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第三章 三角形
3.1 认识三角形（1）
学习目标：1、通过观察、想象、推理、交流等活动，发展空间观念、推理能力和有条理地表达能力；
2、能证明出“三角形内角和等于180°”，能发现“直角三角形的两个锐角互余”；
3、按角将三角形分成三类。
学习重难点：三角形内角和定理推理和应用。
学习设计：
（一） 预习准备
（1）预习书62-65页
（2）思考①三角形的角之间的关系②三角形的分类
（3）预习作业
三角形中角的关系：（1）三角形的三个内角之和是 ；（2）直角三角形的两个锐角
三角形的分类：按角分为三类： 三角形； 三角形和 三角形。
（二） 学习过程
例1 证明三角形的内角和为180°
例2 在△ABC中，（1）=
（2）=
（3）在△ABC中，的外角是120°，的度数是度数的一半，求△ABC的三个内角的度数
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变式训练：在△ABC中（1）=
(2)若=55°，,那么= ,=
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例3 已知△ABC中，,试判断此三角形是什么形状？
变式训练：已知△ABC中，试判断此三角形是什么形状？
例4 如图，在△ABC中，,CD⊥AB于点D，
例5 如图，已知的度数。
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变式训练：如图在锐角三角形ABC中，BE、CD分别垂直AC、AB，若，求的度数。
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拓展：1、如图所示，求的度数。
2、如图在△ABC中，已知的度数。
回顾小结：1、三角形的三个内角的和等于180°；
2、三角形按角分为三类：
（1）锐角三角形 （2）直角三角形 （3）钝角三角形
3、直角三角形的两个锐角互余
3.1认识三角形（2）
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一、学习目标：1、通过观察、操作、想象、推理、交流等活动，发掌空间观念、推理能力和有条理地表达能力；
2、结合具体实例，进一步认识三角形的概念及其基本要素，掌握三角形三边关系：“三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边”。
二、学习重点：三角形三边关系：“三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边”。
三、学习难点： 灵活运用三角形三边关系解决一些实际问题。
四、学习设计
（一）预习准备
（1）预习书66-67页
（2）思考①什么叫三角形？②三角形的基本构造③三角形的三边关系
（3）预习作业：
如图，已知AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，点F是AE的中点，则图中有 个三角形， 个直角三角形， 个锐角三角形， 个钝角三角形；以为内角的三角形有 个，它们分别是 ；以BE为一边的三角形是 。
（二）学习过程
1、三角形的有关概念新课标 第一 网
（1）三角形的定义：由不在 上的三条线段首尾 相连所组成的图形。
（2）三角形的基本构造：
①组成三角形的三条线段叫做三角形的
②两条边相接的点叫做三角形的
③相邻两边组成的角叫做三角形的
2、三角形的三边关系：
（1）三角形任意两边之和 第三边
（2）三角形任意两边之差 第三边
例1 图中共有几个三角形？并把它们用符号表示出来。
例2 下面各组数分别表示三条线段的长度，试判断以它们为边是否能组成三角形。
（1）1 ；4 ；5 （2）3 ；3 ；5
（3）3x ；5x ；7x（x为正数） （4）三条线段长度之比为4：7：6
变式训练：有下列长度的三条线段能否构成三角形？为什么？
（1）3 ；4 ；8 （2）5 ；6 ；11 （3）5 ；7 ；10
（4）4 ；4 ；9 （5）5 ；5 ；5
例3 小明要制作一个三角形铁丝架，已知有两根铁丝长度分别是3cm，5cm
（1） 他该如何选择第三根铁丝？你能帮助小明确定它的长度或范围吗？
（2） 如果要求第三根铁丝的长度是整数，那么小明有几种选择？
变式训练：1、已知两条线段的长为5cm和8cm，要订成一个三角形，试求：
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（1） 第三条线段的长度范围；
（2） 若第三条线段的长度为奇数，求此时三角形的周长。
2、已知等腰三角形中，有两边长为3和7，求此等腰三角形的底边和腰长
例4 如图所示，在小河的同侧有A,B,C三个村庄，图中的线段表示道路，某邮递员从A村送信到B村，总是走经过C村的道路，不走经过D村的道路，这是为什么呢？
