3 一次函数的图象
1．函数的图象
对于一个函数，我们把它的自变量x与对应的变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描出它的对应点，所有这些点组成的图形就叫做该函数的图象．
谈重点 函数图象与点的坐标的关系
(1)函数图象上的任意点P(x，y)必满足该函数关系式．
(2)满足函数关系式的任意一对x，y的值，所对应的点一定在该函数的图象上．
(3)判定点P(x，y)是否在函数图象上的方法是：将点P(x，y)的坐标代入函数表达式，如果满足函数表达式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的表达式，这个点就不在函数的图象上．
【例1】 判断下列各点是否在函数y＝2x－1的图象上．
A(2,3)，B(－2，－3)．
分析：将x的值代入函数表达式，如果等于y的值，这个点就在函数的图象上；否则，这个点不在函数的图象上．
解：∵当x＝2时，y＝2×2－1＝3，
∴A(2,3)在函数y＝2x－1的图象上；
∵当x＝－2时，y＝－2×2－1＝－5≠－3，
∴B(－2，－3)不在函数y＝2x－1的图象上．
2．函数图象的画法
画函数图象的一般步骤：
(1)列表：列表给出自变量与函数的一些对应值，通常把自变量x的值放在表的第一行，其对应函数值放在表的第二行，其中x的值从小到大．
(2)描点：以表中每对对应值为坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点．描点时一般把关键的点准确地描出，点取得越多，图象越准确．
(3)连线：按照自变量从小到大的顺序，把所描的点用平滑的曲线连接起来．
释疑点 平滑曲线的特点
所谓的“平滑曲线”，现阶段可理解为符合图象的发展趋势、让人感觉过渡自然、比较“平”“滑”的线，实际上有时是直线．
【例2】 作出一次函数y＝－2x－1的图象．
分析：取几组对应值，列表，描点，连线即可．
解：列表：
x
…
－2
－1
0
1
…
y
…
3
1
－1
－3
…
描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在坐标系中描出相应的点．
连线：把这些点连起来．
注：一次函数y＝－2x－1的图象是直线，连线时，两端要露头．
3.一次函数的图象和性质
(1)一次函数的图象和性质
①一次函数的图象：一次函数y＝kx＋b(k≠
0)的图象是一条直线．由于两点确定一条直线，因此画一次函数的图象，只要描出图象上的两个点，过这两点作一条直线就行了．我们常常把这条直线叫做“直线y＝kx＋b”．
②一次函数中常量k，b(k≠0)：直线y＝kx＋b(k≠0)与y轴的交点是(0，b)，当b＞0时，直线与y轴的正半轴相交；当b＜0时，直线与y轴的负半轴相交；当b＝0时，直线经过原点，此时一次函数即为正比例函数．一次函数y＝kx＋b中的k，决定了直线的倾斜程度，k的绝对值越大，则直线越接近y轴，反之，越靠近x轴．
③一次函数y＝kx＋b(k≠0)的性质：当k＞0时，直线y＝kx＋b从左向右上升，函数y的值随自变量x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx＋b从左向右下降，函数y的值随自变量x的增大而减小．
(2)正比例函数的图象和性质
①正比例函数的图象：一般地，正比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y＝kx.在画正比例函数y＝kx的图象时，一般是经过点(0,0)和(1，k)作一条直线．
②正比例函数y＝kx的性质：当k＞0时，直线y＝kx经过第一、三象限，从左往右上升，即y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx经过第二、四象限，从左往右下降，即y随x的增大而减小．
【例3－1】 作出一次函数y＝－3x＋3的图象．
分析：由于一次函数的图象是一条直线，因此只要过其图象的两点画出一条直线即可．
解：列表：
x
0
1
y＝－3x＋3
3
0
描点，连线．
【例3－2】 若一次函数y＝(2m－6)x＋5中，y随x增大而减小，则m的取值范围是________．
解析：当我们知道函数的增减性后，就知道了k的取值范围，因为y随x增大而减小，所以k就小于0，即2m－6＜0，m＜3.所以m的取值范围是m＜3.
答案：m＜3
析规律 k与b的作用
在一次函数解析式中，k确定函数的增减性，b确定函数图象与y轴的交点．
【例3－3】 下图表示一次函数y＝kx＋b与正比例函数y＝kx(k，b是常数，且k≠0)图象的是( )．
解析：对于两个不同的函数图象共存于同一坐标系的问题，常假设某一图象正确，确定k，b的符号，然后再根据k或b的符号判断另一函数图象是否与k，b的符号相符合．
观察A中一次函数图象可知k＞0，b＜0，而正比例函数的图象经过第二、四象限，此时k＜0，所以A不正确，用同样的方法可确定B，C不正确．故选D.
