14.3 因式分解
1．因式分解
(1)定义
把一个多项式化为几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
(2)因式分解与整式乘法的关系
因式分解与整式乘法是相反方向的变形．如：
(a＋b)(a－b)a2－b2.
即多项式乘以多项式或单项式乘以多项式(整式乘法)是“积化和”，而因式分解则是“和化积”，故可以用整式乘法来检验因式分解的正确性．
谈重点 因式分解的理解 (1)因式分解专指多项式的恒等变形，等式的左边必须是多项式，右边每个因式必须是整式．(2)因式分解的结果必须要以积的形式表示，否则不是因式分解．(3)因式分解中每个括号内如有同类项要合并，因式分解的结果要求必须将每个因式分解彻底．
【例1】 下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是( )．
A．a(x＋y)＝ax＋ay
B．y2－4y＋4＝y(y－4)＋4
C．10a2－5a＝5a(2a－1)
D．y2－16＋y＝(y＋4)(y－4)＋y
答案：C
点拨：A是整式乘法，B、D等号右边不是整式积的形式，而是和的形式，不是因式分解．
2．公因式
(1)定义
多项式的各项中都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式．
(2)确定多项式的公因式的方法
确定一个多项式的公因式时，要对数字系数和字母分别进行考虑，确定公因式时：一看系数，二看字母，三看指数．
解技巧 确定公因式的方法 确定公因式的方法：(1)对于系数(只考虑正数)，取各项系数的最大公约数作为公因式的系数．(2)对于字母，需考虑两条，一是取各项相同的字母；二是各相同字母的指数取次数最低次，即取相同字母的最低次幂．最后还要根据情况确定符号．
【例2】 把多项式6a3b2－3a2b2－12a2b3分解因式时，应提取的公因式是( )．
A．3a2b B．3ab2
C．3a3b3 D．3a2b2
答案：D
点拨：在多项式6a3b2－3a2b2－12a2b3中，这三项系数的最大公约数是3，各项都含有字母a，b，字母a的最低次幂是a2，字母b的最低次幂是b2，所以各项的公因式是3a2b2，故选D.
3．提公因式法
(1)定义
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
(2)提公因式的步骤
①确定应提取的公因式；
②用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式；
③把多项式写成这两个因式的积的形式．
警误区 提公因式要彻底 (1)所提的公因式必须是“最大公因式”，即提取公因式后，另一个因式中不能还有公因式；(2)如果多项式的首项系数是负数，应先提出“－”号．可按下列口诀分解因式：各项有“公”先提“公”，首项有“负”先提“负”，某项提出莫漏“1”，括号里面分到“底”．
【例3】 用提公因式法分解因式：
(1)12x2y－18xy2－24x3y3；
(2)5x2－15x＋5；
(3)－27a2b＋9ab2－18ab；
(4)2x(a－2b)－3y(2b－a)－4z(a－2b)．
解：(1)12x2y－18xy2－24x3y3
＝6xy·2x－6xy·3y－6xy·4x2y2
＝6xy(2x－3y－4x2y2)；
(2)5x2－15x＋5
＝5(x2－3x＋1)；
(3)－27a2b＋9ab2－18ab
＝－9ab(3a－b＋2)；
(4)2x(a－2b)－3y(2b－a)－4z(a－2b)＝2x(a－2b)＋3y(a－2b)－4z(a－2b)
＝(a－2b)(2x＋3y－4z)．
4．用平方差公式分解因式
(1)因式分解的平方差公式
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．即a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
这个公式就是把整式乘法的平方差公式等号左右两边颠倒过来．
(2)平方差公式的特点
左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反；右边是两个数(或整式)的和与这两个数(或整式)的差的积．凡是符合平方差公式左边特点的多项式都可以用这个公式分解因式．
【例4】 把下列多项式分解因式：
(1)4x2－9；(2)16m2－9n2；(3)a3b－ab；(4)(x＋p)2－(x＋q)2.
