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四川省射洪中学九年级数学下册教案(华师大版)
教学内容 26.1 二次函数 本节共需 1 课时
本课为第 1 课时 主备人：
教学目标 通过具体问题引入二次函数的概念；
在解决问题的过程中体会二次函数的意义．
教学重点 通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意
义．
教学难点 如何建立数学模型
教具准备 学案每生一份 课型 新授课
教学过程 初 备 统 复 备
情境创设
（1）正方形边长为 a（cm），它的面积 s（cm2）是多少？
（2）已知正方体的棱长为 x ㎝，表面积为 y 2cm ,则 y
与 x 的关系是 。
（3）矩形的长是 4 厘米，宽是 3 厘米，如果将其长与
宽都增加 x 厘米，则面积增加 y 平方厘米，试写出 y 与
x 的关系式．
请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什
么？如果是，它是我们学过的函数吗？，
探究新知
1、 请你结合学习一次函数概念的经验，给以上三个函
数下个定义．
2、 归纳：二次函数的概念
3、 结合“情境”中的三个二次函数的表达式，给出常
数 a、b、c 的取值范围，强调 0a 。
4、 结合“情境”中的三个二次函数的表达式，说说它
们的自变量的取值范围。天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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实践与
探索 1
例 1． m 取哪些值时，
函数 )1()( 22 mmxxmmy 是以 x 为自变量
的二次函数？
分析 若函数 )1()( 22 mmxxmmy 是二次
函数，须满足的条件是： 02 mm ．
解 若函数 )1()( 22 mmxxmmy 是二次函
数，则 02 mm ．解得 0m ，且 1m ．因此，
当 0m ， 且 1m 时 ， 函 数
)1()( 22 mmxxmmy 是二次函数．
探索 若函数 )1()( 22 mmxxmmy 是以 x
为自变量的一次函数，则 m 取哪些值？
实践与
探索 2
例 2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的
函数．
（1）写出正方体的表面积 S（cm2）与正方体棱长 a（cm）
之间的函数关系；
（2）写出圆的面积 y（cm2）与它的周长 x（cm）之间
的函数关系；
（3）某种储蓄的年利率是 1.98%，存入 10000 元本金，
若不计利息，求本息和 y（元）与所存年数 x 之间的
函数关系；
（4）菱形的两条对角线的和为 26cm，求菱形的面积 S
（cm2）与一对角线长 x（cm）之间的函数关系．天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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应用
与拓展
1．下列函数中，哪些是二次函数？
（1） 02 xy
（2） 2)1()2)(2( xxxy
（3）
xxy 12
（4） 322 xxy
2．当 k 为何值时，函数 1)1( 2
kkxky 为二次函
数？
3．已知正方形的面积为 )( 2cmy ，周长为 x（cm）．
(1)请写出 y 与 x 的函数关系式；
(2)判断 y 是否为 x 的二次函数．
正方形铁片边长为 15cm，在四个角上各剪去一个边长
为 x（cm）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的
盒子．
(1)求盒子的表面积 S（cm2）与小正方形边长 x（cm）
之间的函数关系式；
(2)当小正方形边长为 3cm 时，求盒子的表面积
小结
与作业
回顾与反思
形如 cbxaxy 2 的函数只有在 0a 的条件
下才是二次函数．
课堂作业：
习题 26·1 1～3
家庭作业：
《数学同步导学下》P1 随堂演练
教学后记：
教学内容 二次函数的图象与性质（1） 本节共需 7 课时
本课为第 1 课时 主备人：
教学目标 会用描点法画出二次函数 2axy 的图象，概括出图象的特点及函数的性质．
教学重点 通过画图得出二次函数特点
教学难点 识图能力的培养
教具准备 坐标小黑板一块 课型 新授课
教学过程 初 备 统 复 备天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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情境导入
我们已经知道，一次函数 12 xy ，反比例函数
xy 3
xy 3 的图象分别是 、 ，那
么二次函数 2xy 的图象是什么呢？
（1）描点法画函数 2xy 的图象前，想一想，列表时
如何合理选值？以什么数为中心？当 x 取互为相反数的
值时，y 的值如何？
（2）观察函数 2xy 的图象，你能得出什么结论？
实践与
探索 1
例 1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并
指出它们有何共同点？有何不同点？
（1） 22xy （2） 22xy
共同点：都以 y 轴为对称
轴，顶点都在坐标原点．
不同点： 22xy 的图象开
口向上，顶点是抛物线的最
低点，在对称轴的左边，曲
线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升．
22xy 的图象开口向下，顶点是抛物线的最
高点，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴
的右边，曲线自左向右下降．
注意点：
在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的
对称性，因为图象是抛物线，因此，要用平滑曲线按自
变量从小到大或从大到小的顺序连接．天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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实践与探
索 2
例 3．已知正方形周长为 Ccm，面积为 S cm2．
（1）求 S 和 C 之间的函数关系式，并画出图象；
（2）根据图象，求出 S=1 cm2 时，正方形的周长；
（3）根据图象，求出 C 取何值时，S≥4 cm2．
分析 此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要
注意自变量的取值范围；画图象时，自变量 C 的取值应
在取值范围内．
解 （1）由题意，得 )0(16
1 2 CCS ．
列表：http://www.x kb1.com
描点、连线，图象如
图 26．2．2．
（2）根据图象得 S=1
cm2 时，正方形的周
长是 4cm．
（3）根据图象得，
当 C≥8cm 时，S≥4
cm2．
注意点：
（1）此图象原点处为空心点．
（2）横轴、纵轴字母应为题中的字母 C、S，不要习惯
地写成 x、y．
（3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分．
2 4 6 8 …
…
小结与作
业
课堂小结：
通过本节课的学习你有哪些收获？
课堂作业：
课本 P4 习题 1～4
家庭作业：
《数学同步导学九下》P4 随堂演练
教学后记：天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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教学内容 26．2 二次函数的图象与性质（2） 本节共需 7 课时
本课为第 2 课时 主备人：
教学目标 会画出 kaxy 2 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．
教学重点 通过画图得出二次函数性质
教学难点 识图能力的培养
教具准备 投影仪，胶片． 课型 新授课
教学过程 初 备 统 复 备
情境导入
同学们还记得一次函数 xy 2 与 12 xy 的图
象的关系吗？
你能由此推测二次函数 2xy 与 12 xy 的图象之
间 的关 系 吗？ ， 那么 2xy 与
22 xy 的 图 象 之 间 又 有 何 关
系？ ．天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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实践与
探索 1
例 1．在同一直角坐标系中，画出函数 22xy 与
22 2 xy 的图象．
解 列表．
描点、连线，画出这两个函数的图象，如图 26．2．3
所示．
回顾与反思： 当自变量 x 取同一数值时，这两个
函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的
两个点之间的位置又有什么关系？
探索 观察这两个函数，
它们的开口方向、对称轴
和顶点坐标有那些是相
同
的？又有哪些不同？你
能 由 此 说 出 函 数
22xy 与
22 2 xy 的图象之间
的关系吗？
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
22xy … 18 8 2 0 2 8 18 …
22 2 xy … 20 10 4 2 4 10 20 …
实践与
探索 2
例 2．在同一直角坐标系中，画出函数 12 xy 与
12 xy 的图象，并说明，通过怎样的平移，可以
由抛物线 12 xy 得到抛物线 12 xy ．
回 顾 与 反 思 抛 物 线 12 xy 和 抛 物 线
12 xy 分别是由抛物线 2xy 向上、向下平移
一个单位得到的．
探索 如果要得到抛物线 42 xy ，应将抛物线
12 xy 作怎样的平移？
新 课 标第 一 网天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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小结
与作业
课堂小结：
本节课你的收获有哪些？（函数 kaxy 2 与
2axy 图像的关系。）
课堂作业：
一条抛物线的开口方向、对称轴与 2
2
1 xy 相同，
顶点纵坐标是-2，且抛物线经过点（1，1），求这条抛物
线的函数关系式．
家庭作业：
《数学同步导学九下》P7 随堂演练
教学后记：
教学内容 26．2 二次函数的图象与性质（3） 本节共需 7 课时
本课为第 3 课时 主备人：
教学目标 会画出 2)( hxay 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．．
教学重点 通过画图得出二次函数性质
教学难点 识图能力的培养
教具准备 投影仪，胶片． 课型 新授课天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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教学过程 初 备 统 复 备
情境导入
我们已经了解到，函数 kaxy 2 的图象，可以由函
数 2axy 的图象上下平移所得，那么函数 2)2(2
1 xy
的图象，是否也可以由函数 2
2
1 xy 平移而得呢？画图试
一试，你能从中发现什么规律吗？
实践与
探索 1
例 1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．
2
2
1 xy ， 2)2(2
1 xy ， 2)2(2
1 xy ，并指出它们
的开口方向、对称轴和顶点坐标．
解 列表．
描点、连线，画出这三个函数的图象，如图 26．2．5 所示．
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
2
2
1 xy …
2
9 2 2
1
0
2
1 2
2
9 …
2)2(2
1 xy …
2
1 0 2
1
2 2
25
8 2
25
…
2)2(2
1 xy … 2
25
8 2
9 2
2
1 0
2
1 …天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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它们的开口方向都向上；对称轴分别是 y 轴、直线 x= -2 和
直线 x=2；顶点坐标分别是
（0，0），（-2，0），（2，0）．
探索 抛物线 2)2(2
1 xy 和抛物线 2)2(2
1 xy 分别
是由抛物线 2
2
1 xy 向左、向右平移两个单位得到的．如
果要得到抛物线 2)4(2
1 xy ，应将抛物线 2
2
1 xy 作怎
样的平移？w W w .x K b 1.c o M
实践与
探索 2
1．画图填空：抛物线 2)1( xy 的开口 ，对称轴
是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物
线 2xy 向 平移 个单位得到的．
2．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．
22xy ， 2)3(2 xy ， 2)3(2 xy ，并指出它
们的开口方向、对称轴和顶点坐标．
小结
与作业
回顾与反思 ：
1、二次函数 2)2(2
1 xy 与 2
2
1 xy 图像之间的关系。
2、对于抛物线 2)2(2
1 xy ，当 x 时，函数值
y 随 x 的增大而减小；当 x 时，函数值 y 随 x 的增大
而增大；当 x 时，函数取得最 值，最 值
y= ．
课堂作业
1．不画出图象，请你说明抛物线 25xy 与 2)4(5 xy 之
间的关系．
2．将抛物线 2axy 向左平移后所得新抛物线的顶点横坐
标为 -2，且新抛物线经过点
（1，3），求 a 的值．
家庭作业：
《数学同步导学九下》P9 随堂演练
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教学内容 26．2 二次函数的图象与性质（4） 本节共需 7 课时
本课为第 4 课时 主备人：
教学目标
1．掌握把抛物线 2axy 平移至 2)( hxay +k 的规律；
2．会画出 2)( hxay +k 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性
质．
教学重点 通过画图得出二次函数性质
教学难点 识图能力的培养
教具准备 投影仪，胶片． 课型 新授课
教学过程 初 备 统复备
情境导入
由前面的知识，我们知道，函数 22xy 的图象，向
上平移 2 个单位，可以得到函数 22 2 xy 的图象；函
数 22xy 的图象，向右平移 3 个单位，可以得到函数
2)3(2 xy 的图象，那么函数 22xy 的图象，如何平
移，才能得到函数 2)3(2 2 xy 的图象呢？
实践与
探索 1
例 1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．
2
2
1 xy ， 2)1(2
1 xy ， 2)1(2
1 2 xy ，并指出
它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．
解 （1）列表：略
（2）描点：
（3）连线，画出这三个函数的图象，如图 26．2．6
所示．
观察：
它 们 的 开 口 方 向 都 向 ， 对 称 轴 分 别
为 、 、 ，顶点坐标分别
为 、 、 ．
请同学们完成填空，并观察三个图象之间的关系．天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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探索 你能说出函数 2)( hxay +k（a、h、k 是常数，
a≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？
实践与
探索 2
填表：
2)( hxay +k
开口方向 对称轴 顶点坐标
0a
0a
小结
与作业
回顾与反思：
二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数
2)( hxay +k 中 k 的值；左右平移，只影响 h 的值，
抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，
确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象
的平移与平移的顺序无关．
课堂作业：
把抛物线 cbxxy 2 向上平移 2 个单位，再向左
平移 4 个单位，得到抛物线 2xy ，求 b、c 的值．
家庭作业：
《数学同步导学九下》P12 随堂演练
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教学内容 26．2 二次函数的图象与性质（5） 本节共需 7 课时
本课为第 5 课时 主备人：
教学目标
1．能通过配方把二次函数 cbxaxy 2 化成 2)( hxay +k 的形式，从
而确定开口方向、对称轴和顶点坐标；
2．会利用对称性画出二次函数的图象．
教学重点 通过画图得出二次函数性质
教学难点 识图能力的培养、配方法
教具准备 多媒体课件 （几何画板 4.06） 课型 新授课
教学过程 初 备 统 复 备
情境导入
由前面的知识，我们知道，函数 22xy 的图象，
向上平移 2 个单位，可以得到函数 22 2 xy 的图象；
函数 22xy 的图象，向右平移 3 个单位，可以得到函
数 2)3(2 xy 的图象，那么函数 22xy 的图象，如
何平移，才能得到函数 2)3(2 2 xy 的图象呢？
实践与
探索 1
例 1．通过配方，确定抛
物线 642 2 xxy
的开口方向、对称轴和顶
点坐标，再描点画图．
解 642 2 xxy
8)1(2
61)1(2
6)112(2
6)2(2
2
2
2
2
x
x
xx
xx
因此，抛物线开口向下，对称轴是直线 x=1，顶点坐标
为（1，8）．
由对称性列表：
注意点： （1）列表时选值，应以对称轴 x=1 为中心，
函数值可由对称性得到；（2）描点画图时，要根据已知
抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，
然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点．天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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探索： 对于二次函数 cbxaxy 2 ，你能用配方
法求出它的对称轴和顶点坐标吗？
实践与
探索 2
例 2．已知抛物线 9)2(2 xaxy 的顶点在坐标
轴上，求 a的值．
分析 顶点在坐标轴上有两种可能：（1）顶点在 x 轴上，
则顶点的纵坐标等于 0；（2）顶点在 y 轴上，则顶点的
横坐标等于 0．
小结
与作业
回顾与反思：
二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数
2)( hxay +k 中 k 的值；左右平移，只影响 h 的值，
抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改
变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，
图象的平移与平移的顺序无关．
课堂作业：
1．当 0a 时，求抛物线 22 212 aaxxy 的
顶点所在的象限．
2. 已知抛物线 hxxy 42 的顶点 A 在直线
14 xy 上，求抛物线的顶点坐标．
家庭作业：
《数学同步导学九下》P14 随堂演练
教学后记新 课 标 第 一 网天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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教学内容 26．2 二次函数的图象与性质（6） 本节共需 7 课时
本课为第 6 课时 主备人：
教学目标
1．会通过配方求出二次函数 )0(2 acbxaxy 的最大或最小值；
2．在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性
质求实际问题中的最大或最小值．
教学重点 会通过配方求出二次函数 )0(2 acbxaxy 的最大或最小值；
教学难点 在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质
求实际问题中的最大或最小值．
教具准备 投影仪，胶片． 课型 新授课
教学过程 初 备 统 复 备
情境导入
在实际生活中，我们常常会碰到一些带有“最”字的
问题，如问题：某商店将每件进价为 80 元的某种商品按
每件 100 元出售，一天可销出约 100 件．该店想通过降低
售价、增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查，发
现这种商品单价每降低 1 元，其销售量可增加约 10 件．将
这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？
在这个问题中，设每件商品降价 x 元，该商品每天的
利 润 为 y 元 ， 则 可 得 函 数 关 系 式 为 二 次 函 数
200010010 2 xxy ．那么，此问题可归结为：自
变量 x 为何值时函数 y 取得最大值？你能解决吗?
