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函数的综合应用
一：【课前预习】
（一）：【知识梳理】
1.解决函数应用性问题的思路
面→点→线。首先要全面理解题意，迅速接受概念，此为“面”；透过长篇叙述，抓住重点词句，提出重点数据，此为“点”；综合联系，提炼关系，建立函数模型，此为“线”。如此将应用性问题转化为纯数学问题。
2.解决函数应用性问题的步骤
（1）建模：它是解答应用题的关键步骤，就是在阅读材料，理解题意的基础上，把实际问题的本质抽象转化为数学问题。
（2）解模：即运用所学的知识和方法对函数模型进行分析、运用、，解答纯数学问题，最后检验所得的解，写出实际问题的结论。
（注意：①在求解过程和结果都必须符合实际问题的要求；②数量单位要统一。）
3.综合运用函数知识，把生活、生产、科技等方面的问题通过建立函数模型求解，涉及最值问题时，运用二次函数的性质，选取适当的变量，建立目标函数。求该目标函数的最值，但要注意：①变量的取值范围；②求最值时，宜用配方法。
（二）：【课前练习】
1.油箱中存油20升，油从油箱中均匀流 出，流速为0．2升／分钟，则油箱中剩余
油量 Q（升）与流出时间t(分钟）的函数关系是（ ）
A．Q＝0．2t； B．Q＝20－2t； C．t=0．2Q； D．t=20—0．2Q
2.幸福村办工厂，今年前五个月生产某种产品的总量C（件）关于时间t（月）的函数图象如图所示，则该工厂对这种产品来说（ ）
A．1月至3月每月生产总量逐月增加，4，5两月每月生产总量逐月减小
B．l月至3月生产总量逐月增加，4、5两月生产总量与3月持平
C．l月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月均停止生产
D．l月至3月每月生产总量不变，4、5两月均停止生产
3.某商人将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高2元，其销量就要减少10件，为了使每天所赚利润最多，该商人应将销价提高（ ）
A.8元或10元； B.12元； C.8元； D.10元
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4.已知M、N两点关于轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线上，设点M（，），则抛物线的顶点坐标为 。
5.为了预防“非典”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧后y与x成反比例如图所示．现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克，请根据题中提供的信息填空：
⑴药物燃烧时，y关于x的函数关系式为_______，自变量x的取值范围是_________；
（2）药物燃烧后y关于x的函数关系式为___________．
二：【经典考题剖析】
1.如图（ l ）是某公共汽车线路收支差额y(票价总收人减去运营成本）与乘客量 x 的函数图象．目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门举行提高票价的听证会。乘客代表认为：公交公司应节约能源，改善管理，降低运营成本，以此举实现扭亏。公交公司认为：运营成本难以下降，公司己尽力，提高票价才能扭亏。根据这两种意见，可以把图（ l ）分别改画成图（ 2 ）和图（ 3 ) ,
①说明图（ 1 ）中点 A 和点 B 的实际意义：
②你认为图（ 2 ）和图（ 3 ）两个图象中，反映乘客意见的是 ，反映公交公司意见的是 .
③如果公交公司采用适当提高票价又减少成本的办法实现扭亏为赢，请你在图（4）中画出符合这种办法的 y 与 x 的大致函数关系图象。
2. 市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室．
(1)储存室的底面积S(单位：m2)与其深度d(单位：m)有怎样的函数关系?
(2)公司决定把储存室的底面积S定为500m2，施工队施工时应该向下挖进多深?
