA2=∠AA2A1=θ
∴∠A2A1A3=θ1=θ+θ
∴θ1=2θ
同理可得：θ2=3θ θ3=4
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（4）由题意得：
∴15°＜θ≤18°。
点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质，在解题时要注意根据题意找出规律并与相似三角形的性质相结合是本题的关键．
综合验收评估测试题
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题
1．要做甲、乙两个形状相同(相似)．的三角形框架，已知三角形框架甲的三边长分别为50 cm，60 cm，80 cm，三角形框架乙的一边长为20 cm，那么符合条件的三角形框架乙共有 ( )
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
2．如图27－107所示，在△ABC中，已知∠AED＝∠B，DE＝6，AB＝10，AE＝8，则BC的长为 ( )
A. B．7 C． D.
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3．如图27－108所示，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，若△ABC的面积为12cm2，则△ADE的面积为 ( )
A．2 cm2 B．3 cm2 C．4 cm2 D．6 cm2
4．厨房角柜的台面是三角形，如果把各边中点的连线所围成的三角形铺上黑色大理石，如图27—109所示，其余部分铺上白色大理石，那么黑色大理石与白色大理石的面积比为 ( )
A．1：4 B．4：1 C．1：3 D．3：4
5．如图27－110所示，D是△ABC的边AB上一点，过D作DE∥BC交AC于E，若AD： DB＝2：3，则S△ADE：S四边形BCED等于 ( )
A．2：3 B．4：9 C．4；5 D．4：21
6．如图27－111所示，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，BF的延长线交AC于点H，则AH：HE等于 ( )
A．1：1 B．2：1 C．1： D．3：2
7．△ABC的三边长分别为，，2，△A′B′C′的两边长分别为1和，如果△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′
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的第三边长应为 ( )
A. B． C. D．
8．如图27－112所示，在△ABC中，DE∥BC，且S△ADE＝S四边形BDEC，则DE：BC等于( )
A．1:2 B．：2 C．1：4 D．2：3
9．如图27－113所示，在ABCD中，CE是∠DCB的平分线，F是AB的中点，AB＝6，BC＝4，则AE：EF：FB等于 ( )
A．1：2：3 B．2：1：3 C．3：2：1 D．3：1：2
10．点P是△ABC中AB边上的一点，过点P作直线(不与直线AB重合)截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似，则满足这样条件的直线最多有 ( )
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
二、填空题
11．如图27－114所示，在△ABC中，DE∥BC交AB于D，交AC于E，若AD＝3.2，DB＝2.4，AE
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＝2.8，则AC＝ ．
12．一根2米长的竹竿直立在操场上，影长为1.6米，在同一时刻，测得旗杆的影长为17．6米，则旗杆高 米．
13．若△ABC∽△A′B′C′，AC＝5，A′C′＝8，则 S△ABC：S△A′B′C′
= ．
14．已知两个相似多边形的一组对应边长分别为3 cm和4 cm，如果它们的面积和为50 cm2，则较大多边形的面积为 cm2．
15．若一个多边形在图上的面积为4 cm2，比例尺为1：1000，则该多边形的实际面积为 m2．
16．已知△ABC∽△DEF，相似比为3，△ABC的周长为54 cm，若△DEF的三边长之比为2：3：4，则△DEF的最短边长为 cm．
三、解答题
17．如图27－115所示，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，点D在AC上，且AD＝2，在AB上找一点E，使得△ADE与原三角形相似，这样的点E有几个?求出AE的长．
18．如图27－116所示，已知在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝20，点M分BC为BM：MC＝1：2，DE⊥AM于点E，求DE的长．
19．如图27－117所示，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，M是BC的中点，DE⊥AM，垂足为E，求DE的长．
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20．如图27－118所示，在△ABC中，已知AB＝AC＝8，BC＝6，BD⊥AC于D，AE⊥BC于E，求CD的长．
21．如图27－119所示，已知CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，若AD＝10，BD＝5，求CD的长．
22．如图27－120所示，在△ABC中，DE∥BC，且S△ADE：S四边形BCED＝1：3，求AD：DB．
23．在Rt△ABC中，CD为斜边上的高，试确定AC是哪两条线段的比例中项，用比例式或等积式写出你的结论，并加以证明．
24．如图27－121所示，在正方形ABCD中，E是AB上一点，EF⊥CE交AD于F．
(1)求证△AEF∽△BCE；
(2)求证.