实践与
探索 1
例 1．求下列函数的最大值或最小值．
（1） 532 2 xxy ；
（2） 432 xxy ．
分析 由于函数 532 2 xxy 和 432 xxy 的
自变量 x 的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图
象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小
值．可通过配方法实现。X k B 1 . c o m
（解：（1）二次函数 532 2 xxy
当
4
3x 时，函数 532 2 xxy 有最小值是
8
49 ．
（2）二次函数 432 xxy
当
2
3x 时，函数 432 xxy 有最大值是
4
25 ）
探索 试一试，当 2．5≤x≤3．5 时，求二次函数
322 xxy 的最大值或最小值．天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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实践与
探索 2
例 2．某产品每件成本是 120 元，试销阶段每件产品的销
售价 x（元）与产品的日销售量 y（件）之间关系如下表：
x（元） 130 150
y（件） 70 50
若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数，要获得最大销售利
润，每件产品的销售价定为多少元？此时每日销售利润是
多少？
分析 日销售利润=日销售量×每件产品的利润，因此主
要是正确表示出这两个量．
小结
与作业
回顾与反思
最大值或最小值的求法，第一步确定 a 的符号，a＞0
有最小值，a＜0 有最大值；第二步配方求顶点，顶点的
纵坐标即为对应的最大值或最小值．
课堂作业：
如图 26．2．8，在 Rt⊿ABC 中，∠C=90°，BC=4，
AC=8，点 D 在斜边 AB 上，分别作 DE⊥AC，DF⊥BC，
垂足分别为 E、F，得四边形 DECF，
设 DE=x，DF=y．
（1）用含 y 的代数式表示 AE；
（2）求 y 与 x 之间的函数关系式，
并求出 x 的取值范围；
（3）设四边形 DECF 的面积为 S，
求 S 与 x 之间的函数关系，并求出
S 的最大值．
家庭作业：
《数学同步导学九下》P18 随堂演练
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教学内容 26 . 2 二次函数的图象与性质（7） 本节共需 7 课时
本课为第 7 课时 主备人：
教学目标 会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式
教学重点 会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式
教学难点 在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性
质求实际问题中的实际问题
教具准备 投影仪，胶片． 课型 新授课
教学过程 初 备 统 复 备
情境导入
一般地，函数关系式中有几个独立的系数，那么就需
要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式．例如：我
们在确定一次函数 )0( kbkxy 的关系式时，通常需
要两个独立的条件：确定反比例函数 )0( kx
ky 的关
系式时，通常只需要一个条件：如果要确定二次函数
)0(2 acbxaxy 的关系式，又需要几个条件呢？天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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实践与
探索 1
例 1．某涵洞是抛物线形，它的截面如图 26．2．9 所示，
现测得水面宽 1．6m，涵洞顶点 O 到水面的距离为 2．4m，
在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是
什么？
分析 如图，以 AB 的垂直平分线
为 y 轴，以过点 O 的 y 轴的垂线
为 x 轴，建立了直角坐标系．这时，
涵洞所在的抛物线的顶点在原点，
对称轴是 y 轴，开口向下，所以可
设 它 的 函 数 关 系 式 是
)0(2 aaxy ．此时只需抛物线
上的一个点就能求出抛物线的函
数关系式
由题意，得点 B 的坐标为（0．8，-2．4），
又 因 为 点 B 在 抛 物 线 上 ， 将 它 的 坐 标 代 入
)0(2 aaxy ，得
28.04.2 a
所以
4
15a ．
因此，函数关系式是 2
4
15 xy ．天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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实践与
探索 2
例 2．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．
（1）已知二次函数的图象经过点 A（0，-1）、B（1，0）、
C（-1，2）；
（2）已知抛物线的顶点为（1，-3），且与 y 轴交于点（0，
1）；
（3）已知抛物线与 x 轴交于点 M（-3，0）、（5，0），且
与 y 轴交于点（0，-3）；
（4）已知抛物线的顶点为（3，-2），且与 x 轴两交点间
的距离为 4．
分析 （1）根据二次函数的图象经过三个已知点，可设
函数关系式为 cbxaxy 2 的形式；（2）根据已知抛
物线的顶点坐标，可设函数关系式为 3)1( 2 xay ，
再根据抛物线与 y 轴的交点可求出 a 的值；（3）根据抛物
线 与 x 轴 的 两 个 交 点 的 坐 标 ， 可 设 函 数 关 系 式 为
)5)(3( xxay ，再根据抛物线与 y 轴的交点可求出
a 的值；（4）根据已知抛物线的顶点坐标（3，-2），可设
函数关系式为 2)3( 2 xay ，同时可知抛物线的对称
轴为 x=3，再由与 x 轴两交点间的距离为 4，可得抛物线
与 x 轴的两个交点为（1，0）和（5，0），任选一个代入
2)3( 2 xay ，即可求出 a 的值．
小结
与作业
回顾与反思：
确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在
选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中
的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设
如下三种形式：
（1）一般式： )0(2 acbxaxy ，给出三点坐标
可利用此式来求．
（2）顶点式： )0()( 2 akhxay ，给出两点，且
其中一点为顶点时可利用此式来求．
课堂作业：
根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．
(1)已知二次函数的图象经过点（0，2）、（1，1）、（3，5）；
（2）已知抛物线的顶点为（-1，2），且过点（2，1）；
（3）已知抛物线与 x 轴交于点 M（-1，0）、（2，0），且
经过点（1，2）．
家庭作业：《数学同步导学九下》P21 随堂演练
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教学内容 26 . 3 实践与探索（1） 本节共需 4 课时
本课为第 1 课时 主备人：
教学目标 会结合二次函数的图象分析问题、解决问题，在运用中体会二次函数的实际
意义．
教学重点 会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式
教学难点 在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性
质求实际问题中的实际问题
教具准备 投影仪，胶片． 课型 新授课
教学过程 初备 统复备
情境导入
生活中，我们会遇到与二次函数及其图象有关的问
题，比如在 2004 雅典奥运会的赛场上，很多项目，如
跳水、铅球、篮球、足球、排球等都与二次函数及其图
象息息相关．你知道二次函数在生活中的其它方面的运
用吗？天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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实践与
探索 1
例 1．如图 26．3．1，一位运动员推铅球，铅球行进高
度 y （ m ） 与 水 平 距 离 x （ m ） 之 间 的 关 系 是
3
5
3
2
12
1 2 xxy ，问此运动员把铅球推出多远？
解 如图，铅球落在 x 轴上，则 y=0，
因此， 03
5
3
2
12
1 2 xx ．
解方程，得 2,10 21 xx （不合题意，舍去）．
所以，此运动员把铅球推出了 10 米．
探索 此题根据已知条件求出了运动员把铅球推出的
实际距离，如果创设另外一个问题情境：一个运动员推
铅球，铅球刚出手时离地面
3
5 m，铅球落地点距铅球刚
出手时相应的地面上的点 10m，铅球运行中最高点离地
面 3m，已知铅球走过的路线是抛物线，求它的函数关
系式．你能解决吗？试一试．天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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实践与
探索 2
例 2．如图 26．3．2，公园要建造圆形的喷水池，在水
池中央垂直于水面处安装一个柱子 OA，水流在各个方
向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂
亮，要求设计成水流在离 OA 距离为 1m 处达到距水面
最大高度 2．25m．X|k |B| 1 . c| O |m
（1）若不计其他因素，那么
水池的半径至少要多少米，
才能使喷出的水流不致落到
池外？
（2）若水流喷出的抛物线形
状与（1）相同，水池的半径
为 3．5m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应
达多少米？（精确到 0．1m）
分析 这是一个运用抛物线的
有关知识解决实际问题的应用
题，首先必须将水流抛物线放
在直角坐标系中，如图 26．3．3，
我们可以求出抛物线的函数关
系式，再利用抛物线的性质即
可解决问题．
小结
与作业
回顾与反思
确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，
在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题
目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系
式可设如下三种形式：
（1）一般式： )0(2 acbxaxy ，给出三点坐
标可利用此式来求．
（2）顶点式： )0()( 2 akhxay ，给出两点，
且其中一点为顶点时可利用此式来求．
课堂作业：
在一场篮球赛中，队员甲跳起投篮，当球出手时离
地高 2．5 米，与球圈中心的水平距离为 7 米，当球出
手水平距离为 4 米时到达最大高度 4 米．设篮球运行轨
迹为抛物线，球圈距地面 3 米，问此球是否投中？
家庭作业：《数学同步导学九下》P24 随堂演练
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教学内容 26 . 3 实践与探索（2） 本节共需 4 课时
本课为第 2 课时 主备人：
教学目标 让学生进一步体验把实际问题转化为有关二次函数知识的过程．学会用数学的
意识
教学重点 会根据不同的条件，利用二次函数解决生活中的实际问题
教学难点 在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质
求实际问题中的实际问题
教具准备 投影仪，胶片． 课型 新授课
教学过程 初 备 统 复 备
情境导入
二次函数的有关知识在经济生活中的应用更为广阔，
我们来看这样一个生活中常见的问题：某广告公司设计一
幅周长为 12 米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米
1000 元，设矩形一边长为 x 米，面积为 S 平方米．请你
设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用．你
能解决它吗？类似的问题，我们都可以通过建立二次函数
的数学模型来解决．
实践与
探索 1
例 1．某化工材料经销公司购进了一种化工原料共 7000
千克，购进价格为每千克 30 元。物价部门规定其销售单
价不得高于每千克 70 元，也不得低于 30 元。市场调查发
现：单价定为 70 元时，日均销售 60 千克；单价每降低 1
元，日均多售出 2 千克。在销售过程中，每天还要支出其
他费用 500 元（天数不足一天时，按整天计算）。设销售
单价为 x 元，日均获利为 y 元。
（1）求 y 关于 x 的二次函数关系式，并注明 x 的取值范
围；新|课 |标| 第 |一| 网
（ 2 ） 将 （ 1 ） 中 所 求 出 的 二 次 函 数 配 方 成
a
bac
a
bxay 4
4)2(
2
2 的形式，写出顶点坐标；在
直角坐标系画出草图；观察图象，指出单价定为多少元时
日均获利最多，是多少？
分析 若销售单价为 x 元，则每千克降低（70-x）元，日
均多售出 2（70-x）千克，日均销售量为[60+2（70-x）]
千克，每千克获利为（x-30）元，从而可列出函数关系式。
略解：
y 65002602 2 xx 1950)65(2 2 x 。
顶点坐标为（65，1950）。二次函数草图略。
经观察可知，当单价定为 65 元时，日均获利最多，是 1950
元。天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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实践与
探索 2
例 2。某公司生产的某种产品，它的成本是 2 元，售价是
3 元，年销售量为 100 万件．为了获得更好的效益，公司
准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告
费是 x（十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的 y
倍，且 y 是 x 的二次函数，它们的关系如下表：
X（十万元） 0 1 2 …
y 1 1．5 1．8 …
（1）求 y 与 x 的函数关系式；
（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，
试写出年利润 S（十万元）与广告费 x（十万元）的函数
关系式；
（3）如果投入的年广告费为 10～30 万元，问广告费在什
么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？
解 （1）设二次函数关系式为 cbxaxy 2 。
由表中数据，得
8.124
5.1
1
cba
cba
c
。
解 得
1
5
3
10
1
c
b
a 。 所 以 所 求 二 次 函 数 关 系 式 为
15
3
10
1 2 xxy
（2）根据题意，得 105)23(10 2 xxxyS 。
（3）
4
65)2
5(105 22 xxxS 。由于 1≤x
≤3，所以当 1≤x≤2。5 时，S 随 x 的增大而增大。．
小结
与作业
回顾与反思：
（数学应用意识问题以及将实际问题转化为数学问题
时，应该注意的事项等。）
课堂作业：
某旅社有客房 120 间，当每间房的日租金为 50 元时，
每天都客满，旅社装修后，要提高租金，经市场调查，如
果一间客房日租金增加 5 元，则客房每天出租数会减少 6
间，不考虑其他因素，旅社将每间客房日租金提高到多少
元时，客房的总收入最大？比装修前客房日租金总收入增
加多少元？
家庭作业：《数学同步导学九下》P27 随堂演练
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教学内容 26 . 3 实践与探索（3） 本节共需 4 课时
本课为第 3 课时 主备人：
教学目标
（1）会求出二次函数 cbxaxy 2 与坐标轴的交点坐标；
（2）了解二次函数 cbxaxy 2 与一元二次方程、一元二次不等式之间
的关系．
教学重点
（1）会求出二次函数 cbxaxy 2 与坐标轴的交点坐标；
（2）了解二次函数 cbxaxy 2 与一元二次方程、一元二次不等式之间
的关系．
教学难点 了解二次函数 cbxaxy 2 与一元二次方程、一元二次不等式之间的关
系．
教具准备 投影仪，胶片． 课型 新授课
教学过程 初 备 统 复 备天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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情境导入
给出三个二次函数：（1） 232 xxy ；（2）
12 xxy ；（3） 122 xxy ．
它们的图象分别为新 -课
-标-第- 一-网
观察图象与 x 轴的交点
个数，分别是 个、 个、
个．你知道图象与 x 轴的交点
个数与什么有关吗？
另 外 ， 能 否 利 用 二 次 函 数
cbxaxy 2 的图象寻找
方 程 )0(02 acbxax ， 不 等 式
)0(02 acbxax 或 )0(02 acbxax 的
解？天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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实践与
探索 1
例 1．画出函数 322 xxy 的图象，根据图象回答
下列问题．
（1）图象与 x 轴、y 轴的交点坐标分别是什么？
（2）当 x 取何值时，y=0 ？这里 x 的取值与方程
0322 xx 有什么关系？
（3）x 取什么值时，函数值 y 大于 0？x 取什么值时，
函数值 y 小于 0？
解 图象如图 26．3．4，
（1）图象与 x 轴的交点坐标为（-1，
0）、（3，0），与 y 轴的交点坐标为
（0，-3）．
（2）当 x= -1 或 x=3 时，y=0，x
的取值与方程 0322 xx 的
解相同．
（3）当 x＜-1 或 x＞3 时，y＞0；
当 -1＜x＜3 时，y＜0．
例 2．（1）已知抛物线 324)1(2 2 kkxxky ，
当 k= 时，抛物线与 x 轴相交于两点．
（2）已知二次函数 232)1( 2 aaxxay 的图
象的最低点在 x 轴上，则 a= ．
（3）已知抛物线 23)1(2 kxkxy 与 x 轴交于
两点 A（α，0），B（β，0），且 1722 ，则 k
的值是 ．
分析 （1）抛物线 324)1(2 2 kkxxky 与 x
轴 相 交 于 两 点 ， 相 当 于 方 程
0324)1(2 2 kkxxk 有两个不相等的实数根，
即根的判别式⊿＞0．
（2）二次函数 232)1( 2 aaxxay 的图象的
最 低 点 在 x 轴 上 ， 也 就 是 说 ， 方 程
0232)1( 2 aaxxa 的两个实数根相等，即⊿
=0．
（3）已知抛物线 23)1(2 kxkxy 与 x 轴交于
两点 A （α， 0），B（β ，0），即α 、β是方 程
023)1(2 kxkx 的 两 个 根 ， 又 由 于
1722 ，以及 2)( 222 ，利
用根与系数的关系即可得到结果．天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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实践与