请利用你所学的数学知识加以证明。
拓展：1、若设是△ABC的三边，则=
2、已知是△ABC的三边，，且三角形的周长是偶数，（1）求c的值；（2）判断△ABC的形状。
回顾小结：Xk b 1.Com
掌握三角形三边关系：“三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边”。
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3.1认识三角形（3）
学习目标：1、通过观察、想象、推理、交流等活动，发展空间观念、推理能力和有条理地表达能力；
2、了解三角形的角平分线、中线、高线，并能在具体的三角形中作出高线。
学习重点：1、角平分线的概念
2、三角形的中线、高线。
学习难点：高线的画法以及三个定义做计算
学习设计：
（一） 预习准备
（1） 预习书68-72
（2） 思考：什么是三角形的角平分线？中线？高线？
（3） 预习作业
画出下图三角形的三条高
（二） 学习过程
1、在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做
2、在三角形中， 的线段，叫做这个三角形的中线。
3、从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线， 之间的线段叫做三角形的高。
例1 （1）如图1，D为S△ABC的变BC边的中点，若S△ADC=15, 那么S△ABC=
(2)如图2，已知AD、BE分别是△ABC中BC、AC边上的高，若 新 课 标第 一 网
图1 图2
变式训练：如图在△ABC中，BD平分=
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例2 如图，已知在△ABC中，的平分线交于点O，试说明：
（1）
(2)
变式训练：如图在△ABC中，已知I是△ABC三个内角平分线的交点，为（ ）
A、40° B、50° C、65° D、80°
例3 如图，已知在△ABC中，CF、BE分别是AB、AC边上的中线，若AE=2，AF=3，且△ABC的周长为15，求BC的长。
变式训练：如图，在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD把三角形的周长分为12和15两部分，求△ABC各边的长。
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拓展：1、（1）如图，若AD为△ABC底边BC的中线，则= = ;
(2)两个等底（同底）三角形面积之比等于它们的 之比；两个等高（同高）三角形面积之比等于它们的 之比；
（3）如图，在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，DF=FC,CE=2EB。已知（其中n>m）,则= 新课标 第一 网
2、如图1在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分
(1)试探究的关系；
（2）若F是AE上一动点
①若F移动到AE之间的位置时，FD⊥BD，如图2所示，此时的关系如何？
②当F继续移动到AE延长线上时，如图3所示FD⊥BC，①中的结论是否还成立，如果成立说明理由，如果不成立，写出新的结论。
回顾小结：(1)三角形的角平分线、中线、高线的定义;
(2) 三角形的角平分线、中线、高线是线段.
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3.2 图形的全等
一、学习目标：
1.了解全等图形、全等多边形、全等三角形.
2.平移、旋转、翻折等图形基本运动对全等图形的影响.
3.掌握全等多边形性质与识别方法，全等三角形的性质.
4.简单应用全等多边形性质、全等三角形的性质解决实际问题.
二、学习重点:
全等多边形的性质与识别方法；全等三角形的性质应用.
三、学习难点:
平移、旋转、翻折等图形基本运动对全等图形的影响.
四、学习设计:
(一)引入
观察教材 P73 图 3-21几组图形。
(二)学习过程
阅读课本P73-75填空：_________________两个图形就是全等图形。全等图形的________和______都相同。
下面，我们看看图形的运动对全等图形有何影响?
活动 请同学们在方格纸中任意画一个多边形，先将这个多边形沿某一方向平移一定距离(与原图形无重叠)；再将原多边形绕形外一点顺时针(或逆时针)旋转一定角度(与原图形无重叠)；然后将原图形沿形外某格线对称；最后将这些图形剪下来，将其叠合.你能发现什么?通过这个活动过程，说明了什么问题?
说明图形经过平移、旋转、翻折的图形运动，位置发生了变化，但形状和大小却没有改变，图形运动前后的两个图形是全等的；反过来，也就是说，两个全等的图形经过图形运动一定能重合.
请你说说什么是全等多边形?什么是全等多边形的对应顶点、对应角、对应边?你认为全等多边形有何特征?
