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学案18 函数与方程
一、课前准备：
【自主梳理】
1． 函数的零点
⑴把使函数的值为 的实数称为函数的零点．
⑵函数的零点就是方程的 ，从图象上看，函数的零点就是它的图象与轴交点的 ．
2． 零点存在定理
若函数在区间上的图象是一条不间断的曲线，且 ，那么函数在区间 上有零点．
思考：上述定理中的零点是否唯一？在什么条件下，在区间上有且只有一个零点．
3． 二分法
对于在区间上连续不断，且 的函数，通过不断地把函数 的零点所在的区间一分为二，使区间端点的两个值逐渐逼近的零点，进而得到函数零点的近似值的方法叫做 ．
【自我检测】
1．若函数的零点是3，那么函数的零点是________.
2．函数的零点个数为________.
3．设方程的解为x0∈，则正整数＝ ________.
4已知函数在区间上有零点，则的取值范围是 ．
5．用二分法研究函数的零点时，第一次计算可得其中一个零点 ，第二次应计算 ，下一个有根的区间为 ．
二、课堂活动：
【例1】填空题：
（1）函数在区间 上存在一个零点，则的取值范围是 ．
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（2）已知函数，且方程有3个实数根，那么这三个实数根的和为 ．
（3）已知方程的解x0∈，则正整数n＝________．
（4）若函数满足且时，；函数 ，则函数与的图象在区间内的交点个数共有_______个．
【例2】已知关于的一元二次方程
⑴若方程有两根，其中一根在区间内，另一根在区间内，求实数的取值范围．
⑵若方程两根均在区间内，求实数的取值范围．
【例3】⑴若函数有且只有一个零点，求实数的值．
⑵若函数有4个零点，求实数的取值范围．
课堂小结
三、课后作业
1．函数在上零点的个数为 ．
2．当时，不等式恒成立，则的取值范围是 ．
3．若函数的零点在区间上，则的值为 ．
4． 则函数的零点个数为 ．
5．若方程在上有解，则实数的取值范围是 ．
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6． 已知函数，，的零点依次为，则由小到大的顺序是 ．
7．设是连续的偶函数，且当时，是单调函数，则满足 的所有之和是 ．
8.设函数，给出下列4个命题：
①时，只有一个实数根； ②时，是奇函数；
③的图象关于点对称； ④方程至多有2个实数根
上述命题中的所有正确命题的序号是 ．
9． 已知二次函数
（1）若的解集是，求实数的值；
（2）若为整数，，且函数在（－2，－1）上恰有一个零点，求a的值.
10．已知是二次函数，不等式的解集是且在区间上的最大值是.
（1）求的解析式.
（2）是否存在整数使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
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四、 纠错分析
错题卡
题 号
错 题 原 因 分 析
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参考答案：
自主梳理：
1．零 实根 横坐标 2．
3． 二分法
自我检测：
1．和 2．2 3．2 4． 5．
课堂活动：
【例1】
1． 2．12 3．2 4．8
【例2】
记
（1） 由题意，结合图象可知
解得
（2） 由题意，结合图象可知
解得
【例3】
（1）
（2）若函数有4个零点，即方程有4个根，
令，， 则与的图象应有4个交点，
∴的取值范围是
课后作业：
1．1 2． 3．和 4．
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5． 6． 7． 8．①②③
9.解：（Ⅰ）不等式的解集是，
故方程式的两根是， 。
所以，，所以，。
（Ⅱ）∵ ，∴ ，
，函数必有两个零点，
又函数在上恰有一个零点， ，
， ，又，∴ ．
10. 解：（I）是二次函数，且的解集是
可设在区间上的最大值是
由已知，得
（II）方程等价于方程
设则
当时，是减函数；当时，是增函数。
∴方程在区间内分别有惟一实数根，而在区间内没有实数根，所以存在惟一的自然数使得方程在区间内有且只有两个不同的实数根。
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