探索 2
例 3．已知二次函数 1)2(2 mxmxy ，
（1）试说明：不论 m 取任何实数，这个二次函数的图
象必与 x 轴有两个交点；
（2）m 为何值时，这两个交点都在原点的左侧？
（3）m 为何值时，这个二次函数的图象的对称轴是 y
轴？
分析：（1）要说明不论 m 取任何实数，二次函数
1)2(2 mxmxy 的图象必与 x 轴有两个交
点，只要说明方程 01)2(2 mxmx 有两个
不相等的实数根，即⊿＞0．w W w .X k b 1.c O m
（ 2 ） 两 个 交 点 都 在 原 点 的 左 侧 ， 也 就 是 方 程
01)2(2 mxmx 有两个负实数根，因而必
须符合条件①⊿＞0，② 021 xx ，③ 021 xx ．综
合以上条件，可解得所求 m 的值的范围．
（3）二次函数的图象的对称轴是 y 轴，说明方程
01)2(2 mxmx 有一正一负两个实数根，
且两根互为相反数，因而必须符合条件①⊿＞0，②
021 xx ．
小结
与作业
回顾与反思
（1）二次函数图象与 x 轴的交点问题常通过一元二次
方程的根的问题来解决；反过来，一元二次方程的根的
问题，又常用二次函数的图象来解决．
（2）利用函数的图象能更好地求不等式的解集，先观
察图象，找出抛物线与 x 轴的交点，再根据交点的坐标
写出不等式的解集．
课堂作业：
1、函数 mxmxy 22 （m 是常数）的图象与 x 轴
的交点有 （ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．1
个或 2 个
2 已知二次函数 22 aaxxy ．
（1）说明抛物线 22 aaxxy 与 x 轴有两个不
同交点；
（2）求这两个交点间的距离（关于 a 的表达式）；
（3）a 取何值时，两点间的距离最小？
家庭作业：《数学同步导学九下》P31 随堂演练
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教学内容 26 . 3 实践与探索（4） 本节共需 4 课时
本课为第 4 课时 主备人：
教学目标 掌握一元二次方程及二元二次方程组的图象解法．
教学重点 一元二次方程及二元二次方程组的图象解法
教学难点 一元二次方程及二元二次方程组的图象解法
教具准备 投影仪，胶片． 课型 新授课
教学过程 初 备 统 复 备
情境导入
上节课的作业第 5 题：画图求方程 22 xx 的
解，你是如何解决的呢？我们来看一看两位同学不同的
方法．
甲 ：将 方程 22 xx 化 为 022 xx ， 画出
22 xxy 的图象，观察它与 x 轴的交点，得出方
程的解．
乙：分别画出函数 2xy 和 2 xy 的图象，观察
它们的交点，把交点的横坐标作为方程的解．
你对这两种解法有什么看法？请与你的同学交流．
实践与
探索 1
例 1．利用函数的图象，求下列方程的解：
（1） 0322 xx ；
（2） 0252 2 xx ．
分析 上面甲乙两位同学的解法都是可行的，但乙的方
法要来得简便，因为画抛物线远比画直线困难，所以只
要事先画好一条抛物线 2xy 的图象，再根据待解的方
程，画出相应的直线，交点
的横坐标即为方程的解．
解 （1）在同一直角坐标系
中画出
函 数 2xy 和 32 xy
的图象，
如图 26．3．5，
得到它们的交点（-3，9）、（1，
1），
则方程 0322 xx 的解
为 –3，1．
（2）解题略天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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实践与
探索 2
例 2．利用函数的图象，求下列方程组的解：
(1)
2
2
3
2
1
xy
xy ；
（2）
xxy
xy
2
63
2
．
分析 （1）可以通过直接画
出 函 数
2
3
2
1 xy 和
2xy 的图象，得到它们的
交点，从而得到方程组的解；
（2）也可以同样解决．当 1
≤x≤2。5 时，S 随 x 的增大
而增大。．
小结
与作业
回顾与反思：
一般地，求一元二次方程 )0(02 acbxax
的 近 似 解 时 ， 可 先 将 方 程 02 cbxax 化 为
02
a
cxa
bx ， 然 后 分 别 画 出 函 数 2xy 和
a
cxa
by 的图象，得出交点，交点的横坐标即为
方程的解．
课堂作业：
1．利用函数的图象，求下列方程的解：
（1） 012
32 xx （2）
03
1
3
2 2 xx
2．利用函数的图象，求下列方程组的解：
（1）
5)1( 2xy
xy ； （2）
xxy
xy
2
6
2
．
家庭作业：X k B 1 . c o m
《数学同步导学九下》P34 随堂演练
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教学内容 第二十六章小结与复习 本节共需 2 课时
本课为第 1 课时 主备人：
教学目标
1）能结合实例说出二次函数的意义。
（2）能写出实际问题中的二次函数的关系式，会画出它的图象，说出它的性
质。
（3）掌握二次函数的平移规律。
（4）会通过配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标和最值。
（5）会用待定系数法灵活求出二次函数关系式。
（6）熟悉二次函数与一元二次方程及方程组的关系。
（7）会用二次函数的有关知识解决实际生活中的问题
教学重点 能写出实际问题中的二次函数的关系式，会画出它的图象，说出它的性质。
会通过配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标和最值
教学难点 会通过配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标和最值会用二次函数
的有关知识解决实际生活中的问题
教具准备 投影仪，胶片． 课型 复习课
教学过程 初 备 统 复 备
复习建构
一、知识结构：
二、注意事项：
在学习二次函数时，要注重数形结合的思想方法。在二次
函数图象的平移变化中，在用待定系数法求二次函数关系
式的过程中，在利用二次函数图象求解方程与方程组时，
都体现了数形结合的思想。
复习题组
1．已知函数 mmmxy 2
，当 m= 时，它是二次
函数；当 m= 时，抛物线的开口向上；当 m=
时，抛物线上所有点的纵坐标为非正数．
2．抛物线 2axy 经过点（3，-1），则抛物线的函数关系
式为 ．
3．抛物线 9)1( 22 kxky ，开口向下，且经过原
点，则 k= ．
4．点 A（-2，a）是抛物线 2xy 上的一点，则 a= ；
A 点关于原点的对称点 B 是 ；A 点关于 y 轴的
对称点 C 是 ；其中点 B、点 C 在抛物线 2xy
上的是 ．天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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5．若二次函数 cbxxy 2 的图象经过点（2，0）和
点（0，1），则函数关系式为 ．
典例探究
例 1 某商场以每件 30 元的价格购进一种商品，试销中发
现，这种商品每天的销售量 m（件）与每件的销售价 x（元）
满足一次函数：m=162-3x．
（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润 y 与每件的销
售价 x 间的函数关系式；
（2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品
的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？
例 2 阅读下面的文字后，解答问题．
有这样一道题目：“已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象
经过点 A(0,a) 、B(1,-2)、 、 ，求证：
这个二次函数图象的对称轴是直线 x=2．”题目中的矩形
框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字．
（1）根据现有信息，你能否求出题目中二次函数的解析
式? 若能，写出求解过程，若不能请说明理由；
（2）请你根据已有信息，在原题中的矩形框内，填上一
个适当的条件，把原题补充完整
小结
与作业
课堂小结：
谈一下学习本章应该注意的问题有那些？
课堂作业：
1 已知二次函数 12 bxxy 的图象经过点（3，2）。
（1）求这个二次函数的关系式；
（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；
（3）当 x＞0 时，求使 y≥2 的 x 的取值范围。
2 已知抛物线 taxaxy 42 与 x 轴的一个交点为 A
（-1，0）。
（1）求抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标；
（2）D 是抛物线与 y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，
且以 AB 为一底的梯形 ABCD 的面积为 9，求此抛物线的
函数关系式。
家庭作业：《数学同步导学九下》P37 训练巩固
教学后记
第 28 章 圆天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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28.1.1 圆的基本元素
教学目标：使学生理解圆、等圆、等弧、圆心角等概念，让学生深刻认识圆中的基本概念。
重点难点： 1、重点：圆中的基本概念的认识。2、难点：对等弧概念的理解。
教学过程：
一、圆是如何形成的？
请同学们画一个圆，并从画圆的过程中阐述圆是如何形成的。
如右图，线段 OA 绕着它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 随之旋转所形成
的图形。同学们想一想，如何在操场上画出一个很大的圆？说说你的方法。
由以上的画圆和解答问题的过程中，让同学们思考圆的位置是由什么决定的？而大小
又是由谁决定的？（圆的位置由圆心决定，圆的大小由半径长度决定）
二、圆的基本元素
问题：据统计，某个学校的同学上学方式是，有50% 的同学步行上学，有 20% 的同
学坐公共汽车上学，其他方式上学的同学有30% ，请你用扇形统计图反映这个学校学生的
上学方式。
我们是用圆规画出一个圆，再将圆划分成一个个扇形，右上图 28.1.1 就是反映学校学生
上学方式的扇子形统计图。新 课 标 第 一 网
如图 28.1.2,线段 OA、OB、OC 都是圆的半径，线段 AB 为直径，.这个以点 O 为圆心的圆叫
作“圆 O”，记为“⊙O”。线段 AB、BC、AC 都是圆 O 中的弦，曲线 BC、BAC 都是圆中的弧，
分别记为
︵
BC 、
︵
BAC ，其中像弧
︵
BC 这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧，像弧
︵
BAC 这样的大于
半圆周的圆弧叫做优弧。
∠AOB、∠AOC、∠BOC 就是圆心角。
结合上面的扇形统计图，进一步阐述圆心角、优弧、劣弧等圆中的基本元素。
三、课堂练习： 1、直径是弦吗？弦是直径吗？ 2、半圆是弧吗？弧是半圆吗？
3、半径相等的两个圆是等圆，而两段弧相等需要什么条件呢？
4、说出右图中的圆心解、优弧、劣弧。 5、直径是圆中最长的弦吗？为什么？
四、小结：本节课我们认识了圆中的一些元素，同学应能从具体的图形中对这些元素加以
识别。
五、作业： 1、如图，AB 是⊙O 的直径，C 点在⊙O 上，那么，哪一段弧是优弧，哪一段
弧是劣弧？
2、经过 A、B 两点的圆的几个？它们的圆心都在哪里？
3、长方形的四个顶点在以 为圆心，以 为半径的圆上。
4、如图，已知 AB 是⊙O 的直径，AC 为弦，OD∥BC，交 AC 于 D， 6BC cm ，求 OD
的长。
5、已知：如图，OA、OB 为⊙O 的半径，C、D 分别为 OA、OB 的中点，试说明 AD=BC。
A
O
图 23.1.1
C
B
A
O
第1题
C
B
A
O
D
第4题
C
B
A
O
(第3题)
O
B
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28.1.2 圆的对称性
教学目标：使学生知道圆是中心对称图形和轴对称图形,并能运用其特有的性质推出在同
一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系，能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验
中获取知识的科学的方法。
重点难点： 1、重点：由实验得到同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系。
2、难点：运用同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系解决问题。
教学过程：
一、由问题引入新课：要同学们画两个等圆，并把其中一个圆剪下，让两个圆的圆心重
合，使得其中一个圆绕着圆心旋转，可以发现，两个圆都是互相重合的。如果沿着任意一
条直径所在的直线折叠，圆在这条直线两旁的部分会完全重合。
由以上实验，同学们发现圆是中心对称图形吗？对称中心是哪一点？圆不仅是中心
对称圆形，而且还是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是圆的对称轴。
二、新课
1、同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等。
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
实验 1、将图形 28.1.3 中的扇形 AOB 绕点 O 逆时针旋转某个角度，得到图 28.1.4 中的图
形，同学们可以通过比较前后两个图形，发现 AOB AOB ， AB AB ，。AB=AB
实质上， AOB 确定了扇形 AOB 的大小，所以，在同一个圆中，如果圆心角相等，
那么它所对的弧相等，所对的弦相等。
问题：在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦是否相等呢？
在同一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角，所对的弧是否相等呢？
实验 2、如图 28.1.7，如果在图形纸片上任意画一条垂直于直径 CD 的弦 AB，
垂足为 P，再将纸片沿着直径 CD 对折，比较 AP 与 PB、
︵
AC 与
︵
CB ，你能发现什么
结论？
显然，如果 CD 是直径，AB 是⊙O 中垂直于直径的弦，那么 AP BP ，AC=BC，
AD=BD。请同学们用一句话加以概括。 （ 垂直于弦的直径平分弦，并且平
分弦所对的两条弧）
2、同一个圆中，圆心角、弧、弦之间的关系的应用。（1）思考：如图，在一个半径为 6
米的圆形花坛里，准备种植六种不同颜色的花卉，要求每种花卉的种植面积相等，请你帮
助设计种植方案。（2）如图 28.1.5，在⊙O 中， AC BC ， 1 45 ，求 2 的度数。
图 23.1.3
图 23.1.4
图23.1.7
O
D
C
B
A
图 23.1.5 天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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3、课堂练习：P38 练习 1、2、3
三、课堂小结
本节课我们通过实验得到了圆不仅是中心对称图形，而且还是轴对称图形，而由圆
的对称性又得出许多圆的许多性质，即（1）同一个圆中，相等的圆心角所对弧相等，所
对的弦相等。（2）在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦相等。（3）
在同一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角，所对的弧相等。（4）垂直于弦的直径平
分弦，并且平分弦所对的两条弧。
四、作业
Ｐ42 习题 28.1 1、2、3、4、5
28.1.3 圆周角
教学目标：使学生知道什么样的角是圆周角，了解圆周角和圆心角的关系，直径所对的圆
周角的特征；并能应用圆心角和圆周角的关系、直径所对的圆周角的特征解决相关问题，
同时，通过对圆心角和圆周角关系的探索，培养学生运用已有知识，进行实验、猜想、论
证，从而得到新知。
重点难点： 1、重点：认识圆周角，同一条弧的圆周角和圆心角的关系，直径所对的圆周
角的特征。
2、难点：发现同一条弧的圆周角和圆心角的关系，利用这个关系进一步得到其他知识，
运用所得到的知识解决问题。
教学过程：
一、认识圆周角
如下图，同学们能找到圆心角吗？它具有什么样的特征？（顶点在圆心，两边与圆
相交的角叫做圆心角），今天我们要学习圆中的另一种特殊的角，它的名称叫做圆周角。
究竟什么样的角是圆周角呢？像图（3）中的解就叫做圆周角，而图（2）、（4）、（5）中
的角都不是圆周角。同学们可以通过讨论归纳如何判断一个角是不是圆周角。（顶点在圆
上，两边与圆相交的角叫做圆周角）练习：试找出图中所有相等的圆周角。
二、圆周角的度数
(5)
(4)
(3)
(2)
(1)
O
B
A
（第 1 题）
图 23.1.9 天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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探究半圆或直径所对的圆周角等于多少度？而 90 的圆周角所对的弦是否是直
径？
如图 28.1.9，线段 AB 是⊙O 的直径，点 C 是⊙O 上任意一点（除点 A、B）， 那 么，
∠ACB 就是直径 AB 所对的圆周角.想想看，∠ACB 会是怎么样的角？为什么呢？
启发学生用量角器量出 ACB 的度数，而后让同学们再画几个直径 AB 所对的 圆
周角，并测量出它们的度数，通过测量，同学们感性认识到直径所对的圆周角等于90（或
直角），进而给出严谨的说明。
证明：因为 OA＝OB＝OC，所以△AOC、△BOC 都是等腰三角形，所以∠OAC＝∠OCA，
∠OBC＝∠OCB. 又 ∠OAC＋∠OBC＋∠ACB＝180°，所以 ∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝
2
180
＝90°.因此，不管点 C 在⊙O 上何处（除点 A、B），∠ACB 总等于 90°，即
半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于 90°（直角）。反过来也是成立的，即 90°的圆
周角所对的弦是圆的直径
三、探究同一条弧所对的圆周角和圆心角的关系
1、分别量一量图 28.1.10 中弧 AB 所对的两个圆周角的度数比较一下. 再变动点 C
在圆周上的位置，看看圆周角的度数有没有变化. 你发现其中有什么规律吗？
（2） 分别量出图 28.1.10 中弧 AB 所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你
发现什么？
我们可以发现，圆周角的度数没有变化. 并且圆周角的度数恰好为同弧所对的圆
心角的度数的一半。
由上述操作可以猜想：在一个圆中，一条弧所对的任意一个圆周角的大小都等于
该弧所对的圆心角的一半。
为了验证这个猜想，如图 28.1.11 所示，可将圆对折，使折痕经过圆心 O 和圆周角的
顶点 C，这时可能出现三种情况：（1） 折痕是圆周角的一条边，（2） 折痕在圆周角的内
部，（3） 折痕在圆周角的外部。
我们来分析一下第一种情况：如图 28.1.11（1），由于 OA＝OC，因此 ∠A＝∠
C，
而∠AOB 是△OAC 的外角，所以 ∠C＝
2
1 ∠AOB.