(3)当施工队按(2)中的计划挖进到地下15m时，碰上了坚硬的岩石，为了节约建设资金，公司临时改变计划把储存室的深改为15m
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，相应的，储存室的底面积应改为多少才能满足需要(保留两位小数)。
3.甲车在弯路作刹车试验，收集到的数据如下表所示：
速度x（千米/小时）
0
5
10
15
20
25
…
刹车距离y（米）
0
2
6
…
（1）请用上表中的各对数据（x，y）作为点的坐标，在平面坐标系中画出甲车刹车距离y（米）与x（千米/时）的函数图象，并求函数的解析式。
（2）在一个限速为40千米/时的弯路上，甲、乙两车相向而行，同时刹车，但还是相撞了。事后测得甲、乙两车的刹车距离分别为12米和10.5米，又知乙车的刹车距离y（米）与速度x（千米/时）满足函数 ，请你就两车的速度方面分析相撞的原因。
4.某商人开始时，将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售，每天可售出100件．他想采用提高售价的办法来增加利润，经试验，发现这种商品每件每提价l元，每天的销售量就会减少10件．
⑴ 写出售价x（元／件）与每天所得的利润y（元）之间的函数关系式；
⑵ 每件售价定为多少元，才能使一天的利润最大？
5.启明公司生产某种产品，每件产品成本是8元，售价是4元，年销售量为10万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投人的广告费是x(万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y=，如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费：
（1）试写出年利润S（万元）与广告费x（万元）的函数关系式，并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大，最大年利润是多少万元？
（2）把(1）中的最大利润留出3万元做广告，其余的资金投资 新项目，现有6个项目可供选择，各项目每股投资金额和预计年收益如表：
如果每个项目只能投一股，且要求所有投资项目的收
益总额不得低于1.6万元，问：有几种符合要求的投资
方式？写出每种投资方式所选的项目．
三：【课后训练】
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1.一天，小军和爸爸去登山，已知山脚到山顶的路程为300米．小军先走了一段路程，爸爸才开始出发．图中两条线段分别表示小军和爸爸离开山脚登山的路程S(米）与登山所用的时间t（分）的关系（从爸爸开始登山时计时）．
根据图象，下列说法错误的是（ ）
A．爸爸登山时，小军已走了50米
B．爸爸走了5分钟，小军仍在爸爸的前面
C．小军比爸爸晚到山顶
D．爸爸前10分钟登山的速度比小军慢，10分钟后登山的速度比小军快
2.已知圆柱的侧面积是10π㎝2 ，若圆柱底
面半径为r cm，高为h cm，则h与r的函
数图象大致是图中的（ ）
3.面积为3的△ABC，一边长为x，这边上的
高为y，则y与x的变化规律用图象表示大
致是图中的（ ）
4.如图，小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数
h=3.5t-4.9t2 (t的单位：s；h中的单位：m）可以描述他跳跃时
重心高度的变化．则他起跳后到重心最高时所用的时间是（ ）
A．0．71s B．0.70s C．0.63s D．0．36s
5.一某市市内出租车行程在 4km以内（含 4km）收起步费 8元，行驶超过4km时，每超过1 km，加收1．80元，当行程超出4km时收费y元与所行里程x(km）之间的函数关系式__________
6. 有一面积为100的梯形，其上底长是下底长的，若上底长为x，高为y，则y与x的函数关系式为_________-
7.为了学生的身体健康，学校课桌、凳的高度都是按照一定的关系科学设计的．小明对学校所添置的一批课桌、凳进行观察研究，发现它们可以根据人的身长调节高度．于是，他测量了一套课桌、凳上对应四档的高度，得到如下数据见下表：
⑴ 小明经过对数据探究，发现桌高y是凳高x
的一次函数，请你写出这个一次函数的关系式
（不要求写出x的取值范围）
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⑵ 小明回家后测量了家里的写字台和凳于，写字台的高度为77厘米，凳子的高度为43．5厘米，请你判断它们是否配套，并说明理由．
8.“给我一个支点，我可以把地球撬动” 这是古希腊科学家阿基米德的名言。小明欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1200牛顿和0.5米。
（1）动力F与动力臂L有怎样的函数关系？当动力臂为1.5米时，撬动石头至少需要多大的力？
（2）若想使动力F不超过题（1）中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少？
（3）假定地球重量的近似值为6х1025牛顿（即为阻力）假设阿基米德有500牛的力量，阻力臂为2000千米，请你帮助阿基米德设计该用多长动力臂的杠杆才能把地球撬动？
9.某食品零售店为食品厂供销一种面包，未售出的面包可退回厂家．经统计销售情况发现，当这种面包的单价定为7角时，每天卖出160个．在此基础上，这种面包的单价每提高1角时，该零售店每天就会少卖出20个．考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是5角．设这种面包的单价为x(角)，零售店每天销售这种面包所获得的利润为y（角）．
⑴ 用含x的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数；
⑵ 求y与x之间的函数关系式；
⑶ 当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大？最大利润为多少？
10.某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线如图所示直角坐标系下经过原点O的一条抛物线；图中标出的数据为已知条件,在跳某个规定动作时，正常情况下，运动员在空中的最高处距离水面10千米，人水处距池边的距离为4米，同时，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定翻腾动作，并调整好人水姿势，否则就会出现失误．
⑴求这条抛物线的关系式；
⑵在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是⑴中的抛物
线，且运动员在空中调整好人水姿势时，距池边的水平距离为
3千米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由．
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四：【课后小结】
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