25．如图27－122所示，已知∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，BC＝b．
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(1)当BD与a，b之间满足怎样的关系时，△ABC∽△CDB；
(2)过A作BD的垂线，与DB的延长线交于点E，若△ABC∽△CDB，试判断四边形AEDC是什么四边形．
26．如图27－123所示，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，PQ∥AB，点P在AC上，点Q在BC上．
(1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；
(2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；
(3)在AB上是否存在点M，使△PQM为等腰直角三角形?若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．C[提示：由题意知两个三角形相似，三角形乙中20 cm
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的边可以和三角形甲中的三边任何一边是对应边，所以符合条件的三角形共有3种．]
2．C[提示：∵∠A＝∠A，∠AED＝∠B，∴△ADE∽△ACB，∴，∴，∴BC＝.故选C．]
3．B[提示：∵D，E分别为AB，AC的中点，∴DE∥BC，∴△AED∽△ACB，∴，∴．∴S△ADE＝3．故选B.]
4．C[提示：由题意得被分割成的4个小三角形的面积相等，所以黑色大理石与白色大理石的面积比为1：3．]
5．D[提示：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=，∴.故选D.]
6.B[提示：∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴△HFE∽△HBC，∴，∴.∵AE=EC，∴,∴AH：HE＝2：1．]
7．A[提示：∵＝，设第三边长为x，∵，∴x＝.故选A．]
8．B[提示：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∵S△ADE＝S四边形BDEC，∴，∴．]
9．B[提示：∵CE平分∠DCB，∴∠DCE＝∠BCE．又∵DC∥AB，∴∠DCE＝∠CEB，∴∠CEB＝∠BCE，∴BE＝BC＝4，∴AE＝2．∵AF＝3，∴EF＝1，又BF＝3，∴AE：EF：FB＝2：1：3．]
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10．C[提示：过点P的直线可以分别与AC，BC平行，也可以与AC，BC不平行．]
11．4．9[提示：∵DE∥BC,△ADE∽△ABC，∴，∴，∴AC=4．9．] 12．22[提示：在同一时刻物高与影长成正比，∴，x＝22．]
13．25：64[提示：相似三角形的面积比等于相似比的平方．]
14．32[提示：设较大多边形的面积为x cm2，则，∴x=32．]
15．400[提示： ，∴x=4000000 cm2，即400 m2．]
16．4[提示：△ABC的最短边长为54×＝12，∵相似比为3，∴△DEF的最短边长为4 cm．]
17．解：这样的点正有两个．若△AED∽△ABC，则，∴，∴AE =；△AED∽△ACB，则，∴，∴AE＝.
18．解：∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AMB，又∵∠E＝∠ABM＝90°，∴△ABM∽△DEA，∴．∵BM=，AB=5，∴AM=，∴，∴DE＝12．
19．解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴△ABM∽△DEA，∴．在Rt△ABM中，AM==5，∴，∴DE=．
20．解：∵AE⊥BC，BD⊥AC，∴∠AEC＝∠BDC＝90°．又∵∠C
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＝∠C，∴△BCD∽△ACE，∴，∴，∴CD＝．
21．解：∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∴∠B+∠DCB＝90°．又∵∠A+∠B＝90°，∴∠A＝∠DCB，∴△ADC∽△CDB，∴，∴CD2=AD·BD=50，∴CD=5.
22．解：∵S△ADE：S四边形BCED=1：3，∴S△ADE：S△ABC：1：4，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AD：AB＝1：2，∴AD：DB＝1：1．
23．解：AC2＝AB·AD或．证明过程如下．∵∠A＋∠ACD＝90°，∠A＋∠B＝90°，∴∠B＝∠ACD．又∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，即AC2＝AB·AD．
24．证明：(1)∵∠AEF＋∠BEC＝90°，∠BEC＋∠ECB＝90°，∴∠AEF＝∠BCE，又∠A＝∠B＝90°，∴△AEF∽△BCE．
(2)∴△AEF∽△BCE，∴，又CD=BC，∴.
25．解：(1)若△ABC∽△CDB，则，∴BD＝，∴当BD＝时，△ABC∽△CDB． (2)∵△ABC∽△CDB，∴∠ACD＝90°．又∵∠D＝∠E＝90°，∴四边形AEDC为矩形．
26．解：(1)∵S△PQC＝ S四边形PABQ，∴S△PQC：S△ABC＝1：2．∵PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC，∴＝1：2，∴PC2＝·AC2＝×42＝8，∴PC＝2
(2)∵△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等，∴PC+CQ＝PA+AB+QB＝△ABC的周长的一半＝6．又∵PQ∥AB，∴，即，∴CP＝．
(3)存在点M使△PQM为等腰直角三角形．①如图27－124所示，当
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∠MPQ＝90°，PM＝PQ时，∠C＝90°，△ABC中AB边上的高为，设PM＝PQ＝x．∵PQ∥AB，∴△CPQ∽△CAB，∴，∴x＝，即PQ＝．当∠M′QP＝90°，QP＝QM′时，同理可得PQ＝．
②如图27－125所示，当∠PMQ＝90°，MP＝MQ时，可得点M到PQ的距离为PQ.设PQ＝x，∵PQ∥AB，∴△CPQ∽△CAB，∴＝，解得x=，即PQ=.
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