对（2）、（3），有同样的结论.（让同学们把推导的过程写出来），由以上的猜想和推
导可以得到：
一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半。
思考： 1、在同一个圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等吗？为什么？相等的圆周角所
图 23.1.10
图 23.1.11
D
C
B
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对的弧相等吗，为什么？
2、你能找出右图中相等的圆周角吗？
3、这是一个圆形的零件，你能告诉我，它的圆心的位置吗？你有什么简捷的办法？
w W w .x K b 1.c o M
4、如图，如图 28.1.12，AB 是⊙O 的直径，∠A＝80°．求
∠ABC 的度数．
5、在圆中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为（2x＋100）°和（5x－30）°，求这条
弧所对的圆心角和圆周角的度数.
四、小结
本节课我们一同探究了同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心
角的一半；由这个结论进一步得到：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都
等于该弧所对的圆心角的一半； 相等的圆周角所对的弧相等；半圆或直径所对的圆周
角都相等，都等于 90°（直角）。90°（直角）的圆周角所对的弦是圆的直径等结论，
希望同学们通过复习，记住这些知识，并能做到灵活应用他们解决相关问题。
四、作业:
Ｐ52 习题 28.1 6、7
28.2.1 点与圆的位置关系
教学目标：使学生能够用数量关系来判断点与圆的位置关系,掌握不在一条直线上的三点
确定一个圆,能画出三角形的外接圆,求出特殊三角形的外接圆的半径,渗透方程思想。
重点难点： 1、重点：用数量关系判断点和圆的位置关系,用尺规作三角形的外接圆,求直
角三角形、等边三角形和等腰三角形的半径。2、难点：运用方程思想求等腰三角形的外
接圆半径。
教学过程：
一、用数量关系来判断点和圆的位置关系
同学们看过奥运会的射击比赛吗？射击的靶子是由许多圆组成的，射击的
成绩是由击中靶子不同位置所决定的；右图是一位运动员射击 10 发子弹在靶上留
图 23.1.12 天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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下的痕迹。你知道这个运动员的成绩吗？请同学们算一算。（击中最里面的圆的成绩为 10
环，依次为 9、8、…、1 环）
这一现象体现了平面上的点与圆的位置关系，如何判断点与圆的位置关系呢？我们知道圆
上的所有点到圆心的距离都等于半径，若点在圆上，那么这个点到圆心的距离等于半径，
若点在圆外，那么这个点到圆心的距离大于半径，若点在圆内，那么这个点到圆心的距离
小于半径。
如图 28.2.1，设⊙O 的半径为 r，A 点在圆内，B 点在圆上，C 点在圆外，那
OA＜r， OB＝r， OC＞r．反过来也成立，即
若点 A 在⊙O 内 OA r
若点 A 在⊙O 上 OA r
若点 A 在⊙O 外 OA r
思考与练习
1、⊙O 的半径 5r cm ，圆心 O 到直线的 AB 距离 3d OD cm 。在直线 AB 上有
P、Q、R 三点，且有 4PD cm ， 4QD cm ， 4RD cm 。P、Q、R 三点对于
⊙O 的位置各是怎么样的？
2、 Rt ABC 中， 90C ，CD AB ， 13AB ， 5AC ，对 C 点为圆心，
60
13
为半径的圆与点 A、B、D 的位置关系是怎样的？
二、不在一条直线上的三点确定一个圆
问题与思考：平面上有一点 A，经过 A 点的圆有几个？圆心在哪里？平面上有两点
A、B，经过 A、B 点的圆有几个？圆心在哪里？平面上有三点 A、B、C，经过 A、B、C 三
点的圆有几个？圆心在哪里？。
图 23.2.2
图 23.2.3
从以上的图形可以看到，经过平面上一点的圆有 无数个，这些
圆的圆心分布在整个平面；经过平面上两点的圆也有无数个，这些圆的圆心是在线段 AB
的垂直平分线上。经过 A、B、C 三点能否画圆呢？同学们想一想，画圆的要素是什么？（圆
心确定圆的位置，半径决定圆的大小），所以关键的问题是定其加以和半径。
如图 28.2.4，如果 A、B、C 三点不在一条直线上，那么经过 A、B 两点所画的圆的圆
心在线段 AB 的垂直平分线上，而经过 B、C 两点所画的圆的圆心在线段 BC 的垂直平分线
上，此时，这两条垂直平分线一定相交，设交点为 O，则 OA＝OB＝OC，于是以 O 为圆心，
OA 为半径画圆，便可画出经过 A、B、C 三点的圆．
思考：如果 A、B、C 三点在一条直线上，能画出经过三点的圆吗？为什么？
即有：不在同一条直线上的三个点确定一个圆
也就是说，经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．经过三角形三个顶
点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．这个三角形叫
图 23.2.1
图 23.2.4 天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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做这个圆的内接三角形．三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角
形三个顶点的距离相等。
思考：随意画出四点，其中任何三点都不在同一条直线上，是否一定可以画一个圆经
过这四点？请举例说明。
三、例题讲解
例 1、如图，已知 Rt ABC 中， 90C ，若 5AC cm ， 12BC cm ，求 ABC
的外接圆半径。
例 2、如图，已知等边三角形 ABC 中，边长为 6cm ，求它的外接圆半
径。
例 3、如图，等腰 ABC 中， 13AB AC cm ， 10BC cm ，求 ABC 外接圆
的半径。
四、小结
本节课我们学习了用数量关系判断点和圆的位置关系和不在同一直线上的三点确
定一个圆，求解了特殊三角形直角三角形、等边三角形、等腰三角形的外接圆半径，在
求解等腰三角形外接圆半径时，运用了方程的思想，希望同学们能够掌握这种方法，领
会其思想。
五、作业
Ｐ54 习题 28.2 1、2、3、4
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例1
C
B
A
O
E
D
例2
C
B
A
O
A
D
例3
C
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28.2.2 直线与圆的位置关系
教学目标：使学生掌握直线与圆的位置关系，能用数量来判断直线与圆的位置关系。
重点难点：用数量关系（圆心到直线的距离）判断直线与圆的位置关系即是教学重点又是
教学难点。
教学过程：
一、用移动的观点认识直线与圆的位置关系
1、同学们也许看过海上日出，如右图中，如果我们把太阳看作一个圆，那么
太阳在升起的过程中，它和海平面就有右图中的三种位置关系。
2、请同学在纸上画一条直线，把硬币的边缘看作圆，在纸上移动硬币，你能发现
直线与圆的公共点个数的变化情况吗？公共点个数最少时有几个？最多时有几个？
二、数量关系判断直线与圆的位置关系
从以上的两个例子，可以看到，直线与圆的位置关系只有以下三种，如下图所示：
如果一条直线与一个圆没有公共点，那么就说这条直线与这个圆相离，如图 28.2.6（1）
所示． 如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么就说这条直线与这个圆相切，如图
28.2.6（2）所示．此时这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点．如果一条直线与
一个圆有两个公共点，那么就说这条直线与这个圆相交，如图 28.2.6（3）所示．此
时这条直线叫做圆的割线．
如何用数量来体现圆与直线的位置关系呢？
如上图，设⊙O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d，从图中可以看出：
若 d r 直线 l 与⊙O 相离；
若 d r 直线 l 与⊙O 相切；
若 d r 直线 l 与⊙O 相交；
所以，若要判断圆与直线的位置关系，必须对圆心到直线的距离与圆的半径进行比较
大小，由比较的结果得出结论。
三、练习与例题
练习 1、已知圆的半径等于 5 厘米，圆心到直线 l 的距离是：（1）4 厘米；（2）5 厘米；（3）
6 厘米.直线 l 和圆分别有几个公共点？分别说出直线 l 与圆的位置关系。
图 23.2.6 天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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l
O
A
练习 2、已知圆的半径等于 10 厘米，直线和圆只有一个公共点，求圆心到直线的距离.
练习 3、如果⊙O 的直径为 10 厘米，圆心 O 到直线 AB 的距离为 10 厘米，那么⊙O 与直线
AB 有怎样的位置关系？
例 1、如图，在以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的直径 AB 交小圆于点 C、D，大圆
的弦 EF 与小圆相切于点 C，ED 交小圆于点 G， 设大圆的半径为10cm ， 8EF cm ，求小
圆的半径 r 和 EG 的的长度。
三、小结
本节课我们学习了直线与圆的位置关系，当我们判断直线与圆的位置关系时，应该
用数量关系（圆心到直线的距离）来体现，即上面讲解的圆心到直线的距离与圆的半径
进行比较大小，从而断定是哪种关系。
若 d r 直线 l 与⊙O 相离；
若 d r 直线 l 与⊙O 相切；
若 d r 直线 l 与⊙O 相交；
四、作业
Ｐ55 习题 28.2 5、6、7
23.2.3 切线（一）
教学目标：
1、使学生掌握切线的识别方法，并能初步运用它解决有关问题；
2、通过切线识别方法的学习，培养学生观察、分析、归纳问题的能力；
教学重点和难点：
切线的识别方法是重点；而方法的理解及实际运用是难点．
教学过程设计：
一、从学生已有的知识结构提出问题
1、复习、回顾直线与圆的三种位置关系．
2、根据几何画板所示图形，请学生判断直线和圆的位置关系．
学生判断的过程，提问：你是怎样判断出图中的直线和圆相切的？根据学生的回答，继续
提出问题：如何界定直线与圆是否只有一个公共点？（画板演示）
教师指出，根据切线的定义可以识别一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义识别很不
方便，为此我们还要学习识别切线的其它方法．(板书课题)
二、师生共同探讨、发现结论
1、由上面的复习，我们可以把上节课所学的切线的定义作为识别切线的方法 1——定义法：
与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．
2、当然，我们还可以由上节课所学的用圆心到直线的距离 d 与半径 r 之间的关系来判断
直线与圆是否相切，即：当 d r 时，直线与圆的位置关系是相切．以此作为识别切线的
方法 2——数量关系法：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线．
3、继续观察复习时的图形，如图，圆心O 到直线l 的距离 d 等于半径 r ，
直线l 是⊙O 的切线，这时我们来观察直线l 与⊙O 的位置，可以发现：
D
O
G
F
E
C
B
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l
O
A
A
O l
A
O
l
（1）直线 l 经过半径OA 的外端点 A ；（2）直线 l 垂直于半径OA ．这样我们就得到了从
位置上来判断直线是圆的切线的方法 3——位置关系法：经过半径的外端且垂直于这条半
径的直线是圆的切线．
4、思考：现在，任意给定一个圆，你能不能作出圆的切线？应该如何作？
请学生回顾作图过程，切线l 是如何作出来的?它满足哪些条件? 引导学生总结出：①经过
半径外端；②垂直于这条半径．
请学生继续思考：这两个条件缺少一个行不行? （学生画出反例图）
（ 图 1 ） （图 2） （图 3）
图(1)中直线l 经过半径外端，但不与半径垂直； 图(2)中直线 l 与半径垂直，但不经过半
径外端． 从以上两个反例可以看出，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线．
最后引导学生分析，方法 3 实际上是从前一节所讲的“圆心到直线的距离等于半径时直线
和圆相切”这个结论直接得出来的，只是为了便于应用把它改写成“经过半径的外端且垂
直于这条半径的直线是圆的切线”这种形式．
三、应用定理，强化训练
例 1、如图，已知直线 AB 经过⊙O 上的点 A，并且 AB＝OA，OBA=45，
直线 AB 是⊙O 的切线吗？为什么？
例 2、如图，线段 AB 经过圆心 O，交⊙O 于点 A、C，BAD＝B＝30，边 BD 交圆于
点 D．BD 是⊙O 的切线吗？为什么？
分析：欲证 BD 是⊙O 的切线，由于 BD 过圆上点 D，若连结 OD，则 BD
过半径 OD 的外端，因此只需证明 BD⊥OD，因 OA＝OD，BAD＝B，
易证 BD⊥OD．
教师板演，给出解答过程及格式．
课堂练习：课本 49 页练习 1－4
四、小结 提问：这节课主要学习了哪些内容?需要注意什么问题?
