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2 代数式
1．代数式的概念
(1)定义
用运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式．单独一个数或一个字母也是代数式．
注意：运算符号指加、减、乘、除、乘方等．
(2)代数式的判断
判断一个式子是不是代数式：①看它是否符合代数式的定义；②代数式中不能含有“＝”，“≠”，“＜”，“＞”，“≤”，“≥”等关系符号．
【例1】 下列各式中，哪些是代数式，哪些不是代数式：(1)a＋b＝5；(2)5a－3y；(3)2；(4)n；(5)2(a＋b)＋7；(6)；(7)2＋7－6；(8)23；(9)x＋5>3.
分析：代数式是用运算符号(加、减、乘、除、乘方等)把数和字母连接而成的式子；而用“＝”，“≠”，“＜”，“＞”，“≤”，“≥”等关系符号连接而成的式子都不是代数式．
解：(2)，(3)，(4)，(5)，(6)，(7)，(8)是代数式，而(1)，(9)不是代数式．
2．代数式的书写规则
(1)含有乘法运算的代数式的书写规则
①字母与字母相乘，乘号一般省略不写，字母的排列顺序一般按字母表的顺序．如a×b写成ab.
②数与字母相乘，乘号一般也省略不写，但数一定要写在字母的前面，而且当数是带分数时一定要化为假分数．如a×8要写成8a，不要写为a8；5×m要写为m，不要写成5m.
切记，数字与数字相乘，不能省略乘号，如6×5不能写成65.
③带括号的式子与字母的地位相同．如a×(b－3)可以写为a(b－3)，也可以写成(b－3)a；(m－1)×2可写为2(m－1)，但不要写成(m－1)2.
(2)含有除法运算的代数式的书写规则
当代数式中含有除法运算时，一般不用“÷”号，而改用分数线．如x与y的商一般写为，而不写成x÷y；
因为分数线具有括号的作用，所以分数线又称括线．如m与n的和除以2的商可以列为，而不要列为.
(3)含有单位名称的代数式的书写规则
①若代数式是和或差的形式，如需注明单位，则必须用括号把整个式子括起来后再写单位，如甲的身高为x cm，乙比甲矮6 cm，那么乙的身高应写成(x－6) cm，而不能写成x－6 cm.
②若代数式是积或商的形式，则无需加括号，直接在代数式后面写出单位即可．如10p千米，千克等．
【例2】 下列各式中符合代数式书写要求的个数为( )．
①5x2y ②y×3 ③ab÷2 ④
A．4 B．3 C．2 D．1
解析：根据代数式的书写要求，不能出现带分数，故①不符合；数字与字母相乘时，乘号省略或用“·”表示，并且数字在前，故②不符合；代数式中不能出现除号，故③不符合．
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答案：D
3．代数式的值
(1)代数式的值
一般地，用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中指明的运算计算出的结果，叫做代数式的值．
(2)字母的取值
①代数式中的字母取值必须使这个代数式有意义．如在代数式中，x不能取3，因为当x＝3时，分母x－3＝0，代数式无意义．
②实际问题中，字母的取值要符合题意．如当x表示人数时，x不能取负数和分数．
【例3】 下列代数式中，a不能取0的是( )．
A.a B. C. D．2a－b
解析：代数式中字母的取值必须使这个代数式有意义，由分母不能为0可知，B选项中的a不能取0.故选B.
答案：B
4．代数式求值的步骤
(1)步骤：
第一步：代入，用具体数值代替代数式里的字母；
第二步：计算，按照代数式中指明的运算，计算出结果．
(2)注意事项：
①一个代数式中的同一个字母，只能用同一个数值去代替；②如果代数式里省略乘号，那么字母用数值代替时要添上乘号，代入负数和分数时要加括号；③代入时，不能改变原式中的运算符号及数字；④运算时，要注意运算顺序，即先算平方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的．
【例4】 已知x＝，y＝3，求代数式2x2y－4x2y＋10x2y的值．
分析：分别将x＝，y＝3代入代数式中，再按照指定的运算进行计算；也可以先求出x2y的值，然后再整体代入．
解：(方法1)当x＝，y＝3时，
原式＝2×2×3－4×2×3＋10×2×3＝2××3－4××3＋10××3＝－3＋＝6.
(方法2)当x＝，y＝3时，x2y＝2×3＝.
原式＝2×－4×＋10×＝(2－4＋10)×＝6.