全等多边形对应边、对应角分别相等.
如图1，四边形ABCD与四边形EFGH全等，可记为四边形ABCD≌四边形EFGH，请指出对应顶点、对应角、对应边.
全等多边形的识别方法：如果两个多边形对应边、对应角分别相等，那么这两个多边形全等.
三角形是特殊的多边形，所以，全等三角形的对应边、对应角分别相等；如果两个三角形的___________、__________分别相等，那么这两个多边形全等.
例1 如图2，已知将△ABC绕其顶点A顺时针方向旋转
20°后得到△ADE.
(1)△ABC与△ADE的关系如何?
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(2)求∠BAD的度数.
分析：将△ABC绕其顶点A旋转得到△ADE，故△ADE是由△ABC旋转得到的，若将△ADE逆时针方向旋转20°，则能与△ABC重合，所以△ABC与△ADE是全等的.由学生自主思考、分析解答.
探索：请同学们将两张纸叠起来，剪下两个全等三角形，然后将叠合的两个三角形纸片放在桌面上，从平移、旋转、对称几个方面进行摆放，看看两个三角形有一些怎样的特殊位置关系?并画出这些位置关系的代表性图形.
3.3 探索三角形全等的条件（1）
一、学习目标：
1．经历探索三角形全等的“边边边”的条件的过程．
2．了解三角形的稳定性．
3．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．
二、学习重点：
三角形全等的条件．
三、学习难点：
寻求三角形全等的条件
四、学习设计：
(一)、预习准备
（1）回忆前面研究过的全等三角形．
（2）预习课本P157-158
(二)、学习过程
已知△ABC≌△A′B′C′，找出其中相等的边与角．
图中相等的边是：AB=A′B、BC=B′C′、AC=A′C．
相等的角是：∠A=∠A′、∠B=∠B′、∠C=∠C′．
（1）提出问题：你能画一个三角形与它全等吗？怎样画？
（提示：可以先量出三角形纸片的各边长和各个角的度数，再作出一个三角形使它的边、角分别和已知的三角形纸片的对应边、对应角相等．这样作出的三角形一定与已知的三角形纸片全等）．
这是利用了全等三角形的定义来作图．那么是否一定需要六个条件呢？条件能否尽可能少呢？现在我们就来探究这个问题．
（２）小明家衣橱上两块全等的三角形玻璃装饰物，其中一块被打碎了，妈妈让小明快速配一块回来，如果只有一把尺子，小明该怎么办？
讨论下面几种情况：
1．给一个条件：
只给定一条边时：
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只给定一个角时：
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2．给出两个条件可能是：①一边一内角；②两内角；③两边．
可以发现按这些条件画出的三角形都_______________保证一定全等．
给出三个条件画三角形，你能说出有几种可能的情况吗？
归纳：有四种可能．即：三内角、三条___、两边一内角、两_____一边．
在刚才的探索过程中，我们已经发现三内角不能保证三角形全等．下面我们就来逐一探索其余的三种情况．
已知一个三角形的三条边长分别为6cm、8cm、10cm．你能画出这个三角形吗？把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？
1．作图方法：
先画一线段AB，使得AB=6cm，再分别以A、B为圆心，8cm、10cm为半径画弧，两弧交点记作C，连结线段AC、BC，就可以得到三角形ABC，使得它们的边长分别为AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm．
2．以小组为单位，把剪下的三角形重叠在一起，发现都能够重合．这说明这些三角形都是全等的．
这反映了一个规律：
_______________的两个三角形全等，简写为_________或_________．
用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，而用四根木条钉成的框架，它的形状是可以改变的．三角形的这个性质叫做三角形的__________．
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[例1]如图，1、如图，△ABC中 AB=AC， D为BC中点
求证：①△ABD≌△ACD．
②∠BAD=∠CAD
③AD⊥BC
证明：
新|课 |标| 第|一|网
变式训练：
如图，已知AC=FE、BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，AD=FB．要用“边边边”证明△ABC≌△FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？
例2、如图，已知AB=CD，AC=BD，求证：∠A=∠D
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拓展延伸
1、如图，AC与BD交于点O，AD=CB，E、F是BD上两点，且AE=CF，DE=BF.请推导下列结论：
⑴∠D=∠B；⑵AE∥CF．
2、已知如图，A、E、F、C四点共线，BF=DE，AB=CD.