在学生回答的基础上，教师总结： 主要学习了切线的识别方法，着重分析了方法 3 成立
的条件，在应用方法 3 时，注重两个条件缺一不可．
识别一条直线是圆的切线，有三种方法：
(1)根据切线定义判定，即与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
(2)根据圆心到直线的距离来判定，即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线；
B
O
A
B
D
C
O
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(3)根据直线的位置关系来判定，即经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的 切线，
说明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线，如果已知直线过圆上某一点，则作出过 这
一点的半径，证明直线垂直于半径即可(如例 2)．
五、布置作业
28.2.4 切线（2）
教学目标：
通过探究,使学生发现、掌握切线长定理，并初步长定理，并初步学会应用切线长
定理解决问题，同时通过从三角形纸片中剪出最大圆的实验的过程中发现三角形内切圆
的画法，能用内心的性质解决问题。
重点难点：
1、重点：切线长定理及其应用，三角形的内切圆的画法和内心的性质。
2、难点：三角形的内心及其半径的确定。
教学过程：
一、巩固上节课学习的知识
请同学们回顾一下，如何判断一条直线是圆的切线？圆的切线具有什么性质？（经
过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径。）
你能说明以下这个问题？
如右图所示，PA 是 BAC 的平分线，AB 是⊙O 的切线，切点 E，那么 AC 是⊙O 的
切线吗？为什么？
解：连结 OE，过 O 作OF AC ，垂足为 F 点
因为 AB 是⊙O 的切线
所以 OE AB
P
O
F
E
C
B
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又因为 PA 是 BAC 的平分线， OF AC
所以 OF OE
所以 AC 是⊙O 的切线 w W w .x K b 1.c o M
二、探究从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等以及这一点与圆心的连线平分两条切
线的夹角
问题 1、从圆外一点可以作圆的几条切线？请同学们画一画。
2、请问：这一点与切点的两条线段的长度相等吗？为什么？
3、切线长的定义是什么？
通过以上几个问题的解决，使同学们得出以下的结论：
从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等。这一点与圆心的连线平分两
条切线的夹角。
在解决以上问题时，鼓励同学们用不同的观点、不同的知识来解决问题，它既可以
用书上阐述的对称的观点解决，也可以用以前学习的其他知识来解决问题。
三、对以上探究得到的知识的应用
思考：右图，PA、PB 是，切点分别是 A、B，直线 EF 也是⊙O 的切线，切点为 P，
交 PA、PB 为 E、F 点，已知 12PA cm ， 70P ，（1）求 PEF 的周长；（2）求 EOF
的度数。
解：（1）连结 PA、PB、EF 是⊙O 的切线
所以 PA PB ， EA EQ ， FQ FB
所 以 PEF 的 周 长
24OE EP PF FB PA PB cm
（2）因为 PA、PB、EF 是⊙O 的切线
所以 PA OA ， PB OB ， EF OQ
AEO QEO ， QFO BFO
所以 180 110AOB P
所以 1 552EOF AOB
四、三角形的内切圆
想一想，发给同学们如图 28.2.11 所示三角形纸片， 请 在
它的上面截一个面积最大的圆形纸片？
提示：画圆必须确定其位置和大小，即确定圆的圆心和半径，而要截出的圆的面积
最大，这个圆必须与三角形的三边都相切。
如图 28.2.12，在△ABC 中，如果有一圆与 AB、AC、BC 都相切，那么该圆的
圆心到这三角形的三边的距离都相等，如何找到这个圆的圆心和半径呢？
等待同学们想过之后再阐述如何确定圆心和半径。
我们知道，角平分线上的点到角的两边距离相等，反过来，到角两边距离
相等
的点在这个角的平分线上。因此，圆心就是△ABC 的角平分线的交点，而半径
是这
个交点到边的距离。
根据上述所阐述的，同学们只要分别作 BAC 、 CBA 的平分线，他们的交
点 I 就是圆心，过 I 点作 ID BC ，线段 ID 的长度就是所要画的圆的半径，因此以 I
点为圆心，ID 长为半径作圆，则⊙I 必与△ABC 的三条边都相切。
P
O
B
A
Q
P
O
F
E
B
A
图 23.2.11
图 23.2.12 天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形
的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三条内角平分线的
交点，它到三角形三边的距离相等。
问题：三角形的内切圆有几个？一个圆的外切圆三角形是否只有一个？
例题：△ABC 的内切圆⊙O 与 AC、AB、BC 分别相切于点 D、E、F，且 AB＝5 厘米，
BC＝9 厘米，AC＝6 厘米，求 AE、BF 和 CD 的长。
解：因为⊙O 与△ABC 的三边都相切
所以 AE ED ， BE BF ，CD CF
设 AE x 。 BF y ，CD z
则 5
9
6
x y
y z
z x
解得： 1x ， 4y ， 5z
即 1AE cm ， 4Bf cm ， 5CD cm
五、课堂练习
Ｐ51 练习 1、2、3
六、小结
1、切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等。这一点与圆心连线
平分两条切线的夹角。
2、三角形的内切的内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三条边的距离相
等。
七、作业
Ｐ55 习题 10、11、12
28.2.5 圆与圆的位置关系
教学目标：
使学生了解圆与圆位置关系的定义，掌握用数量关系来识别圆与圆的位置关系。
D
O
F
E
C
B
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重点难点：
用数量关系识别圆与圆的位置关系是本节课的教学重点，又是本节课的教学难点。
教学过程：
一、认识生活中有关圆与圆的位置关系的一些图形
在现实生活中，圆与圆有不同的位置关系，如下图所示：
圆与圆的位置关系除了以上几种外， 还 有 其 他 的 位 置 关 系
吗？我们如何判断圆与圆的位置关系呢？这些问题待学习完这节课后就可以得到解决。
二、用公共点的个数阐述两圆的位置关系
请同学们在纸上画一个圆，把一枚硬币当作另一个圆，在纸上移动这枚硬币，观察
两圆的位置关系和公共点的个数。
如图 28.2.14（1）、（2）、（3）所示，两个圆没有公共点，那么就说两个圆相离，其
中（1）又叫做外离，（2）、（3）又叫做内含。（3）中两圆的圆心相同，这两个圆还可以
叫做同心圆。如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，如图 28.2.14（4）、
（5）所示．其中（4）又叫做外切，（5）又叫做内切。如果两个圆有两个公共点，那么
就说这两个圆相交，如图 28.2.14（6）所示。
三、用数量关系识别两圆的位置关系
思考：如果两圆的半径分别为 3 和 5，圆心距（两圆圆心的距离） d 为 9，你能确
定他们的位置关系吗？若圆心距 d 分别为 8、6、4、2、1、0 时，它们的位置关系又如
何呢？
利用以上的思考题让同学们画图或想象，概括出两圆的位置关系与圆心距、两圆的
半径具有什么关系。
奥运会五环
图 23.2.14
(1)
d
r
R
T
(2)
d
r
R
(3)
d
r
R
T
(4)
d
r
R
(5)
d
r
R天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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（1）两圆外离 d R r ；
（2）两圆外切 d R r ；
（3）两圆外离 R r d R r ；
（4）两圆外离 d R r ；
（5）两圆外离 0 d R r ；
为了使学生对两圆的位置关系用数量关系体现有更深刻的理解以及更牢的记忆，教
师可有以下数轴的形式让学生加以理解。
要判断两圆的位置关系，要牢牢抓住两个特殊点，即外切和内切两点，当圆心距刚
好等于两圆的半径和时，两圆外切，等于两圆的半径差时，两圆内切。若圆心距处于半
径和与半径差之间时，两圆相交，大于两圆半径和时，两圆外离，小于两圆半径差时，
两圆内含。
四、例题与练习
例 1、已知⊙A、⊙B 相切，圆心距为 10 cm，其中⊙A 的半径为 4 cm，求⊙B 的半
径。
分析：两圆相切，有可能两圆外切，也有可能两圆内切，所以⊙B 的半径就有两种
情况。
解 设⊙B 的半径为 R．
（1） 如果两圆外切，那么 X k B 1 . c o m
d＝10＝4＋R，
R＝6．
（2） 如果两圆内切，那么
d＝｜R－4｜＝10，
R＝－6（舍去），R＝14．
所以⊙B 的半径为 6 cm 或 14 cm
例 2、两圆的半径的比为 2:3 ，内切时的圆心距等于8cm ，那么这两圆相交时圆心
距的范围是多少？
解：设其中一个圆的半径为 2r ，则另一个圆的半径为3r
因为内切时圆心距等于 8
所以3 2 8r r
所以 8r
当两圆相交时，圆心距的取值范围是8 40( )d cm
练习：课本Ｐ54 练习 1、2、3
五、小结
就好象识别点与圆、直线与圆的位置关系一样，这节课我们同样也用数量关系来体
现圆与圆的位置关系。在识别圆与圆的位置关系时，关系式比较多，也难于忘记，如果
0
R-r
R+r
外离
相交
外
切
内
切
内含
d天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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同学们能够掌握老师上课时讲的用数轴来体现圆与圆的位置关系，理解起来就会更深
刻，记忆也会更容易。
六、作业
Ｐ55 习题 8、9
28.3.1 弧长和扇形的面积
教学目标：
认识扇形，会计算弧长和扇形的面积，通过弧长和扇形面积的发现与推导，培养学
生运用已有知识探究问题获得新知的能力。
重点难点：
1、重点：弧长和扇形面积公式，准确计算弧长和扇形的面积。
2、难点：运用弧长和扇形的面积公式计算比较复杂图形的面积。
教学过程：
一、发现弧长和扇形的面积的公式
1、弧长公式的推导。
如图 28.3.1 是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的半径为 100 米，圆心角为 90°．你
能求出这段铁轨的长度吗?（取 3.14）我们容易看出这段铁轨是圆周长的
4
1 ，
所以铁轨的长度 l≈
4
10032 ＝157.0（米）.
问题：上面求的是90 的圆心角所对的弧长，若圆心角为 n，如何计算它所对的弧长呢？
请同学们计算半径为3cm ，圆心角分别为180 、90 、45、1 、n所对的弧长。
等待同学们计算完毕，与同学们一起总结出弧长公式（这里关键是1 圆心角所对的
弧长是多少，进而求出 n的圆心角所对的弧长。）
弧长的计算公式为 1802360
rnrnl
O
B
A
O
B
A
A
B
O
A
B
O
A
B
O
图 23.3.1 天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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练习：已知圆弧的半径为 50 厘米，圆心角为 60°，求此圆弧的长度。
2、扇形的面积。
如图 28.3.3，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做
扇形
问：右图中扇形有几个？
同求弧长的思维一样，要求扇形的面积，应思考圆心角为1 的扇形面积圆
面积的几分之几？进而求出圆心角 n 的扇形面积。
如果设圆心角是 n°的扇形面积为 S，圆的半径为 r，那么扇形的面积为
lrrrnrnS 2
1
2180360
2
.
因此扇形面积的计算公式为 360
2rnS
或
lrS 2
1
练习:1、如果扇形的圆心角是 280°，那么这个扇形的面积等于这个扇形所在圆的面积
的____________；
2、扇形的面积是它所在圆的面积的 3
2
，这个扇形的圆心角的度数是_________°.
3、扇形的面积是 S，它的半径是 r，这个扇形的弧长是_____________
二、例题讲解
例 1 如图 28.3.5，圆心角为 60°的扇形的半径为 10 厘米，求这个扇
形的面积和周长．（π≈3.14）
解： 因为 n＝60°，r＝10 厘米，所以扇形面积为
360
1014.360
360
22 rnS
=52.33(平方厘米)；
扇形的周长为
20180
1014.3602180
rrnl ＝30.47（厘米）。
例 2、右图是某工件形状，圆弧 BC 的度数为 60 ， 6AB cm ，点 B 到点 C 的距离
等于 AB，
30BAC ，求工件的面积。
解：因为 BC 的度数为 60 ， 30BAC
所以点 A 在 BC 所在的圆上，设这个圆的圆心为 O 点
连结 OA、OB、OC、BC
所以 60BOC
所以 BOC 是等边三角形
因为 AB=BC
图 23.3.5
O
C
B
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所以 AOB 也是等边三角形
所以四边形 AOCB 是菱形
那么 OA∥BC，则 ABC BOCS S
所以 S 工件=S 扇形 BOC
2
260 6 6 ( )360 cm
三、小结
本节课我们共同探寻了弧长和扇形面积的计算公式，一方面，要理解公式的由来，
另一方面，能够应用它们计算有关问题，在计算力求准确无误。
四、作业
Ｐ62 习题 28。3 1、2
28.3.2 圆锥的侧面积和全面积
教学目标：通过实验知道圆锥的侧面积展开图是扇形，知道圆锥各部分的名称，能够计算
圆锥的侧面积和全面积。
重点难点：圆锥的侧面展开图，计算圆锥的侧面积和全面积。
教学过程：
一、由具体的模型认识圆锥的侧面展开图，认识圆锥各个部分的名称
把一个课前准备好的圆锥模型沿着母线剪开，让学生观察圆锥的侧面展开图，
学生容易看出，圆锥的侧面展开图是一个扇形。
如图 28.3.6，我们把圆锥底面圆周上的任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的
母线，连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高，如图中 a ，而 h 就是圆锥的高。
问题：圆锥的母线有几条？
二、圆锥的侧面积和全面积
问题；1、沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得到一个扇形，这个扇形的弧
长与底面的周长有什么关系？
2、圆锥侧面展开图是扇形，这个扇形的半径与圆锥中的哪一条线段相等？
圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长，圆锥的母线就是其侧面展开图扇形
的半径。
圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面授周长、半径为圆锥的一条母线的长的扇形面积，
而圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积的和。
三、例题讲解
例１、一个圆锥形零件的母线长为 a，底面的半径为 r，求这个圆锥形零件的侧面积和全
面积．
解 圆锥的侧面展开后是一个扇形，该扇形的半径为 a，扇形的弧长为 2πr，所以
S 侧＝1/2×2πr×a＝πra； S 底＝πr2； S＝πra＋π
图 23.3.6 天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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r2．
答：这个圆锥形零件的侧面积为πra，全面积为πra＋πr2
例 2、已知：在 Rt ABC 中， 90C ， 13AB cm ， 5BC cm ，求以 AB 为轴
旋转一周所得到的几何体的全面积。
分析：以 AB 为轴旋转一周所得到的几何体是由公共底面的两个圆锥所组成的几何
体，因此求全面积就是求两个圆锥的侧面积。
解：过 C 点作CD AB ，垂足为 D 点
因为三角形 ABC 是 Rt ABC ， 90C ， 13AB cm ， 5BC cm ，
所以 12AC cm
5 12 60
13 13
AC BCCD AB
底面周长为 60 1202 13 13
所以 S 全
21 120 1 120 10205 2 ( )2 13 2 13 13 cm
答：这个几何体的全面积为 21020 ( )13 cm 。
四、课堂练习：P62 练习 1、2
五、小结
本节课我们认识了圆锥的侧面展开图，学会计算圆锥的侧面积和全面积，在认识圆锥
的侧面积展开图时，应知道圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长。圆锥的母线就
是其侧面展开图扇形的半径，这样在计算侧面积和全面积时才能做到熟练、准确。
六、作业
Ｐ62 习题 3、4
第 27 章 证 明
单元要点分析
1．通过具体例子，使学生体会证明的必要性；弄清推理证明需要的依据，
掌握推理证明的方法，能用综合法证明的格式；了解定义，命题、定理的含义，
能说出命题的题设和结论，会写出一道命题的逆命题，知道原命题正确，而它
的逆命题不一定正确的事实。
2．应用推理证明的方法进一步研究等腰三角形等具体几何图形的性质定理
和判定定理，并能应用这些定理证明其他的命题。
3．注重证明定理的过程性教学，力求通过研究具体几何图形的性质定理和
判定定理，培养学生的逻辑思维能力，在证明过程中强调步步要有依据。
4．掌握三角形，梯形的中位线定理，并能应用定理解决相关问题，在证明
这两个定理时，让学生体会“转化”的数学思想。
5．通过实例，体会反证法的含义，由具体的例子，理解反例的作用，知道
用反例证明一个命题是错误的命题。
D
C
B
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重点、难点与关键
重点：
1．熟练掌握初中阶段学过的公理、定义、等式、不等式的性质，因为这些
是逻辑推理证明的依据。
2．从具体图形的判定定理和性质定理的证明过程中，培养学生的逻辑思维
能力，拓宽同学解决问题的思路。
3．能够应用所学定理进行相关问题的证明，培养同学应用知识解决问题的
能力。
4．使学生理解证明的基本要求，有条理地阐述自己的想法，推理必须有依
据，表述必须条理清楚。
难点：
1．用推理证明研究具体几何图形时，引导学生添加恰当的辅助线，使命题
得到证明；
2．证明命题时，有条理地阐述自己观点，正确地推理和表述。
3．学生逻辑思维能力的培养。
关键：
“巧妇难为无米之炊”，因此在本章的教学活动中，首先要让同学熟记所学
过的公 理、定理、定义等，学生只有掌握了这些基本的事实，才能在证明命
题过程中思路开拓，游刃有余；其二是证明思路的引导，正确阐述自己的观点。
做到步步有依据；其三是正确表述。
X|k |B| 1 . c| O |m
§27．1 证明的再认识
【教学目标】：
使学生理解推理证明是判断猜想正确与否的重要手段，明确推理证明所要依据
的公理，掌握证明的方法，培养学生逻辑推理能力。
【重点难点】：
重点：推理证明的方法和学生逻辑推理能力的培养。
难点：学生逻辑推理能力的培养。天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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【教学过程】：
一、理解为何需要推理证明
同学们想一想，我们是如何知道三角形内角和等于 180°呢?当时我们通过
画不同的三角形，测量出它们的内角，然后算得各个三角形的三个内角和为
180°，或将一个三角形的三个内角拼在一起(如图(1)，发现三角形的三个内角
的和筹于 180°。
用测量的方法能保证每次画出的三角形的内角和正好等于 180°吗?用观
察的方法能保证三个内角拼成的角一定是平角吗?为了确保精确无误，人们发现
以下证明的方法。
二、如何证明一个命题
求证：三角形的内角等于 180°。
已知：如图(2)，任意△ABC 的内角为∠A、∠B、∠C。
求证：∠A+∠B+∠C＝180°。
证明：延长线段 AB 到 D，过 B 点作 BE∥AC。
∵AC＝BE
∴∠2＝∠C(两直线平行，内错角相等)
∠1＝∠A(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ABC＝180°(平角的定义)
∴∠A+∠ABC+∠C＝180°(等量代换)
上面的括号里的内容是这一步的依据，所谓推理、证明讲究的是依据，这
些依据从哪里来呢?