5．代数式的读法及意义
(1)代数式的读法
代数式的读法一般有两种：①按运算关系来读，如x＋5读作“x加5”；②按运算的结果来读，如x＋5读作“x与5的和”．
谈重点 代数式的读法
①对于含有括号的代数式，应把括号里的代数式看成一个整体按运算结果来读；②对于含有分数的代数式，要把分子与分母分别看成一个整体按运算结果来读．
(2)代数式的意义
代数式的意义包括三种：
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①运算中的意义：几个字母加、减、乘、除、乘方等运算的结果．
②实际意义：表示实际问题中的数量关系．
③几何意义：主要从图形的面积、周长和体积考虑．
【例5－1】 对于代数2x－3y，下列读法不正确的有( )．
A．2x减去3y B．2x与3y的差
C．x的2倍减去y的3倍的差 D．2乘x减去3乘y
解析：代数式的读法有两种，一种是按运算关系读，另一种是按运算结果来读．无论哪一种，都要注意运算顺序．A，B，C的读法都可以与代数式相对应，D有可能误理解为(2x－3)·y，故是错误的．
答案：D
【例5－2】 举例说明下列代数式的意义：
(1)4a2可以解释为______________________________________________________；
(2)x(1－5%)可以解释为__________________________________________________．
解析：将代数式放入具体的问题情境去理解，赋予它具体的实际意义，解决的关键是想出不同的实际背景或几何背景．
答案：(1)如果一个正方形的边长为a，则4个这样的正方形的面积为4a2
(2)如果某件商品的原价为x元，按照降价5%进行降价促销，则降价后这件商品的售价为x(1－5%)元
6.代数式求值的方法
求代数式的值常用的方法有：直接代入计算、整体代入计算、按指定的程序代入计算．
(1)直接代入计算
当已知一个代数式中各字母的取值时，可以用直接代入计算的方法．
(2)整体代入计算
已知一个含有字母的代数式的值，求另一个代数式的值时，可以选用整体代入的方法．
整体代入步骤：①对已知代数式或所求代数式进行适当变形；②整体代入求值．
点技巧 运用整体思想求代数式的值
运用整体思想求代数式的值就是将一个代数式(的值)作为一个整体代入到欲求值的代数式中，从而求出代数式的值的方法．解答此类问题时，要从整体上分析已知代数式与欲求值的代数式之间结构的异同，从整体上把握解题思路，寻求解决问题的方法．
(3)按指定的程序代入计算
按指定的程序代入计算，即数值转换机．给出一个代数式，或提供运算程序，给出字母的取值，代入求值即可．
【例6－1】 已知x＋y＝2 013，xy＝2 012，求xy－2(x＋y)的值．
分析：由于条件是关于x＋y，xy的值，故应考虑用整体代入的方法计算，即将xy看成一个整体，将x＋y看成一个整体．
解：xy－2(x＋y)＝2 012－2×2 013＝－2 014.
【例6－2】 按如图所示的程序计算，若开始输入的数为x＝3，则最后输出的结果是( )．
A．6 B．21 C．156 D．231
解析：按照本题的运算程序，是否输出结果，关键是看每次计算的结果是否大于100，在输出结果之前的计算可以是多次反复循环的．
第一次：输入的数x＝3，则＝＝6，因为6＜100，所以不能输出结果，而是进入“否”程序，回到“输入”，再进行计算；
第二次：输入的数x＝6(此时输入的数已变为第一次的计算结果)，则＝
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eq \f(6×(6＋1),2)＝21，因为21＜100，所以再次进入“否”程序，回到“输入”，再进行计算；
第三次：输入的数x＝21(此时输入的数已变为第二次的计算结果)，则＝＝231，因为231＞100，所以进入“是”程序，“输出结果”231，故选D.
答案：D
7．代数式求值的应用
代数式求值的应用主要有两类：
(1)根据代数式的值推断规律
根据字母取值的不同，判断一个代数式的值的变化规律，其步骤是：
①将某一范围内的数值代入指定的代数式求值；
②观察代数式的值的变化，得出规律．
(2)解决实际问题
利用代数式的值解决实际问题的一般步骤：
①认真观察问题中的不变量与变化量之间的关系；
②用代数式表示其中的数量关系，即列代数式；
③将提供的数据代入所求出的代数式计算求值．
【例7】 (1)填表：
x
0.1
1
2
10
100
1 000
10 000
(2)当x的值逐渐变大时，推断的值的变化规律．
分析：本题通过填表、分析表中的数据来推断的值的变化趋向，正确地填出表中的数据是解答的关键．
解：(1)填表：
x
0.1
1
2
10
100
1 000
10 000
－4
0.5
0.75
0.95
0.995
0.999 5
0.999 95
(2)当x的值逐渐变大时，的值也逐渐变大，当x非常大时，的值趋向于1，但不能等于1.
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