4.4角的比较例题与讲解(2013-2014学年北师大七年级上).doc

‎4 角的比较 ‎1．角的大小比较 ‎(1)度量法：先用量角器测量出各角的度数，再按照角的度数比较大小，从而确定两个角的大小关系．‎ ‎(2)叠合法：两个角比较大小时，把两个角的顶点和一条边分别重合，另一条边放在重合边的同侧，根据另一条边的位置确定角的大小．‎ 如比较∠ABC和∠DEF的大小，可把∠DEF移到∠ABC上，使它的顶点E和∠ABC的顶点B重合，一边ED和BA重合，另一边EF和BC落在BA的同一侧．‎ ‎①如果EF和BC重合(如图1)，那么∠DEF等于∠ABC，记作∠DEF＝∠ABC；‎ ‎②如果EF落在∠ABC的外部(如图2)，那么∠DEF大于∠ABC，记作∠DEF＞∠ABC；‎ ‎③如果EF落在∠ABC的内部(如图3)，那么∠DEF小于∠ABC，记作∠DEF＜∠ABC.‎ ‎【例1】 如图，求解下列问题：‎ ‎(1)比较∠COD和∠COE的大小；‎ ‎(2)借助三角尺，比较∠EOD和∠COD的大小；‎ ‎(3)用量角器度量，比较∠BOC和∠COD的大小．‎ 分析：(1)可用叠合法比较．∠COD和∠COE有一条公共边OC，而OD在∠COE的内部，故∠COD小；(2)我们要选择三角尺的一个角来估算这两个角的度数，就可以达到比较的目的；(3)通过度量容易得出结论．‎ 解：(1)由图可以看出，∠COD∠COD.‎ ‎2．角的平分线 ‎(1)定义：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个 角的平分线．‎ ‎①角平分线是以角的顶点为端点的特殊射线，它在角的内部；②角平分线把角分成两个相等的角．‎ ‎(2)角平分线的表示：‎ ‎①OC是∠AOB的平分线；②∠AOC＝∠COB＝∠AOB，∠AOB＝2∠AOC＝2∠COB.‎ ‎(3)作角平分线的方法：‎ ‎①利用量角器量出角的度数，取角的度数的一半并画出射线；②‎ 折叠：把已知角的两边重合后再折叠，可得已知角的平分线．‎ ‎【例2】 如图，已知∠AOC＝80°，∠BOC＝50°，OD平分∠BOC，求∠AOD.‎ 分析：由图可知∠AOD＝∠AOC＋∠DOC，所以只要求出∠DOC即可．‎ 解：因为OD平分∠BOC，‎ 所以∠DOC＝∠BOC.‎ 又因为∠BOC＝50°，‎ 所以∠DOC＝×50°＝25°.‎ 所以∠AOD＝∠AOC＋∠DOC＝80°＋25°＝105°.‎ ‎3．角平分线及角的和、差计算 ‎(1)角的和、差的意义 如图，①和：∠AOB＝∠1＋∠2；‎ ‎②差：∠1＝∠AOB－∠2，∠2＝∠AOB－∠1.‎ ‎(2)角平分线及角的和、差计算 与角有关的计算，是本节的重点，也是易错点．‎ 解决这类问题，关键是根据角平分线得到相等的角，或求出一个较大的角，借助于某一个中间的角，把未知量转化为已知量．‎ ‎(3)三角板中角的和与差 一副三角板有两块，一块含30°角，60°角，90°角；一块含45°角，45°角，90°角．‎ 借助于三角板，即可以画出上面的角．‎ 利用三角板和角的和、差，还可以得到以下度数的角：15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°.‎ ‎________________________________________________________‎ ‎________________________________________________________‎ ‎________________________________________________________‎ ‎________________________________________________________‎ ‎________________________________________________________‎ ‎【例3－1】 已知∠AOB＝30°，∠BOC＝20°，则∠AOC的角度是__________．‎ 错解：50°‎ 错解分析：误以为∠AOC只是∠AOB与∠BOC的和，即∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝30°＋20°＝50°.‎ 正解：10°或50°‎ 正解思路：如图，①∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝30°＋20°＝50°；‎ ‎②∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝30°－20°＝10°.‎ ‎【例3－2】 如图，AOC为一直线，OD是∠AOB的平分线，∠BOE＝∠EOC，∠DOE ‎＝72°，求∠EOC的度数．‎ 分析：本题中角之间的关系较复杂，直接求解有困难，可以通过设未知数、列方程的方法求解．设∠AOB＝x°，因为OD是∠AOB的平分线，所以∠BOD＝°；观察图形知，∠AOB和∠BOC互为补角，所以∠BOC＝(180－x)°；又因为∠BOE＝∠EOC，所以∠BOE＝∠BOC＝°；然后根据∠DOE＝∠BOD＋∠BOE＝72°可列出方程＋＝72，解方程求出x的值后，再根据∠EOC＝(180－x)°求出∠EOC的度数．‎ 解：设∠AOB＝x°，则∠BOD＝°，∠BOC＝(180－x)°，∠BOE＝°，‎ 由∠DOE＝72°可得＋＝72.‎ 解这个方程，得x＝72.‎ ‎∴∠EOC＝(180－x)°＝72°.‎ ‎4．角的分类 ‎(1)角的分类：‎ 根据角的度数，常常把大于0°而小于180°的角分为锐角、直角、钝角三类．‎ ‎(2)各种角的规定：‎ 锐角：大于0°且小于90°的角．‎ 直角：等于90°的角．‎ 钝角：大于90°且小于180°的角．‎ 平角：等于180°的角．‎ 周角：等于360°的角．‎ ‎(3)角之间的关系：‎ 锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角．‎ ‎1平角＝2直角＝180°；‎ ‎1周角＝2平角＝4直角＝360°.‎ 若没有特别说明，我们平常所说的角是指小于平角的角．‎ ‎【例4】 如图，解答下列问题：‎ ‎(1)比较图中∠AOB，∠AOC，∠AOD的大小；‎ ‎(2)找出图中的直角、锐角和钝角．‎ 分析：(1)角的大小可以观察得出；(2)根据各类角的特征观察得出．‎ 解：(1)∠AOD＞∠AOC＞∠AOB；‎ ‎(2)直角有∠AOC，锐角有∠AOB，∠BOC，∠COD，钝角有∠AOD，∠BOD.‎