三、推理证明的依据
逻辑推理需要依据，我们试图用最少的几条基本事实作为逻辑推理的最原
始的依据。上面，学习了一些公理(事实)。
(1)一条直线截两条平行线所得的同位角相等。
(2)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
(3)如果两个三角形的两边及其夹角(或两角及其夹边、或三边)分别对应相
等，那么这两个三角形全等。
(4)全等三角形的对应边、对应角分别相等。
等式、不等式的有关性质以及等量代换也是逻辑推理的依据。
在以上这些基础上，用逻辑推理的方法去证明几何图形的有关命题，并将
证得的可以作为进一步推理依据的真命题称为定理。凡是书上有写为定理的命
题都可作为进一步推理的依据。
四、练习证明命题天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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1、求证：n 边形的内角和等于(n－2)×180°。
老师画出上述图形，让学生完成证明过程。
2．求证：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
证明一道命题，首先应依据题意画出图形，而后写出已知、求证，最后加
以证明。
已知：如图，∠CBD 是△ABC 的一个外角。
求证：∠CBD＝∠A＋∠C
证明：∵∠A+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)
∴∠A+∠C＝180°－∠ABC(等式的性质)
又∵∠ABC＋∠CBD＝180°(平角的定义)
∴∠CBD＝180°－∠ABC(等式的性质)
∴∠CBD＝∠A+∠C
由于上述命题也经常需要用来作为判断其他命题真假的依据，因此把上述
命题也作为定理，在课本中如有特别黑体的命题，我们都可以把它当做定理使
用。
练习：课本第 33 页的练习。
五、课堂小结
通过本节课的学习，同学们认识了推理证明的必要性，知道了证明的方法
和步骤，希望同学们把以前学过的公理，定理等复习一遍，牢记在心，这对今
后的推理证明的学习有极大的帮助。
六、作业
课本第 33 页习题 27．1 的第 1、2、3、4 题。
补充作业：
1．如图，AB∥CD，GE 平分∠BEF，GF 平分∠EFD。求证：∠G＝90°，天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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2．如图，F、C 是线段 BE 上两点，BF＝CE，AB＝DE，∠B＝∠E，QR∥BE。
求证：∠Q＝∠R。
3．如右图，已知 CD 是△ABC 的外角∠ACE 的平分线，BD 平分∠ABC，请你猜想
∠A 与∠D 之间的关系?并证明你的结论。
§27.2 用推理方法研究三角形
第一课时 等腰三角形
【教学目标】：
使同学们用推理的方法证明等腰三角形的判定定理和性质定理，并能熟练
应用等腰三角形判定定理和性质定理解决问题，进一步理解证明在数学学习中
的必要性。
【重点难点】：
重点：等腰三角形的判定定理和性质定理的推理过程是教学重点。天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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难点：用推理的方法研究等腰三角形的判定和性质定理时，辅助线的添加
以及对定理“HL”的证明。
【教学过程】：
一、给出问题，学习讨论，回忆
1．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等吗?
(等角对等边)
如图(1)，∠B＝∠C，AB 与 AC 相等吗? 新|课 |标| 第 |一| 网
2．当时，我们怎样知道等腰三角形的这个识别方法的呢?
当时是用刻度尺找出边 BC 的中点 D，连结 AD，然后沿 AD 对折，经过观察
AB 和 AC 完全重合，于是得到 AB＝AC。
3．为什么当△ABC 沿 AD 对折时，AB 与 AC 完全重合呢?你们能否用逻辑推
理的证明方法来说明这个问题?
二、用逻辑推理方法证明等腰三角形的判定定理和性质定理
1．等腰三角形的判定定理。
已知：如图(1)，在△ABC 中，∠B＝∠C；
求证：AB＝AC。
分析：要证明两条线段相等，可设法构造两个全等三角形，使 AB、AC 分别
是这两个全等三角形的对应边。基于这种想法，同学们会想到画什么样的辅助
线呢?
同学的回答可能是以下三种；
(1)取 BC 的中点 D，连结 AD；
(2)画∠BAC 的平分线 AD；
(3)过顶点 A 作底边 BC 的高线 AD。
老师就第(2)种给出以下证明：
证明：画∠BAC 的平分线 AD。
在△BAD 和△CAD 中
∵∠B＝∠C(已知)
∠1＝∠2(画图)
AD＝AD(公共边)
∴△BAD≌△CAD(AAS)
∴AB＝AC天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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请同学们给出第(3)种添加辅助线的证明过程，并就第(1)种的添加方法证
明 AB＝AC 是否可行，展开讨论。
由于以上的等腰三角形的识别方法是经过逻辑推理证明它是正确的，而且
在今后的其他命题证明中经常用到，所以我们把它称为等腰三角形的判定定理，
即：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简称为(“等
角对等边”)。
2．等腰三角形的性质定理
等腰三角形的两个底角相等(“等边对等角”)。
等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合。(“等腰
三角形的三线合一”)
对以上命题的证明，让同学们画出相应图形，并写出已知、求证，写出证
明过程。
已知：如图(2)，在△ABC 中，AB＝AC。
求证：∠B＝∠C。
证明：画∠BAC 的平分线
∵AB＝AC(已知)
∠1＝∠2(画图)
AD＝AD(公共边)
∴△BAD≌△CAD(SAS)
∴∠B＝∠C
3．如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直
角三角形全等。
已知：如图(3)，在△ABC 和△A'B'C'中，∠ACB＝∠A'C'B'＝90°，AB=A'B'，
AC=A'C'。
求证：△ABC≌△A'B'C'天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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分析：把△ABC 和△A'B'C'拼在一起，使相等的的直角边 AC 和 A'C'重合在
一起，并使点 B 和点 B'在 A'C'的两旁，B、C(C')、B'在一条直线上，由上述图
形，利用等腰直角三角形的性质与全等三角形的识别方法，即可证明这两个直
角三角形全等。
证明：像图(3)一样，把△ABC 和△A'B'C'拼在一起。
∵∠A'C'B'=∠ACB＝90°(已知)
∴∠B'C'B＝180°
∴点 B'、C'、B 在同一条直线上。
在△A'B'B 中，因为
∵A'B'＝AB＝A'B(已知)
∴∠B=∠B'(等边对等角)
在△ABC 和△A'B'C'中，
∵∠ACB=∠A'C'B'(已知)
∠B＝∠B'(已证)
AB=A'B'(已知)
∴△ABC≌△A'B'C'(AAS)
斜边、直角边定理：如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相
等，那么这两个直角三角形全等。
三、课堂练习
1. 求证；等边三角形的各角相等，并且每一个角都等于 60°。
2．求证；三个角都相等的三角形是等边三角形。
四、小结
本节课我们用推理证明的方法证明了等腰三角形的性质定理、判定定理和
直角三角形的判定定理“HL”，要求同学们初步掌握命题证明的步骤、方法。体
会逻辑推理证明重要性。
五、作业
课本第 44 页，习题 27．2 的第 1、2 题。
补充作业：
1：如图，△ABC 中，AB＝AC，D、E、F 分别是 BC、AB、AC 上的点，BD＝CF，CD
＝BE，G 为 EF 中点，连结 OG，问 DG 与 EF 之间有何关系?证明你的结论。天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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2．已知点 D 为等边△ABC 内一点，且 AD＝CD，PC＝AC，DC 平分∠BCP，求
∠P 的度数。
3．如图，点 C 在线段 AB 上，△ACM 和△CBN 是等边三角形，AN 交 MC 于 P，BM
交 CN 于 Q，连结 PQ，试判断△PCQ 的形状．并证明你的结论。
§27.2 等腰三角形
第二课时 角平分线
【教学目标】：
使学生掌握用推理证明角平分线的性质定理和判定定理，进一步掌握证明命题
的方法，能够运用角平分线的性质定理和判定定理解决问题，培养学生的逻辑
思维能力。
【重点难点】：
重点：角平分线性质定理和判定定理的推理证明过程，运用角平分线的性
质定理和判定定理解决问题。
难点：角平分线性质定理和判定定理的应用以及学生的逻辑思维能力的培
养。天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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【教学过程】：
一、回忆，思考
如右图，OC 平分∠AOB，那么 OC 上的点具备什么性质呢?角平分线上的点到这
个角的两边的距离相等，这条性质是怎样得到的呢?
如图(1)，在 OC 上任取一点 P，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点 D 和点 E，当时
是在半透明纸上描出了这个图，然后沿着射线 OC 对折。通过观察，线段 PD 和
PE 完全重合。于是得到 PD＝PE，由于 P 点的任意性，所以得到，角平分线上的
点到角两边的距离相等。
二、推理证明角平分线的性质定理和判定定理
1．角平分线的性质定理
角平分线上的点到角两边的距离相等(让同学写出已知、求证)。
已知：如图(1)，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 是 OC 上任意一点，PD⊥OA，
PE⊥OB，点 D、E 为垂足。
求证：PD=PE。
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB(已知)
∴∠PDO=∠PEO=90°，(垂直定义)
在△PDO 和△PEO 中
∵∠DOP=∠EOP(已知)
∠PDO=∠PEO(已证)
PO＝PO(公共边)
∴△PDO≌△PEO(AAS)
∴PD＝PE(全等三角形的对应边相等)
2．角平分线的判定定理
求证：到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上。
请同学们根据上述命题的意思，画出图形，写出已知、求证，并写出证明
的全过程。
已知：如图(2)，QD⊥OA，QE⊥OB，点 D、E 为垂足，QD＝QE。天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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求证：点 Q 在∠AOB 的平分线上．
分析；为了证明点 Q 在∠AOB 的平分线上，可以画射线 OQ，而论证明∠QOD
＝∠QOE，从(2)图中可以看出，∠QOD 和∠QOE 分别在△QOD 和△QOE 中，那么
就要证明△QDD 与△QOE 全等。
证明： 作射线 OQ，
∵QD⊥OA，QE⊥0B(已知)
∴∠OEQ=∠ODQ=90°(垂直定义)
又∵QE=QD(已知)
OQ=OQ(公共边)
∴Rt△OQD≌Rt△OQE(HL)
∴∠EOQ＝∠DOQ(全等三角形的对应角相等)
∴点 Q 在∠AOB 的平分线上。
定理：到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上。
3．定理的应用
(1)三角形的三条角平分线交于一点吗?为什么?这一点称为三角形的 心。
(让学生思考，回答后，老师再给出以下的证明。)
证明：如图(3)过 O 点分别作 OP⊥AB，OG⊥BC，OH⊥AC，垂足分别为 P、G、
H。
∵AD 平分∠BAC，BE 平分∠ABC。
∴OP＝OH OP＝OG(角平分线上的到角两边的距离相等)
∴OG＝OH(等量代换)
∴O 点在∠ACB 的平分线上新 -课-标-第- 一-网
∴三角形三条角平分线交于一点，这点称为三角形的内心。天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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(2)如图(4)，已知：△ABC 中，AD 是它的角平分线，且 BD＝CD，DE、DF
分别垂直 AB、AC，垂足为 E、F。
求证：EB＝FC
证明：∵AD 是△ABC 的平分线。(已知)
DE⊥AB 于 E 点，DF⊥AC 于 F 点(已知)
∴DE＝DF(角平分线性质定理)
∠DEB＝∠DFC(垂直定义)
在 Rt△DEB 和 Rt△DFC 中
∵DE＝DF(已证)
BD＝CD(已知)
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)
∴BE＝CF(全等三角形的对应边相等)
三、课堂练习
1．如图，在直线 l 上找出一点 P，使得点 P 到∠AOB 的两边 OA、OB 的距离相等。
2。如图，已知△ABC 的外角∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于 F，求证，点 F
在∠DAE 的平分线上。
四、课堂小结
本节课推理证明了角平分线的性质和判定定理，这两个定理是相反的过程，
同学们可以想想它们的题设是什么?结论是什么?同时，要注意学习证明定理的
思想方法，并能应用这些方法和定理本身内容解决问题。
五、作业天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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课本第 44 页，习题 27．2 的第 3 题。
补充作业：
1．如图，已知：∠BAC＝30°，G 是∠BAC 的平分线上一点，EG∥AC 交 AB
于 E，GD⊥AC 于 D，求 CD∶GE 的值。
2 如图，在△ABC 中，∠ABC＝100°，∠ACB＝20°，CE 平分∠ACB 交 AB
于 E，，D 在 AC 上，且∠CB0＝20°，求∠CED 的度数。
3．如图，E 是∠CAF 内一点，D 在 AC 上，E 在 AP 上，且 DC＝EF，△BCD
与△BEF 的面积相等，求证：AB 平分∠CAF。
4. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，E、F 分别在 AB、AC 上．且∠EDF+∠EAF
＝180°。求证：DE=DF。
第三课时 线段的垂直平分线
【教学目标】：
使学生能够推理证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理，掌握命题证明的
方法，能运用证明定理的方法和定理本身内容解决问题，培养学生的逻辑思维
能力。
【重点难点】：
重点：线段垂直平分线性质定理和判定定理的推理证明过程，运用线段垂直平天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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分线的性质定理和判定定理解决问题。
难点：线段垂直平分线性质定理的应用以及逻辑思维能力的培养。
【教学过程】：
一、回忆与思考
我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，知
道线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。
问题：当时同学们怎么知道以上这条性质呢?同学们能否通过逻辑推理证明
这条性质呢?