解：(1)4x2－9＝(2x)2－32＝(2x＋3)(2x－3)；
(2)16m2－9n2＝(4m)2－(3n)2＝(4m＋3n)·(4m－3n)；
(3)a3b－ab＝ab(a2－1)＝ab(a＋1)(a－1)；
(4)(x＋p)2－(x＋q)2＝[(x＋p)＋(x＋q)]·[(x＋p)－(x＋q)]
＝(2x＋p＋q)(p－q)．
5．用完全平方公式分解因式
(1)因式分解的完全平方公式
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方．即a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
这个公式就是把整式乘法的完全平方公式等号左右两边颠倒过来．
(2)完全平方公式的特点
左边是一个三项式，其中两项同号且均为一个整式的平方(平方项)，另一项是平方项幂的底数的2倍(乘积项)，符号可正也可负，右边是两个整式的和(或差)的平方，中间的符号同左边的乘积项的符号．
【例5】 把下列多项式分解因式：
(1)x2＋14x＋49；
(2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9；
(3)3ax2＋6axy＋3ay2；
(4)－x2－4y2＋4xy.
解：(1)x2＋14x＋49＝x2＋2×7x＋72＝(x＋7)2；
(2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9＝(m＋n)2－2(m＋n)×3＋32＝(m＋n－3)2；
(3)3ax2＋6axy＋3ay2＝3a(x2＋2xy＋y2)
＝3a(x＋y)2；
(4)－x2－4y2＋4xy＝－(x2－4xy＋4y2)
＝－[x2－2·x·2y＋(2y)2]
＝－(x－2y)2.
6．因式分解的一般步骤
根据多项式的特点灵活选择分解因式的方法，其一般步骤可概括为：一提、二套、三查．一提：如果多项式的各项有公因式，首先考虑提取公因式；二套：提公因式后或没有公因式可提，就要考虑运用公式法，即平方差公式或完全平方公式；三查：因式分解一定要分解到不能分解为止，要检查每个因式是否还可以继续分解．
7．运用公式法分解因式易出现的错误
在分解因式时，多项式的项数若是两项，且含有平方项，则考虑用平方差公式进行分解因式．若多项式是三项式，则考虑用完全平方公式．在应用公式法分解因式时常出现的错误是：对公式的结构特征掌握不熟，理解不透彻，易出现符号、项数上的错误，二次项、一次项系数搞错，把两个公式混淆等．
【例6】 把下列各式分解因式：
(1)18x2y－50y3；
(2)ax3y＋axy3－2ax2y2.
解：(1)18x2y－50y3＝2y(9x2－25y2)
＝2y(3x＋5y)(3x－5y)；
(2)ax3y＋axy3－2ax2y2
＝axy(x2＋y2－2xy)＝axy(x－y)2.
【例7】 下列各式能用完全平方公式分解因式的是( )．
①4x2－4xy－y2；②x2＋x＋；③－1－a－；④m2n2＋4－4mn；⑤a2－2ab＋4b2；⑥x2－8x＋9.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：①⑤⑥不符合完全平方公式的结构特点，不能用完全平方公式分解因式．②④符合完全平方公式的特点，③提取“－”号后也符合完全平方公式的特点，所以②③④能用完全平方公式分解．①中的y2前面是“－”号，不能用完全平方公式分解．⑤中中间项有a、b的积的2倍，前后项都是平方式，但中间项不是“首尾积的2倍”，不能用完全平方公式分解．⑥也不符合．
答案：C
8．运用分解因式解决动手操作题
动手操作题是让学生在实际操作的基础上设计有关的问题．这类题对同学们的能力有更高的要求，有利于培养学生乐于动手、勤于思考的意识和习惯，有利于培养学生的创新能力和实践能力．
这类题目主要考查动手操作能力，它包括裁剪、折叠、拼图等．不仅考查动手能力，还考查想象能力，往往与面积、对称性质联系在一起．此类题目就是通过拼图，用不同的式子表示图形面积，以达到把多项式分解因式的目的．
【例8】 如某同学剪出若干个长方形和正方形卡片，如图(1)所示，请运用拼图的方法，选取图中相应的种类和一定数量的卡片拼成一个大长方形，使它的面积等于a2＋4ab＋3b2，并根据你拼成的图形的面积，把此多项式分解因式．
图(1)
图(2)
解：因为拼成一个面积等于a2＋4ab＋3b2的大长方形，就要用一个边长为a的正方形、3个边长为b的正方形和4个边长分别为a，b的长方形，可以拼成如图(2)所示的图形，由此知长方形的边长分别为(a＋b)和(a＋3b)．由面积可知a2＋4ab＋3b2＝(a＋b)(a＋3b)．
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