答案：D
点技巧 同一坐标系中多函数图象问题
解答这类问题一般首先根据正比例函数和一次函数的图象分别先确定k的符号，对比k的符号，若k符号一致，才说明可能正确，再结合题中的其他条件确定最终正确答案．
4．k，b的符号与直线所过象限的关系
学习了一次函数y＝kx＋b(k≠0)，我们知道一次函数图象经过哪些象限是由k，b的符号决定的．一般分为四种情况：
(1)k＞0，b＞0时，图象过第一、二、三象限；
(2)k＞0，b＜0时，图象过第一、三、四象限；
(3)k＜0，b＞0时，图象过第一、二、四象限；
(4)k＜0，b＜0时，图象过第二、三、四象限．
析规律 k，b的符号与直线的关系
根据一次函数y＝kx＋b中k，b的符号可以确定图象所经过的象限；根据函数图象所经过的象限，可以确定k，b的符号．解决有关问题，应熟练把握k，b的符号与函数图象所经过象限的几个类型，并能灵活应用．
【例4－1】 一次函数y＝kx＋b的图象经过第二、三、四象限，则正比例函数y＝kbx的图象经过哪个象限？
分析：要确定函数y＝kbx的图象经过哪些象限，则需要确定kb的符号，而kb的符号由k的符号和b的符号决定，所以只要根据已知条件确定k，b的符号即可解决问题．
解：因为y＝kx＋b的图象经过第二、三、四象限，所以k＜0，b＜0，所以kb＞0.所以函数y＝kbx的图象经过第一、三象限．
【例4－2】 如图是一次函数y＝kx＋b的图象的大致位置，试分别确定k，b的正负号，并判断一次函数y＝(－k－1)x－b的图象所经过的象限．
分析：由函数y＝kx＋b的图象可知，函数的图象经过第一、三、四象限，所以k＞0，b＜0，由此可得－k－1＜0，－b＞0，从而确定一次函数y＝(－k－1)x－b的图象经过第一、二、四象限．
解：观察图象可得k＞0，b＜0，所以－k－1＜0，－b＞0，所以一次函数y＝(－k－1)x－b的图象经过第一、二、四象限．
5.一次函数图象与坐标轴的交点
一次函数的图象是直线，这条直线与x轴交于点，与y轴交于点(0，b)．考查直线与两坐标轴的交点的问题常见的有三类：
(1)判定直线所过的象限，一般给出函数关系式，判定直线经过哪几个象限或确定不经过哪个象限．
(2)求直线的解析式，一般先设出函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，把已知的两点的坐标分别代入，求出k，b的值即可．
(3)求两交点与坐标轴围成的三角形的面积，由于这个三角形是直角三角形，利用面积公式即可．
【例5】 如图，已知直线y＝kx－3经过点M(－2,1)，求此直线与x轴，y轴的交点坐标，并求出与坐标轴所围的三角形的面积．
分析：先将点M(－2,1)代入y＝kx－3，确定一次函数解析式，再分别令x＝0和y＝0，即可求出此直线与x轴，y轴的交点坐标．
解：将点M(－2,1)代入y＝kx－3，得1＝－2k－3，解得k＝－2，所以y＝－2x－3.又当x＝0时，y＝－3，当y＝0时，x＝－，所以此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为，(0，－3)．
所以所围三角形的面积为××3＝.
点评：在平面直角坐标系中求图形的面积时，通常把轴上的边作为底，再利用点的坐标求得底上的高，然后利用面积公式求解．
6．关于一次函数的最值问题
对于一般的一次函数，由于自变量的取值范围可以是全体实数，因此不存在最大、最小值(简称“最值”)，但在实际问题中，因题目中的自变量受到实际问题的限制，所以就有可能出现最大值或最小值．
求解这类问题，先分析问题中两个变量之间的关系是否适合一次函数模型，再在自变量允许的取值范围内建立一次函数模型．运用一次函数解决实际问题的关键是根据一次函数的性质来解答．除正确确定函数表达式外，利用自变量取值范围去分析最值是解题的关键．
“在生活中学数学，到生活中用数学”，是新课标所倡导的一个主旨之一，在考题中，有许多利用数学知识求解生活中的实际问题的试题，考查同学们利用所学知识求解实际问题的能力．
【例6】 某报刊销售亭从报社订购晚报的价格是0.7元，销售价是每份1元，卖不掉的报纸可以以每份0.2元的价格退回报社，若每月按30天计算，有20天每天可卖出100份报纸，其余10天每天只能卖出60份，但每天报亭从报社订购的份数必须相同，报亭每天从报社订购多少份报纸，才能使每月所获得的利润最大？
分析：若报亭每天从报社订购x份报纸，每月获得的利润为y，那么y是x的一次函数，且自变量的取值范围是60≤x≤100，并根据函数的性质来确定订多少份报纸．
解：根据题意，得
y＝(1－0.7)×(20x＋10×60)－(0.7－0.2)(x－60)×10，
即y＝x＋480(60≤x≤100)．
∵此函数是一次函数，且一次项的系数大于0，函数y随x的增大而增大，
∴当x＝100时，y有最大值，其最大值为100＋480＝580(元)．
订购方案：每天从报社订100份报纸，这样获得利润最大，最大利润为580元．
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