二、新课
1．线段垂直平分线的性质定理
在同学们回答问题后，老师给出以下证明：
已知：如图(1)，MN 是线段 AB 的垂直平分线，C 是垂足，点 P 是直线 MN
上任意一点。
求证：PA＝PB。
证明：∵MN 是线段 AB 的垂直平分线(已知)
∴∠PCA＝∠PCB＝90°(垂直定义)
AC＝BC(中点定义)
在△PCA 和△PCB 中 w W w .x K b 1.c o M
∵AC＝BC(已证)
∠PCA＝∠PCB(已证)
PC＝PC(公共边)
∴△PCA≌△PCB(SAS)
∴PA＝PB(全等三角形的对应边相等)
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。
2．线段垂直平分线上的判定定理
问题：到一条线段的两个端点的距离相等的点是否一定在这条线段的垂直
平分线上呢?同学们能否用“证明”回答这个问题。
已知：如图(2)，QA＝OB天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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求证：点 Q 在线段 AB 的垂直平分线上。
分析：为了证明点 Q 在线段 AB 的垂直平分线上，可以先经过点 Q 画线段
AB 的垂线，然后证明该垂线平分线段 AB；也可以先平分线段 AB，设线段 AB 的
中点为点 C，连结 QC，然后证明 QC 垂直于线段 AB。
请同学们根据老师分析的完成证明过程。
定理：到一条线段的两个端点的距离相等的点。在这条线段的垂直平分线
上。
3．对定理的应用
(1)三角形的外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，为什么这三条垂直平分线
就交于一点呢?
待同学们思考、讨论后，老师给出解答。
证明：设 AB、BC 的垂直平分线 l、m 交于 O 点
则 OA=OB，OB=OC
∴OA=OC
∴O 点在线段 AC 的垂直平分线 n 上。
∴三角形的三条边的垂直平分线交于一点。
(2)如图(4)，在△ABC 中，AB=AC，∠BAC＝120°，AC 的垂直平分线 DE 交 BC
于 D，E 为垂足，且 BC=18cm，求 DE 的长。天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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分析：由 DE 垂直平分 AC，同学们会想到添加哪条辅助线?
显然，连结 AD 较合理，这样就得到 DA=DC，从而∠1=∠C=30°，∠BAD=90°，
然后根据已知条件即可求出 DE 的长度。
解：连结 AD
∵DE 垂直平分 AC
∴DA=DC
∴∠1=∠C
又∵AB=AC ∠BAC=120°
∴∠B＝∠C=30°
∴∠BAD＝∠BAC-∠1=90°
设 DE=x，则 CD=2x
∴AD=2x
∴BD=4x
∵CD+BD=BC
∴4x+2x=18
∴x=3cm
答：DE 的长度为 3cm。
三、课堂练习
1．如图，在直线 l 上找出一点 P，使得点 P 到已知点 A、B 的距离相等。天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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2．如图，已知 AE=CE，BD⊥AC，求证：DA+BA=BC+DC
3。如图，在△ABC 上，已知点 D 在 BC 上，且 BD+AD=BC。求证：点 D 在 AC
的垂直平分线上。
四、小结
通过本节课的学习，同学们应进一步掌握线段垂直平分线的性质定理和判定定
理，并能应用定理解决问题，在定理证明和运用定理解决问题的过程中不断地
提高自己的推理能力。
五、作业
课本第 44 页至 45 页的第 4、5 题。
补充作业：
1．如图，在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，∠A＝40°，AC 的垂直平分线 MN 与 AB
交于 D 点，求∠BCD 的度数。
2．如图，△ABC 的周长为 19cm，且 AB＝AC，AB 的垂直平分线 DE 交 AC 于 D，E
为垂足，BC＝5cm，求△BCD 的周长。天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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3．如图，MN 垂直平分线段 AB、CD，垂足分别为 E、F，求证：AC＝BD，∠ACD
＝∠BDC。
第四课时 逆命题、逆定理
【教学目标】：
使学生知道命题的题设与结论，能正确写出命题的逆命题，理解原命题与
逆命题的关系，培养学生的语言发达能力和逆向思维能力。
【重点难点】：
重、难点：正确写出原命题的逆命题，用反例说明命题是假命题。
【教学过程】：
一、引入
请同学们看以下两句话，并回答问题：
(1)马是吃草的动物；
(2)吃草的动物是马。
上面两句话是命题吗?它们之间有何关系?
二、新课
1．弄清命题的题设和结论
我们知道，可以判断正确或错误的句子叫做命题；像上述两个句子都是命
题。又如“两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”都是命
题。
问：命题是由哪两个部分组成的呢?(题设、结论)，请同学们说出以下几个
命题的题设和结论。
(1)等腰三角形的底角相等。
(2)角平分线上的点到角两边的距离相等。
(3)线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；
(4)对顶角相等。天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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2．原命题和逆命题的关系
每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题
设，使可得到原命题的逆命题。
让同学们试着写出上述四个命题的逆命题，而后让同学判断逆命题是否正
确?
从第四个命题与其逆命题可以看出，虽然每个命题都有其逆命题，原命题
正确，但它的逆命题未必正确，这从刚开始的两句话中同学们也可以体会到。
又如：全等三角形的面积相等，然而面积相等的三角形不一定全等。
3．定理、逆定理新 课 标第 一 网
如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一
个定理叫做另一个定理的逆定理。
让同学讨论举例有关互逆定理的内容。
4．勾股定理的逆定理。
问：勾股定理怎么叙述的?请说出它的逆命题．
勾股定理；直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的逆命题：如果一个三角形的一条边的平方等于另外两条边的平
方和，那
么这个三角形是直角三角形。
已知：如右图，在△ABC 中，AB＝c，BC＝d，CA＝b，且 a2+b2=c2。
求证；△ABC 是直角三角形。
分析：首先构造一个直角三角形 A'B'C'，使得∠C'＝
90°，B'C'=a，C'A'＝b，然后可以证明△ABC≌△A'B'C，
从而可知△ABC 是直角三角形。
证明：作 Rt△A'B'C'，使得∠C=90°．B'C'＝a，
C'A'=b
则 C'2=a2+b2
∵c＝a2+b2
∴c'=c
在△ABC 和△A'B'C'中
∵AB=A'B'
BC=B'C'
CA=C'A'
∴△ABC≌A'B'C'
∴∠C=∠C=Rt∠
∴△ABC 是直角三角形。
三、课堂练习
1．指出下列命题的题设和结论，并说出它们的逆命题；
(1)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余。
(2)等边三角形的每个角都等于 60°。天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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(3)全等三角形的对应角相等。
(4)到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
(5)线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。
2．举例说明下列命题的逆命题是假命题。
(1)如果一个整数的个位数字是 5，那么这个整数能被 5 整除。
(2)如果两个角都是直角，那么这两个角相等。
3．设三角形三边长分别是下列各组数，试判断各三角形是不是直角三角形，
如果是直角三角形，请指出哪条边所对的角是直角。
(1)7，24，25；(2)12，35，37；(3)35，91，84。
四、小结
通过本节课的学习，同学们应知道一道命题的题设和结论，能正确写出命
题的逆命题，知道原命题正确，它的逆命题不一定正确。
五、作业
课本第 45 页习题 27．2 的第 6 题。
§27.3 用推理方法研究四边形
第一课时 平行四边形
【教学目标】：
使学生能够用推理证明平行四边形判定定理和性质定理，在证明这些定理
的过程中，体会以前学过的定理不只是通过猜想、观察，比较得到，这些定理
需要数学的严格推理论证，才能说明它们是否正确。
【重点难点】：
重点：进一步掌握平行四边形的判定定理和性质定理，掌握这些定理的证
明过程以及运用这些定理的解决问题。
难点：运用这些定理证明有关命题。
【教学过程】：
一、回忆以前学习过的平行四边形的性质和判定定理
1．平行四边形的判定定理
(1)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
如图，若 AB∥CD，AB＝CD，则四边形 ABCD 是平行四边形。天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
如图，若 AB＝CD．AD＝BC，则四边形 ABCD 是平行四边形。
(3)两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
如图，若∠BAD＝∠DCB，∠ABC＝∠CDA，则四边形 ABCD 是平行四边形。
(4)对角线互相平分的四边形是平行四边形。
如图，若 OA＝OC，OB＝OD，则四边形 ABCD 是平行四边形。
2．平行四边形的性质定理
(1)平行四边形的对边相等
若四边形 ABCD 是平行四边形，则 AB＝CD，AD＝BC
(2)平行四边形的对角相等
如图，若四边形 ABCD 是平行四边形，则∠ABC＝∠CDA，∠BAD＝∠DCB。
(3)平行四边形的对角线互相平分
如图，若四边形 ABCD 是平行四边形，则 OA＝OC，OB＝OD
以上这些定理，通过两种表达方式，使同学加深对定理的理解。
二、选择部分定理进行证明
1．已知：四边形 ABCD 中，AB＝CD，AB∥CD。
求证：四边形 ABCD 是平行四边形。
分析：要证明四边形 ABCD 是平行四边形，只要证明另一组对边平行，因此连结
其中一条对角线，然后证明内错角相等。
证明；连结 AC。
∵AB∥CD
∴∠BAC=∠DCA(两直线平行，内错角相等)
在△ABC 和△CDA 中
∵AB＝CD
∠DAC=∠DCA天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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AC=CA
∴∠BCA＝∠DAC(全等三角形的对应角相等)
∴BC∥DA(内错角相等，两直线平行)
∴四边形 ABCD 是平行四边形
2．已知：四边形 ABCD 是平行四边形。
求证；AB＝CD，BC＝DA
分析：要证明平行四边形的对边相等．可以连结其中一条对角线，把平行四边
形分成两个三角形，然后利用全等三角形对应边相等得出结论。
证明：连结 AC
∵四边形 ABCD 是平行四边形
∴AB∥CD
∴∠BAC=∠DCA(两直线平行，内错角相等)
同理∠BCA=∠DAC
在△ABC 和△CDA 中
∵∠BAC=∠DCA
AC=CA
∠BCA=∠DAC
∴△ABC≌△CDA(ASA)
因此 AB＝CD，BC＝DA(全等三角形的对应边相等)
三、例题与练习
例题：如图，在平行四边形 ABCD 中，E、F 分别是边 AB、CD 上的点，且 AE
＝CF，求证：BF∥DE。
(通过同学们讨论，而后老师给予归纳，证明)
证明；∵四边形 ABCD 是平行四边形
∴AB∥CD
AB＝CD天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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∵AE＝CF
∴BE＝DF
∴四边形 BEDF 是平行四边形，(一组对边平行且相等的四边形是平行四边
形)
∴BF∥DE
虽然这道题目并不难，但老师可以通过对这道题详细分析、讲解，使同学
们可以对
平行四边形的所有判定法则做更深刻的理解，让同学们进一步掌握运用定理解
决问题
的方法。
练习：
1．求证：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
2．求证：平行四边形的对角线互相平分。
3．如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，点 E、F 分别是 AB、DC 的中点，求
证：EF＝BC。
四、小结
1．总结平行四边形的判定定理和性质定理。
2．能应用这些定理证明一些相关命题。
五、作业
课本第 57 页习题 27．3 的第 l、2 题。
补充作业：
1．如图，四边形 ABCD 是平行四边形，E、F 点在对角线 AC 上，且 AE＝CF，求
证：DE∥BF。
2．如图，已知：在平行四边形 ABCD 中，BE、DF 分别是／ABC、／CDA 的平天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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分线，
求证：BD 和 EF 互相平分。
3．如图，在平行四边形 ABCD 中，∠B 的平分线交 CD 的延长线于 E。
(1)求证，∠C 的平分线垂直平分 BE。
(2)若平行四边形 ABCD 的周长为 30cm，DE＝3cm，求平行四边形 ABCD 的各边长。
X k B 1 . c o m
§27.3 第二课时 矩 形
【教学目标】：
使学生理解矩形与平行四边形区别与联系，能从矩形的定义出发，经过推
理得出矩形的性质定理，掌握矩形的判定定理，并能应用所得到的定理证明有
关命题，培养学生的逻辑思维能力。
【重点难点】：
重点：矩形的性质定理和判定定理及其得出这些定理的过程，应用这些定
理进行有关命题的论证。
难点：应用定理进行有关命题的论证是教学难点。
【教学过程】：
一、针对问题进行讨论与回忆
问题 1．矩形定义是什么?
问题 2．矩形与平行四边形有何区别与联系?
问题 3．矩形具有什么性质?
问题 4．判定一个四边形是矩形的方法有哪些?天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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二、矩形的性质定理
根据学生讨论和回答的，老师归纳以下几个方面。
根据矩形的定义，矩形是有一个角是直角的平行四边形，因此，矩形是特
殊的平行四边形，它除了具备平行四边形所有性质之外，还具备本身所特有的
性质。
1．从角的方面：矩形的四个角都是直角。
2．从边的方面：矩形的对边平行且相等。
3．从对角线方面：对角线不仅平分，而且相等。
已知；如图(2)，四边形 ABCD 是矩形
求证：AC＝BD
让学生思考，请同学自己完成证明过程。
三、矩形的判定定理
1．有一个角是直角的平行四边形是矩形。
2．有三个角是直角的四边形是矩形。
3．对角线相等的平行四边形是矩形。
对上述的第 3 个命题进行证明。
如图(3)，已知：四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC＝BD。
求证：四边形 ABCD 是矩形。天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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分析：由于四边形 ABCD 是平行四边形，只要证明四边形中的一个内角是直
角即可，考虑到∠ABC＋∠DCB＝180°，因此只要证△ABC≌△DCB。
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形。
∴AB＝CD AB∥CD
∴∠ABC＋∠DCB＝180°
在△ABC 和△DCB 中
∵AB＝CD
BC＝CB
AC＝DB
∴△ABC≌△DCB
∴∠ABC＝∠DCB
∴∠ABC＝90°
∴四边形 ABCD 是矩形。
四、直角三角形的一个重要性质
定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
已知：如图(4)，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是斜边上的中线。
求证：CD＝1
2AB。
分析：要证 CD＝1
2
AB，可以延长 CD 到 E，使 DE＝CD，此时要证 CE＝AB，因
此，本题的关键在于证明四边形 AEBC 是矩形。
证明：延长 CD 到 E，使 DE＝CD
∵CD 是 AB 边上的中线
∴BD＝AD
∴四边形 ACBE 是平行四边形天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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又∵∠BCA＝90°
∴四边形 BCAE 是矩形。
∴CE＝AB
∴CD＝1
2AB
五、应用举例
例 1：如图，平行四边形 ABCD 中，∠A、∠B、∠C、∠D 的平分线分别交于 G、
F、H、E 点。
求证：四边形 GFHE 是矩形。
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形
∴AB∥CD
∴∠ABC＋∠DCB＝180°
又∵BE、OE 平分∠ABC、∠DCB
∴∠1＝1
2∠ABC，∠2＝1
2∠DCB
∴∠1＋∠2＝1
2
(∠ABC＋∠DCB)＝90°
∴∠E＝90°
同理可得∠EGF＝90°，∠F＝90°
∴四边形 EGFH 是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)
例 2：如图，已知，△ABC 中，D 是 BC 的中点，你能比较线段 AB＋AC 与 2AD 的
关系吗?试证明你的结论。
分析：根据上面添加辅助线的方法，我们可以延长 AD 到 E，使得 AD＝DE，天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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连结 BE、CE，则四边形 ABEC 是平行四边形，则 AC＝BE，在△ABE 中，AB＋BE
＞AE，所以 AB＋AC＞2AD。
证明：延长 AD 到 E 点，使得 AD＝DE，连结 BE、CE
∵AD 是△ABC 的中线
∴BD＝CD
∴四边形 ABEC 是平行四边形
∴AC＝BE
在△ABE 中，
AE＋BE＞AE
∴AB＋AC＞2AD
六、课堂小结
引导学生归纳特殊的平行四边形——矩形的性质定理和判定定理以及直角
三角形边上的中线等于斜边的一半。要求同学能应用这些定理论证相关命题。
七、作业
课本第 57 页第 3、4 题。
补充作业：
1，如图，四边形 ABCD 是矩形，P 是 AD 上一点，过 P 点分别作 PC⊥BD，PF⊥AC，
垂足分别为 E、F 点。已知 AB＝5cm，BC＝12cm，求 PE＋PF 的值。
2 如图，已知 AB＝AE，DE＝DC，A、E、C 三点共线，B、E、D 三点共线，
M、N 分别是 BE、CE 的中点，G 是 AD 的中点，求证：GM＝GN。
3. 如图，以△ABC 的三边为边在 BC 的同一侧分别作三
个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，请回答下列问题：
(1)四边形 ADEF 是什么四边形?(请证明)
(2)当△ABC 是什么条件时，四边形是矩形，为什么?
