1 函数
1．函数的概念
一般地，在一个变化过程中有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数．其中x是自变量，当自变量取一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与它对应，这也是我们判断两个变量是否构成函数关系的依据．
辨误区 自变量与另一个变量的对应关系
若y是x的函数，当x取不同的值时，y的值不一定不同．如：y＝x2中，当x＝2，或x＝－2时，y的值都是4.
【例1－1】 下列关于变量x，y的关系式：①x－3y＝1；②y＝|x|；③2x－y2＝9.其中y是x的函数的是( )．
A．①②③ B．①②
C．②③ D．①②
解析：本题主要根据函数的概念，紧扣函数的定义，即对于每一个自变量x都有唯一确定的y值与之对应，否则就不是函数关系．对于x－3y＝1和y＝|x|，由函数的定义可知，对于每一个x值都有唯一确定的y值与之对应．符合函数的定义，但对于2x－y2＝9，则不符合上述关系，故y不是x的函数．
答案：B
【例1－2】 已知y＝2x2＋4，
(1)求x取和－时的函数值；
(2)求y取10时x的值．
分析：(1)把自变量x的值代入函数关系式，求代数式的值即可；(2)把y的值代入函数解析式后，解方程即可．
解：(1)当x＝时，y＝2×2＋4＝；
当x＝－时，y＝2×2＋4＝.
(2)当y＝10时，2x2＋4＝10，解得x＝±.
谈重点 函数中变量的对应关系
当自变量取一个值时，另一个变量就会有唯一的值与之相对应；当另一个变量取某一数值，则自变量并不一定有唯一的值与之相对应，所以另一个变量与自变量并不是一一对应的关系．
2．函数关系式
用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称为函数解析式或关系表达式．
谈重点 函数关系式中的学问
①函数关系式是等式．②函数关系式中指明了哪个是自变量，哪个是函数．通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的一个字母表示函数．③函数的解析式在书写时有顺序性．例如，y＝x＋1是表示y是x的函数．若写成x＝y－1就表示x是y的函数．也就是说：求y与x的函数关系式，必须是用只含变量x的代数式表示y，即得到的等式(解析式)左边只含一个变量y，右边是含x的代数式．
【例2】 已知等腰三角形的周长为36，腰长为x，底边上的高为6，若把面积y看做腰长x的函数，试写出它们的函数关系式．
分析：要求三角形的面积，必须先求出底边长．
解：∵底边长为36－2x，
∴y＝×(36－2x)×6，即y＝108－6x.
3．自变量的取值范围
(1)使函数有意义的自变量的全体取值叫做自变量的取值范围．
(2)自变量的取值范围的确定方法：首先，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义．当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于0的实数；当解析式中含有零整数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为0；其次，当函数解析式表示实际问题时，自变量的取值还必须使实际问题有意义．
【例3】 若等腰三角形的周长为50 cm，底边长为x cm，一腰长为y cm，y与x的函数关系式为y＝(50－x)，则变量x的取值范围是__________．
解析：根据三角形三边之间的关系，必须满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
答案：0＜x＜25
4．函数的表示方法
函数的表示方法一般有三种：列表法、图象法、解析法，以解析法应用较多．有的函数可以用三种方法中的任何一种来表示，而有的只能用其中的一种或两种来表示．
(1)列表法：列一张表，第一行表示自变量取的各个值，第二行表示相应的函数值，这种表示函数关系的方法称为列表法．
(2)图象法：通过建立平面直角坐标系，以自变量取的每一个值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出每一个点，由所有这些点组成的图形称为这个函数的图象，这种表示函数关系的方法称为图象法．
(3)解析法：用式子表示函数关系的方法称为解析法，这样的式子称为函数的解析式．
析规律 函数的三种表示方法
三种表示方法各有优缺点，应用时要视具体情况，选择适当的表示方法，或将三种方法结合使用．①列表法：优点是能明显地显现出自变量与对应的函数值，缺点是取值有限；②图象法：优点是形象、直观、清晰地呈现出函数的一些性质，缺点是求得的函数值是近似的；③解析法：优点是简明扼要、规范准确，并且可以根据解析式列表、画图象，进而研究函数的性质；缺点是有些函数无法写出解析式，只能列出表格或画出图象来表示．
【例4】 你一定知道乌鸦喝水的故事吧！一个紧口瓶中盛有一些水，乌鸦想喝，但是嘴够不着瓶中的水，于是乌鸦衔来一些小石子放入瓶中，瓶中水面的高度随石子的增多而上升，乌鸦喝到了水．但是还没解渴，瓶中水面就下降到乌鸦够不着的高度，乌鸦只好再去衔些石子放入瓶中，水面又上升，乌鸦终于喝足了水，哇哇地飞走了．如果设衔入瓶中石子的体积为x，瓶中水面的高度为y，下面能大致表示上面故事情节的图象是( )．
解析：本题主要考查函数图象的变化情况和同学们的识图能力．事实上，结合故事情节，对照图象，不难发现：A图中反映原瓶中无水，这与题意不符；C图中乌鸦加小石子喝到水后，在不加小石子的同时，瓶中水面下降的高度不能比原瓶中水面的高度低；D图中乌鸦一开始加小石子的过程水面应上升而不是下降；因此只有B图能反映出乌鸦喝水的全过程．故应选B.