⑴请你添加一个条件，使△DEC≌△BFA；
⑵在⑴的基础上，求证：DE∥BF.
W wW.x kB 1.c Om
A
B
C
E
D
3、 已知：AB =AC, D为△ABC内部一点， 且BD = CD,
连接AD并延长，交BC于点E. 试找出图中的一对全等的三角形，并证明你的结论。
小结：
1、证明三角形全等的一般步骤：
①把非直接条件（公共边、公共角、对顶角，平行线，平行四边形等图形中的隐含条件）转化为直接条件（三角形中的对应相等的边或角）
②在△ 与△ 中 ∵ ∴△ ≌△
2、证明不在同一个三角形中的边与角相等时，不要忘记证它们所在的三角形全等
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3.3探索三角形全等的条件（2）
一、学习目标
1、探索出三角形全等的条件“ASA”和“AAS”并能应用它们来判定两个三角形
是否全等。
2、体会利用转化的数学思想和方法解决问题的过程。
3、能够有条理的思考和理解简单的推理过程，并运用数学语言说明问题。
4、敢于面对数学活动中的困难，并能通过合作交流解决遇到的问题。
二、学习重点
掌握三角形全等条件“ASA”和“AAS”，并能应用它们来判定两个三
角形是否全等。
三、学习难点
探索 “AAS”的条件
四、学习设计：
1.温故而知新
如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，△ABD和△ACD全等吗？
你能说明理由吗？
2、创设情景，引入新课
提问：一张三角形的纸片，被斯成三部分，究竟用那部分可
画出原图一样的三角形？
探究练习1.
两角和它们的夹边
将学生分组小组分工合作完成下列问题：
画一个△ABC使它满足以下条件：
第一组：∠A=90°, ∠B=30°,AB=10cm
第二组： ∠A=60°, ∠B=45°,AB=9cm
学生动手操作，完成问题后，小组交流比较，看看能得到什么结论？学生表述，老师板书：
________________________对应相等的两个三角形全等；
（简写为_____________或者 ______________）
探究练习2.
如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边，比如三角形的两个内角分别是60° 和45°，一条边长为10cm，情况会怎样呢？
（1） 如果角60°所对的边为10cm，你能画出这个三角形吗？
（2） 如果角45°所对的边为10cm，那么按这个条件画出的三角形都全等吗？
结论___________________________对应相等的两个三角形全等
简写为________________________________
思考：若两个三角形具备两角和其中一个角的对边分别相等，哪么这两个三角形全等，你认为对吗？能举例说明吗？
3.举例应用：
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例1.如图，已知AO=DO，∠AOB与∠DOC是对顶角，还需补充条件______________=_______________，就可根据“ASA”说明△AOB≌△DOC；或者补充条件_______________=_______________，就可根据“AAS”，说明△AOB≌△DOC。（若把“AO=DO”去掉，答案又会有怎样的变化呢？）
变式训练：如图：已知BD＝CE，∠B＝∠C，△ABD与△ACE全等吗？为什么？
A
D
E
B
C
例2、如图，OP是∠MON的角平分线，C是OP上一点，CA⊥OM，CB⊥ON，垂足分别为A、B，△AOC≌△BOC吗？为什么？
变式训练：
A
B
C
D
O
1
2
已知：如图，AB=DC，∠A=∠D．试说明：∠1=∠2．
拓展延伸
B
C
D
A
F
G
E
如图，ΔABC中，D是AC上一点，BE∥AC，BE=AD，AE分别交BD、BC于点F、G．
⑴图中有全等三角形吗？请找出来，并证明你的结论．
⑵若连结DE，则DE与AB有什么关系？并说明理由．
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3.3探索三角形全等的条件（3）
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一、学习目标：
1、 明确SAS公理的内容，能用SAS证明两个三角形全等。
2、 通过SAS公理的运用提高学生的逻辑思维能力，通过观察几何图形培养学生识图能力和应用数学知识解决实际问题的能力。
二、学习重点：通过动手操作得出“SAS”可以判定两个三角形全等.