(3)当△ABC 是什么条件时，以 A、D、E、F 为顶点的四边形不存在。天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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§27.3 第三课时 菱 形新|课 |标| 第 |一| 网
【教学目标】：
使学生理解菱形与平行四边形的区别与联系，能从菱形的定义出发，经过
推理得出菱形的性质定理。掌握菱形的判定定理，能应用所得到的定理证明有
关命题，培养学生的逻辑思维能力。
【重点难点】：
重点：矩形的性质定理和判定定理及其得出这些定理的过程，应用所得到
的定理解决相关的问题。
难点：应用所得到的定理进行有关命题的论证是教学难点。
【教学过程】：
一、针对问题进行讨论与回忆
问题 1. 菱形的定义是什么?
问题 2．菱形与平行四边形有何区别与联系?
问题 3．菱形具有什么性质?
问题 4．判定一个四边形是矩形的方法有哪些?
二、菱形的性质定理
根据学生讨论，回答的内容，教师归纳如下；
根据菱形的定义，菱形是有一组邻边相等的平行四边形，因此，菱形是特殊的
平行四边形，它除了有平行四边形所有性质外，还具备本身所特有性质。
从图形可以观察，菱形是由两个全等的等腰三角形组合得到的。
1．从边来看：四边都相等，
2．从对角线来看：不但平分，而且互相垂直，并平分每一组对角。
以上两个定理的证明过程都极容易，可以让学生自行完成。
三、菱形的判定定理天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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1．有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
2．四条边相等的四边形是菱形。
3．对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
对上述的第 3 个命题进行证明，
已知：如下图所示，四边形 ABCD 是平行四边形，AC⊥BD。
求证：四边形 ABCD 是菱形。
分析：由于四边形 ABCD 是平行四边形，只要证明平行四边形中一组邻边相
等即可，由于 BO=DO，AC⊥BD，所以 AB=AD，命题得证。
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形
∴OB=OD
又∵AC⊥BD
∴AC 垂直平分 BD
∴AB=AD
∴四边形 ABCD 是菱形。
四、例题讲解
例 1：已知四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、
BC 分别交于 E、F。
求证：四边形 AFCE 是菱形。X k B 1 . c o m
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形
∴AE∥FC
∴∠1=∠2
又∵∠AOE=∠COF
AO=CO
∴△AOE≌△COF
∴EO=FO
∴四边形 AFCE 是平行四边形
又∵EF⊥AC
∴四边形 AFCE 是菱形。天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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让同学们考虑用第一种判定方法证明上述命题。
五、课堂练习
1．已知菱形的周长为 20cm，两邻角之比为 1∶2，求较短对角线的长度。
2。如图．已知⊙O1 和⊙O2 是两个等圆，其中一个圆经过另一个圆的圆心，
半径为 6cm。
(1)求证：四边形 AO1BO2 是菱形。
(2)求菱形 AO1BO2 的面积。
六、小结
通过本节课的学习，同学们进一步掌握了菱形的性质定理和判定定理．希
望同学们能应用这些定理解决问题。
七、作业
课本第 50 页的练习的第 2 题，第 57 页习题 27．3 的第 5 题。
补充作业：
1．(1)菱形周长为 1Ocm，一条对角线长为 25cm，求菱形各角度数，(2)已
知菱形的周长为 52cm，一条对角线长是 24cm，求它的面积。(3)已知菱形的两
条对角线长分别为 a、b，求它的周长和面积。
2．如图，梯形 ABCD 中，AB∥CD，对角线 AC 的垂直平分线与底边 AB、CD 相交
于 E、F 点，求证：四边形 AECF 是菱形。
3．如图，⊙O 中，弦 AB 的长是半径的 3倍，C 总是 的中点，求证：
四边形 OACB 是菱形。
§27.3 第四课时 正方形
【教学目标】：
使学生进一步理解平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的从属关系，进
一步掌握正方形的性质与判定方法，会利用定理进行有关的谈论和计算，通过
对正方形的讲解，使学生进一步掌握矩形、菱形的性质。天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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【重点难点】：
重点：正方形的性质定理和判定定理，应用这些定理进行有关问题的论证
和计算。
难点：平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系。
【教学过程】：
一、针对问题，同学们回顾与讨论
问题 1．正方形的定义是什么?
问题 2．正方形是菱形吗？正方形是矩形吗?为什么?
问题 3．正方形具有什么性质?
问题 4．你能说出(或画图说明)平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属
关系吗?
问题 5．判定正方形的方法有哪些?
二、正方形的性质
根据同学们的讨论和回答，老师作出以下总结。
定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
从定义可以看出，正方形不仅具备矩形的一切性质，同时也具备有菱形的
一切性质，它既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，是矩形、菱形的结合体。
2．性质：正方形的四个角都是直角．四条边都相等，正方形的两条对角线
垂直平分，每一条对角线平分一组对角。
3．平行四边形、矩形、菱形；正方形的从属关系画出左边图形，让同学指出各
个图以及阴影部分所代表的图形，从而使同学更加深刻理解它们之间的从属关
系。
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三、正方形的判定方法
问题(1)四条边相等并且四个角也相等的四边形是正方形吗?为什么?
(2)四个角相等并且对角线互相垂直的四边形是正方形吗?为什么?
(3)对角线垂直平分的四边形是正方形吗?如果不是，应该加什么条件?
(4)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形吗?为什么?天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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(5)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形吗?为什么?
(6)对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形吗?为什么?
通过以上问题的讨论、解答，同学们认识到识别是否是正方形的重要思路
是判断它既是矩形，又是菱形。
定理，有一个角是直角的菱形是正方形。
定理：有一组邻边相等的矩形是正方形。
四、例题
例 1：求证：依次连结正方形各边中点所成的四边形是正方形。
已知：如图，在正方形 ABCD 中，点 E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA
的中点。
求证：四边形 EFGH 是正方形。
分析：要证四边形 EFGH 是正方形，可先证正方形 EFGH 是矩形，然后再证
有一组邻边相等；也可以先证四边形 EFGH 是菱形，然后再证一个角是直角。
证明：∵四边形 ABCD 是正方形
∴∠B=∠C=90°
AB=BC=CD
∵点 E、F、G 分别是 AB、BC、CD 的中点
∵BE＝BF＝CF＝CG
∠BEF=∠BFE=∠CFG＝∠CGF=45°
∴∠EFG=90°
同理∠FGH=∠GHE＝90°
∴四边形 EFGH 是矩形
∵BE=CF，∠B＝∠C，BF＝CG
∴△BEF≌△CFG
∴EF=FG
∴四边形 EFGH 是正方形
五、课堂练习
1．如图，在平行四边形 ABCD 中，∠1=∠2＝45°，求证：四边形 ABCD 是正方
形。天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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2．已知：如图，点 E、F、G、H，分别是正方形 ABCD 四条边上的点，并且
AE=BF＝CG=DH．求证，四边形 EFGH 是正方形。
六、课堂小结
1．概括正方形的性质定理和判定定理。w W w .x K b 1.c o M
2．平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系。
七、作业
补充作业：
1. 已知正方形的对角线的长为 10 厘米，求它的周长和面积。
2：如图，在已知锐角三角形 ABC 外面作正方形 ABDE 和正方形 ACFG。
(1)求证；BG＝CE
(2)探索直线 BG、CE 具有怎样的位置关系，请说出理由。
3．如图，正方形 ABCD 的对角线相交于点 O，点 O 是正方形 A'B'C'O 的一
个顶点。如果两个正方形的边长相等，那么正方形 A'B'C'O 绕点 O 无论怎样转
动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的1
4
．为什么?
§27.3 第五课时 等腰梯形
【教学目标】：
使学生进一步掌握等腰梯形的性质定理和判定定理，能用推理证明这些定
理，能应用这些定理证明、计算有关问题。
【重点难点】：
重点：等腰梯形的性质定理和判定定理的证明过程，应用这些定理解决问天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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题。
难点：在证明这些定理的过程中，辅助线的添加是教学难点。
【教学过程】：
一、回顾等腰梯形的性质定理和判定定理
1．性质定理
(1)等腰梯形同一底上的两个内角相等。
(2)等腰梯形的两条对角线相等。
2．判定定理
(1)同一条底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。
(2)两条对角线相等的梯形是等腰梯形。
二、对上述的定理分别作出证明
练习 1：已知：如图(1)，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB=CD，
求证；∠B=∠C，∠A=∠D
分析：我们知道等腰三角形的两个底角相等，因此，希望能通过添加辅助
线把∠B、∠C 放在一个三角形内，所以，可以过 D 点作 DE∥AB，交 BC 于 E 点，
这样，∠B＝∠1，而∠1=∠C．∴∠B=∠C，当然∠A=∠D。
在同学证明完毕后，让同学想想还有其他的添加辅助线的方法吗?
提示：如图(2)分别过 A、D 点作 AE⊥BC、DF⊥BC，垂足分别为 E、F 点。
练习 2；已知：如图(3)，在梯形朋 CD 中，AD∥BC，AB=CD。
求证：AC＝BD
分析：同学们可以通过证明△ABC≌△DCB 得到 AC=BD。
练习 3：已知：如图(4)，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B＝∠C。求证：四
边形 ABCD 是等腰梯形。
证明：过点 D 作 DE∥AB，交 DC 于 E，则∠B=∠DEC
∵∠B＝∠C天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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∴∠DEC=∠C
DE＝DC
∵AD∥BC，DE∥AB
∴四边形 ABED 是平行四边形。
∴AB=DE
∴AB＝DC
即四边形 ABCD 是等腰梯形。
练习 4：已知：如图(5)，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AC=BD，
求证：四边形 ABCD 是等腰梯形。
分析：过 D 点作 DE∥AC 交 BC 的延长线于 E 点，这样由 AC=BD，可以推出 DB=DE，
所以∠1=∠2，而∠2=∠3，所以∠1=∠3，从而得出△ABC≌△DCB，所以 AB=CD。
三、定理应用
例题：如图(6)已知：在梯形 ABCD 中，AB∥CD，E 是底边 AB 的中点，∠A=
∠B，求证：DE＝CE。
证明：∵∠A=∠B AB∥CD
∴AD＝BC(同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形)
又∵E 是底边 AB 的中点
∴AE＝BE
在△AED 和△BEC 中
∵AC＝BE，∠A=∠B，AD=BC
∵△AED≌△BEC
∴DE=CE
四、课堂小结
本节课我们用推理证明的方法得出等腰梯形的性质定理和判定定理，在证
明这些定理的过程中的辅助线的添加，是平时我们解决梯形问题时常用添加辅
助线的方法，希望同学们能记住。同时要能应用所学到的知识解决相关的问题。
五、作业
1．课本第 57 页习题 27．3 的第 6 题。
补充作业：
第五课时作业优化设计
1．已知：等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠A∶∠B=1∶2，AB＝1Ocm，BC＝15cm，
求梯形的面积。天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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2．在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD＝AB=DC，BD⊥DC，求∠C 的度数。
3．已知，在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB=CD，E 是梯形外一点，且 BE＝CE。
求证：EA=ED。
4．已知：在梯形 ABCD 中，AD∥BC，延长 CB 到 E，使 EB=AD，连结 AE．求证：
AE=AC。
§27.3 第八课时 反证法
【教学目标】：
通过具体例子，使学生体会反证法证明命题的方法，了解反证法的步骤，
能初步应用反证法证明一些简单的命题。
【重点难点】：
重、难点：体会反证法证明命题的思路方法，用反证法证明简单的命题既
是教学重点又是教学难点。
【教学过程】：
一、用具体例子让学生体会反证法的思路 http://www.x kb1.com
思考：在△ABC 中，已知 AB＝c，BC＝a，CA＝b，且∠C≠90°。
求证；a2＋b2≠c2。
有些命题想从已知条件出发，经过推理，得出结论是很困难的，因此，人
们想出了一种证明这种命题的方法，即反证法。
假设 a2＋b2＝c2，则由勾股定理的逆定理可以得到∠C＝90°，这与已知
条件∠C≠90°产生矛盾，因此，假设 a2＋b2＝c2 是错误的。所以 a2＋b2≠c2
是正确的。
二、由上述的例子归纳反证法的步骤
1．假设命题的结论的反面是正确的；
2．从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、巳证的定理、定义或已
知条件矛盾；
3．由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论是正确的。
三、例题与练习天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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例 1．已知：如图，设点 A、B、C 在同一条直线 l 上。
求证：经过 A、B、C 三点不能作一个圆。
分析：按照反证法的步骤，先假设过 A、B、C 三点可以作一个圆，然后由
这个假设出发推下去，得出矛盾．
证明：假设过 A、B、C 三点可以作圆，设这个圆的圆心为 O，显然 A、B、C 三
点在这个圆上，所以 OA＝OB＝OC，由线段的垂直平分线的判定定理可以知道，
O 点既在线段 AB 的垂直平分线 l1 上，又在线段 BC 的垂直平分线 l2 上，也就
是说，O 点是 l1 和 l2 的交点，这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂
直”相矛盾。
所以，过同一条直线上的三点不能作圆。
例 2．求证；在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 60°。
已知；△ABC。
求证：△ABC 中至少有一个内角小于或等于 60°。
证明：假设△ABC 中没有一个内角小于或等于 60°，即∠A＞60°、∠B＞60°、
∠C＞60°。于是∠A＋∠B＋∠C＞60°＋60°＋60°＝180°，这与三角形的内
角和等于 180°矛盾。
所以三角形中至少有一个内角小于或等于 60°。
练习：
用反证法证明下列各题：
1．在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等。
2．在一个梯形中，如果同一条底边上的两个内角不相等，那么这个梯形是等腰
梯形吗?请证明你的猜想。
四、课堂小结
通过本节课的学习，同学们体会了在证明命题另一种方法，即反证法，它是当
有的命题从已知条件出发，经过推理，很难得出结论时，人们想出的一种证明
命题的方法，希望同学们能运用这种方法证明一些简单的命题。
五、作业
课本第 57 页第 27．3 的第 7 题。
补充作业：
用反证法证明下列命题。
(1)求证：三角形内角中至多有一个内角是钝角。新 课 标 第 一 网
(2)已知：如图，AB∥CD，AB∥EF。求证：CD∥EF。天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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(3)求证：圆内两条不是直径的弦不能互相平分。
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