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学案62 双曲线
一、课前准备：
【自主梳理】
1.双曲线的定义
1、平面内一点P与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数.即||PF1|-|PF2||=2a（a>0).
(1)若2a>|F1F2|,则点P的轨迹为 ;(2)若2a=|F1F2|,则点P的轨迹为 ;
(3) 若2a1)（即 ）的点的轨迹叫做双曲线.定点F为双曲线的 ，定直线为双曲线的 .
2.双曲线的几何性质
条件
=
标准方程
范 围
顶 点
对称性
对称轴
对称轴： 实轴长： ，虚轴长：
对称中心
焦 点
准线方程
焦半径
焦 距
离心率
渐近线方程
共渐近线的双曲线方程
【自我检测】
1．已知P是双曲线－＝1右支上的一点，双曲线的一条渐近线的方程为3x－y＝0.设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若|PF2|＝3，则|PF1|＝________.
2. 已知焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程是y＝±4x，则该双曲线的离心率是_____________.
3. 双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠F1MF2＝120°，则双曲线的离心率
为_____________.
4．已知双曲线9y2－m2x2＝1(m>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m=___________.
5．已知椭圆＋＝1和双曲线－＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程
为_____________.
二、课堂活动：
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【例1】填空题：
（1）已知双曲线－＝1，直线l过其左焦点F1，交双曲线左支于A、B两点，且|AB|＝4，F2为双曲线的右焦点，△ABF2的周长为20，则m的值为________.
（2）过双曲线－＝1的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF(O为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为_________.
（3）已知F1、F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正△MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为 _________ .
（4）已知F1、F2为双曲线Cx2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则
|PF1|·|PF2|＝ ___________.
【例2】已知焦点，双曲线上的一点Ｐ到的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程；
变式1.求与椭圆共焦点且过点的双曲线的方程；
变式2.已知双曲线的焦点在轴上，并且双曲线上两点坐标分别为，求双曲线的标准方程。
【例3】已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点F(－2,0)
(1)求双曲线方程；
(2)设Q是双曲线上一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若||＝2||，求直线l的方程．
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课堂小结
三、课后作业
１．已知双曲线－＝1的右焦点为(，0)，则该双曲线的渐近线方程为________．
２．已知P是双曲线－＝1右支上的一点，双曲线的一条渐近线的方程为3x－y＝0.设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若|PF2|＝3，则|PF1|＝________.
３．已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为,且焦距与虚轴长之比为，则双曲线的标准方程是____________________.；
４．如果双曲线的两个焦点分别为、，一条渐近线方程为，那么它的两条准线间的距离是__________.
5．设F1和F2为双曲线－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是______．
6．过双曲线x2－y2＝8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|＝7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是__________.
7.在平面直角坐标系xOy中，双曲线上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是_________。
8．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点为F1，F2，P为双曲线上一点，且|PF1|＝3|PF2|，则该双曲线离心率的取值范围是________．
9．(1)已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x2＋y2＝10相交于点P(3，－1)，若此圆过点P
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的切线与双曲线的一条渐近线平行，求此双曲线的方程；
(2)已知双曲线的离心率e＝，且与椭圆＋＝1有共同的焦点，求该双曲线的 方程．
．
10．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．点M(3，m)在双曲线上．
(1)求双曲线方程；(2)求证：;(3)求△F1MF2面积．
四、 纠错分析
错题卡
题 号
错 题 原 因 分 析
自我检测参考答案
1. 5 2. 3. 4. m＝4 5. y＝±x
例1参考答案
(1) 9 (2) (3) ＋1 (4) 4
例2 【解析】（1）因为双曲线的焦点在轴上，
所以设它的标准方程为，
∵，∴，∴。
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所以所求双曲线的方程为；
变式1椭圆的焦点为，
可以设双曲线的方程为，则。
又∵过点，∴。
综上得，，所以。
点评：双曲线的定义；方程确定焦点的方法；基本量之间的关系。
变式2.因为双曲线的焦点在轴上，
所以设所求双曲线的标准方程为①；
∵点在双曲线上，∴点的坐标适合方程①。
将分别代入方程①中，得方程组：
将和看着整体，解得，
∴即双曲线的标准方程为。
点评：本题只要解得即可得到双曲线的方程，没有必要求出的值；在求解的过程中也可以用换元思想，可能会看的更清楚。
例3【解析】 (1)由题意可设所求的双曲线方程为
－＝1(a>0，b>0) 则有e＝＝2，c＝2，∴a＝1，则b＝
∴所求的双曲线方程为x2－＝1.
(2)∵直线l与y轴相交于M且过焦点F(－2,0)
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∴l的斜率k一定存在，设为k，则l：y＝k(x＋2)
令x＝0得M(0,2k) ∵||＝2||且M、Q、F共线于l
∴＝2或＝－2
当＝2时，xQ＝－，yQ＝k ∴Q，
∵Q在双曲线x2－＝1∴－＝1，∴k＝±，
当＝－2时，
同理求得Q(－4，－2k)代入双曲线方程得，16－＝1，∴k＝±
则所求的直线l的方程为：y＝±(x＋2)或y＝±(x＋2)
课后作业
1. y＝±x. 2. |PF1|＝5. 3.双曲线的标准方程是 4. ，
5. 6. 14＋8 7. 4 8. 1
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