三、学习难点：通过操作发现“两边及其一边的对角对应相等”不能成为三角形全等的条件.
四、学习设计：
一． 回顾引入：
师：到目前为止，你能用哪些方法来判定三角形全等？
生：_____________________________________
师：ASA，AAS同是两角一边，有什么区别？
F
A
C
E
D
B
2
1
3
4
师：请看下面的图形，已知Ð1=Ð3，BE=CF你能只添加一个条件证出△ABC≌ △DEF
吗？
二．学习过程：
提出问题：
据前面的探索过程可知，至少需要三个条件，除上述三种情况外还有哪种情况？
两边与一角对应相等，可以分几种关系？
1、两边及其夹角对应相等；
2、两边及其中一边的对角对应相等。
我们可以通过什么途径来验证以上条件能否得出全等结论？
实践探索1：两边及其夹角对应相等
请同学们画一个三角形，两边分别为20cm、16cm，且夹角为40度。
小组比较交流图形能否重合。
思考：若改变图中的角度和边长也能重合吗？
明晰：________________________的两个三角形全等。（或___________）
例1：小明不小心打翻了墨水，将自己所画的三角形涂黑了，你能帮小明想想办法，画一个与原来完全一样的三角形吗？说说怎么做？
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E
F
D
H
O
变式训练：
小明做了一个如图所示的风筝，其中∠EDH=∠FDH, ED=FD ，将上述条件标注在图中，小明不用测量就能知道EH=FH吗？与同桌进行交流，还有哪组线段相等？并说明理由。
实践探索2：两边及其中一边对角对应相等
请同学们画一个三角形，两边分别为20cm、16cm，且一边的对角为40度。
小组比较交流图形能否重合。
明晰：两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。
例2、
O
D
C
B
A
工人师傅把两根钢条AC,BD连在一起可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），只要量得CD的长度就可知工件的内径AB是否符合标准。
你认为制作卡钳需要满足什么条件，并说明理由。
A、AO=CO B、BO=DO
C、AC=BD D、AO=CO且BO=DO
C ′
B′
A′
A
B
C
例3.如图：
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①已知AB=A′B′,BC=B′C′,那只要再知道____=____,就可以根据“SAS”
得到△ABC≌△A′B′C′.
②已知AB=A′B′,∠BAC＝∠B′A′C′,那只要再知道____=____,就可以根据“SAS”
得到△ABC≌△A′B′C′. Xk b 1.Com
③已知∠C＝∠C′,那只要再知道_____=_____ , _____=_____ ,就可以根据“SAS”
E
A
C
F
D
B
得到△ABC≌△A′B′C′
变式训练：
如图：若AB= DE，BF=EC ,∠B＝ ∠E，那么 △ ABC 和△ DEF全等吗？
拓展延伸
1．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2．△ABD ≌ △ ACE。
2． 已知：点A、F、E、C在同一条直线上， AF＝CE，
BE∥DF，BE＝DF．求证：AB∥CD
3、如图，在△ABC中，∠B=2∠C,AD是△ABC的角平分线，∠1=∠C,求证AC=AB+BD
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3.3探索三角形全等的条件（4）
学习目标:1、理解直角三角形全等的判定方法“HL”，并能灵活选择方法判定三角形全等；
2．通过独立思考、小组合作、展示质疑，体会探索数学结论的过程，发展合情推理能力；3. 极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。
学习重点: 运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
学习难点：熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
四、学习设计：新课标 第一 网
一、复习思考
(1)、判定两个三角形全等的方法： 、 、 、
(2)、如图，Rt△ABC中，直角边是 、 ，斜边是
(3)、如图，AB⊥BE于B，DE⊥BE于E，
①若∠A=∠D，AB=DE，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）
②若∠A=∠D，BC=EF，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）
③若AB=DE，BC=EF，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）
④若AB=DE，BC=EF，AC=DF则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）
（二）学习过程：
已知线段a ，c (a
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