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学案34 等比数列㈡
一、课前准备：
【自主梳理】
1．等比数列的前项和公式
当时， ；当时 = ．
2．等比数列的前项和的性质
公比不为的等比数列的前项和为，则，…仍成比数列．
【自我检测】
1．在等比数列中，，，则 ．
2．在等比数列中，，，，则 ．
3．在等比数列中，，，则 ．
4．在等比数列中，，，则 ； ．
5．若数列的前项和，数列为等比数列，则实数的值为 ．
6．等比数列中，，则满足的的最小值是 ．
二、课堂活动：
【例1】填空题：
⑴ 已知，，则 ； ．
⑵ 在等比数列中，公比，已知，，则 ．
⑶ 设等比数列的前项和为，若,则=______ ．
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⑷ 某人2004年初向银行申请个人住房公积金贷款20万元购买住房，月利率3．375‰，按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月初开始还贷．如果10年还清，则每年应还贷 元．
【例2】设等比数列的公比为，它的前项和为40，前项和为3280，且前项中数值最大项为27，求数列的第项．
【例3】水土流失是我国西部大开发中最突出的生态问题，全国9100万亩的坡耕地需要退耕还林，其中西部地区占70％．国家确定2000年西部地区退耕土地面积为515万亩，以后每年退耕土地面积递增12％．
⑴ 从2000年起到2005年底，西部地区退耕还林的面积共有多少万亩（精确到万亩）？
⑵ 从2000起到哪一年底，西部地区基本解决退耕还林问题？
课堂小结
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三、课后作业：
1．在等比数列中，，，则 ．
2．在等比数列中，公比，，，则 ．
3．在等比数列中，，则公比 ．
4．在等比数列中，，，则公比 ．
5．在等比数列中，，则 ．
6．在等比数列中，，，，则 ．
7．在等比数列中，，则数列前项和为 ．
8．设是等比数列中的前项和，已知，，则公比 ．
9．设是等比数列中的前项和，成等差数列，求证：成等差数列．
10．某厂为试制新产品，需增加某些设备，若购置这些设备，需一次付款25万元；若租赁这些设备，每年初付租金3.3万元．已知一年期存款的年利率为2.55％，试讨论那种方案更好（设备寿命为10年）
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四、 纠错分析
错题卡
题 号
错 题 原 因 分 析
学案34 等比数列㈡
一、课前准备：
【自主梳理】
1．等比数列的前项和公式
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当时， ；当时 = ．
2．等比数列的前项和的性质
公比不为的等比数列的前项和为，则,…仍成比数列．
【自我检测】
1．在等比数列中，，，则 ．
2．在等比数列中，，，，则 364 ．
3．在等比数列中，，，则 ．
4．在等比数列中，，，则 2 ； ．
5．若数列的前项和，数列为等比数列，则实数的值为 1 ．
6．等比数列中，，则满足的的最小值是 7 ．
二、课堂活动：
【例1】填空题：
⑴ 在等比数列中，公比， ，，则 3 ； ．
⑵在等比数列中，公比，已知，，则 15 ．
⑶ 设等比数列的前项和为，若,则=__ ．
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⑷ 某人2004年初向银行申请个人住房公积金贷款20万元购买住房，月利率3．375‰，按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月初开始还贷．如果10年还清，则每年应还贷 元．
解：设每月应还贷元，共付款次，则有
(1+3.375‰)+(1+3.375％)+ …+(1+3.375‰)+=200000 (1+3.375‰)，
即
（元）．
答：每月应还款2029.66元．
【例2】设等比数列的公比为，它的前项和为40，前项和为3280，且前项中数值最大项为27，求数列的第项．
解：设等比数列的前项和为，由题知，，，
则
【例3】水土流失是我国西部大开发中最突出的生态问题，全国9100万亩的坡耕地需要退耕还林，其中西部地区占70％．国家确定2000年西部地区退耕土地面积为515万亩，以后每年退耕土地面积递增12％．
⑴ 从2000年起到2005年底，西部地区退耕还林的面积共有多少万亩（精确到万亩）？
⑵ 从2000起到哪一年底，西部地区基本解决退耕还林问题？
解：⑴ 由题知，每年退耕还林的面积比上一年增长的百分比相同，所以从2000年起，每年退耕还林的面积组成一个等比数列，其中，则
（万亩）．
⑵ 设从2000年起，到年底西部地区基本解决退耕还林问题，则
％
答：从2000年起到2005年底，西部地区退耕还林的面积共有4179万亩；到2007年底西部地区基本解决退耕还林工作．
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课堂小结
三、课后作业：
1．在等比数列中，，，则 ．
2．在等比数列中，公比，，，则 63 ．
3．在等比数列中，，则公比 或1 ．
4．在等比数列中，，，则公比 ．
5．在等比数列中，，则 15 ．
6．在等比数列中，，，，则 6 ．
7．在等比数列中，，则数列前项和为 ．
8．设是等比数列中的前项和，已知，，则公比 4 ．
9．设是等比数列中的前项和，成等差数列，求证：成等差数列．
证明：当时，，，，与成等差数列矛盾，故．
由，得
，即成等差数列．
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10．某厂为试制新产品，需增加某些设备，若购置这些设备，需一次付款25万元；若租赁这些设备，每年初付租金3.3万元．已知一年期存款的年利率为2.55％，试讨论那种方案更好（设备寿命为10年）
解：若购置设备，则万元10年后的价值为25(1+2.55％)32.159(万元) ．
若租赁设备，每年初付租金3.3万元，10年后的总价值为
3.3(1+2.55％)+ 3.3(1+2.55％)+ …+3.3(1+2.55％)29.54(万元)
因此，购买设备较好．
四、纠错分析
错题卡
题 号
错 题 原 因 分 析
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