答案：B
点技巧 从函数的图象中得出规律
本题有三个注意点：一是原来瓶中无石子时就有水，反映在图象上是y
轴正半轴上的一个点；二是瓶中水面的高度随石子的逐渐增多而缓慢上升，反映在图象上是一斜线段；三是不加石子乌鸦喝水时，反映在图象上是一条垂线段．
另外解决函数图象问题还要在阅读反映实际问题的文字语言的同时，对图象进行观察、分析，从而获取有效的解题信息．
5.怎样判定函数关系
(1)从关系式判定函数
由函数的定义知道，在某个变化过程中，有两个变量x和y，对于x每一个确定的值，y都有且只有一个值与之对应，当x取不同的值时，y的值可以相等也可以不相等，但如果一个x的值对应着两个不同的y值，那么y一定不是x的函数．根据这一点，我们可以判定一个关系式是否表示函数．
(2)从表格中判定函数
根据函数的定义知道，从表格中理解函数仍然是先看是否只有两个变量，再看对于变量x每一个确定的值，y是否都有唯一的值和它对应，也就是说x若取相同的值，y必须是相同的值．
(3)从图象上判定函数
根据函数的定义知道，每一个x值只能对应唯一的一个y值，因此要判断哪些图形表示的是函数，只要在所给的自变量的取值范围内任作一条垂直于x轴的直线，若直线与所给图形只有一个交点，则说明这个图形表示的是函数，若交点不止一个，则一定不是函数．
【例5－1】 下列表格中能反映y是x的函数的是( )．
A.
x
－1
1
2
3
－1
y
0
2
4
8
10
B.
x
0
1
2
3
0
y
－2
2
3
4
6
C.
x
2
2
2
2
2
y
－1
0
1
1
3
D.
x
－1
1
2
3
4
y
0
2
4
8
10
解析：观察表格发现，对于A，当x＝－1时，y＝0或10，故它不表示函数；对于B，当x＝0时，y＝－2或6，故它不表示函数；对于C，当x＝2时，y有5个不同的值与之对应，故它不表示函数；对于D，每一个x的值，y都有唯一的值和它对应，故它表示函数，应选D.
答案：D
【例5－2】 下列表示y是x的函数图象的是( )．
解析：由图象可看出，每个图形都是关于两个变量x和y的一个变化过程，对于选择支A，B，C来说，只要在它们各自的自变量的取值范围内任作一条垂直于x轴的直线，都与所给图形有两个交点，这样A，B，C都不表示函数，只有D表示的是函数．
答案：D
6.如何判断同一函数
学习了函数的概念，判断两个函数是否表示同一函数要看它们是不是满足以下三个条件：
(1)自变量的取值范围完全相同．
(2)函数值的取值范围完全相同．
(3)变形后，两个函数的解析式是一致的，即自变量和函数的对应关系完全相同．
如果两个函数满足以上三个条件，那么它们是同一函数．
解答这类问题的关键是正确理解上述的三个条件．
【例6】 下列函数中，与y＝x表示同一个函数的是( )．
A．y＝ B．y＝|x|
C．y＝()2 D．y＝
解析：
A
×
y的取值范围是y≥0，与函数y＝x的y的取值范围不相同
B
×
y的取值范围是y≥0，与函数y＝x的y的取值范围不相同
C
×
自变量x的取值范围是x≥0，与函数y＝x的自变量取值范围不相同
D
√
自变量x的取值范围与y的取值范围都与y＝x相同，是全体实数
答案：D
7．函数图象的实际应用
函数的图象是由点组成的，每个点都具有实际意义，利用函数的图象可以反映实际问题中的关系，同样通过观察函数的图象也可以得到关于实际问题的相关信息．可以说，函数的图象是我们解决实际问题的有效手段和重要的工具．
解决函数图象选择问题的关键是在阅读反映实际问题的文字语言的同时，对图象进行观察、分析，获取有效的解题信息．
解答这类问题主要是利用数形结合的思想分析问题、解决问题．
【例7】 父亲节，学校“文苑”专栏登出了某同学回忆父亲的小诗：“同辞家门赴车站，别时叮咛语千万，学子满载信心去，老父怀抱希望还．”如果用纵轴y表示父亲和学子在行进中离家的距离，横轴t表示离家的时间，那么下面与上述诗意大致吻合的图象是( )．
解析：本题通过读诗来识别函数图象，整首小诗叙述了一个变化的过程，整个过程分为三个阶段：(1)同辞家门赴车站；(2)别时叮咛语千万；(3)学子满载信心去，老父怀抱希望还．能够和这三个阶段大致吻合的是C，故应选C.
答案：C
微信/支付宝扫码支付