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1 认识一元一次方程
1．方程有关的概念
(1)方程
定义：含有未知数的等式叫做方程．如：2x＋1＝0，x＋y＝3.
谈重点 方程的两个条件
①含有未知数，未知数可以是一个也可以是几个，一般用x，y，z等字母表示；②必须是等式．
(2)方程的解和解方程
方程的解：使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解．
谈重点 方程的解的判断
判断一个数是不是方程的解，可以将这个数代入原方程验证，只要左、右两边的值相等就是该方程的解．
解方程：求方程解的过程，叫做解方程．
区别：方程的解是一个数值，而解方程是求方程解的过程．
(3)一元一次方程
定义：只含有一个未知数(元)，且未知数的指数是1(次)的方程叫做一元一次方程．
一般形式可表示为：ax＋b＝c(a≠0)，其中x是未知数，a，b，c表示常数．
判断一个方程是不是一元一次方程，关键看方程是否满足三个条件：
(1)方程中含未知数的式子必须是整式；(2)只含有一个未知数(元)；(3)未知数的次数是1.
如，x－2＝不是一元一次方程，因为方程中的分母中含有未知数；2x＋y＝1不是一元一次方程，因为方程中含有两个未知数；x＋x2＝2不是一元一次方程，因为方程中未知数的最高次数是2.
【例1】 已知下列方程：①x＋＝2；②0.3x－2＝1；③＝x－1；④3x2－2x＝1；⑤x＝2；⑥x－5y＝2，其中一元一次方程的个数是( )．
A．2 B．3 C．4 D．5
解析：方程①中的分母中含有未知数x，所以它不是一元一次方程；方程④中未知数x的最高次数是2，不是1，所以它也不是一元一次方程；方程⑥中含有两个未知数，它们分别是x和y，所以也不是一元一次方程；由于方程②③⑤同时满足一元一次方程的三个条件，所以一元一次方程的个数是3，故选B.
答案：B
2．等式的基本性质
(1)等式
用等号“＝”表示相等关系的式子叫等式．
(2)等式的基本性质
等式的基本性质1：等式两边同时加上(或减去)同一个代数式，所得结果仍是等式．
若A＝B，则A±C＝B±C.
等式的基本性质2：等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为0的数)，所得结果仍是等式．
若A＝B，且C≠0，则A×C＝B×C，＝.
①运用等式的基本性质1时，等式两边要同时加上(或减去)同一个代数式，才能保证所得结果仍是等式，否则就会破坏相等关系．
比如，在等式2x－6＝0中，等式两边同时加上6，得2x－6＋6＝0＋6，即2x
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＝6；要防止在等式的一边加(或减)一个代数式，而在等式的另一边没有加(或减)这个代数式的情况发生．
②运用等式的基本性质2时，等式两边不能同除以0，因为0不能作除数或分母．如，(a－5)x＝7，等式两边同除以a－5，所得的等式x＝就不一定成立，因为当a＝5时，没有意义．
【例2－1】 下列各选项中，根据等式的性质变形正确的是( )．
A．由－x＝y，得x＝2y B．由3x＝2x＋2，得x＝2
C．由2x－3＝3x，得x＝3 D．由3x－5＝7，得3x＝7－5
解析：选项A中，等式两边同乘以3可得，－x＝2y，故选项A错误；选项B中，等式两边都减去2x，得x＝2，故选项B正确；选项C中，等式两边都减去2x，得－3＝x，即x＝－3，故选项C错误；选项D中，等式两边都加5，得3x＝7＋5，故选项D错误．故选B.
答案：B
【例2－2】 若ma＝mb，那么下列等式不一定成立的是( )．
A．a＝b B．ma－6＝mb－6
C．－ma＝－mb D．ma＋8＝mb＋8
解析：仔细观察分析原等式与各选项中的等式的结构、系数有何变化，从而确定是应用了等式的哪条性质．显然选项B和D应用了等式的性质1；选项C是运用了等式的性质2；选项A中，只有当m≠0时，选项A才能成立，故选项A中的等式不一定成立．
答案：A
3．利用等式的基本性质解方程
方程是含有未知数的等式，所以可以利用等式的基本性质解方程．
利用等式的基本性质解一元一次方程，也就是通过正确的变形，将方程化成未知数的系数为1的形式，即x＝a的形式．
步骤：
(1)利用等式的基本性质1，在方程的两边都加上或减去同一个代数式，使方程左边只含有未知数，右边只含有常数；
(2)利用等式的基本性质2，在方程的两边同时除以未知数的系数或乘未知数系数的倒数，将未知数的系数化为1，从而求得方程的解．
一元一次方程的几种形式及求解方法：
①x＋a＝b：方程两边都减去a，得x＝b－a；
②ax＝b(a≠0)：方程两边都除以a，得x＝；
③ax＋b＝c(a≠0)：方程两边都减去b，得ax＝c－b.再在方程的两边都除以a，得x＝.
【例3－1】 在解方程3x－3＝2x－3时，小华同学是这样解的：
方程两边同加3，得3x－3＋3＝2x－3＋3.(1)
于是3x＝2x.
方程两边同除以x，得3＝2.(2)
所以此方程无解．
小华同学的解题过程是否正确？如果正确，请指出每一步的理由；如果不正确，请指出错在哪里，并加以改正．
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分析：第(1)步符合等式的基本性质1，是正确的；第(2)步不符合等式的基本性质2，是错误的．因为根据等式的基本性质2，方程两边同除以一个数时，要在这个数不为0的前提下进行，事实上，x是等于0的！
解：小华同学的解题过程有错误．第(1)步是正确的，他是根据等式的基本性质1进行变形的；第(2)步是错误的，应改为：方程两边同减去2x，得3x－2x＝0.于是x＝0.
【例3－2】 解方程：(1)5x－8＝12； (2)4x－2＝2x.
分析：利用等式的基本性质求解．先利用等式的基本性质1，将方程变形为左边只含有未知数的项，右边只含有常数项，再利用等式的基本性质2，将未知数的系数化为1.
解：(1)方程的两边同时加上8，得5x＝20.
方程的两边同时除以5，得x＝4.
(2)方程的两边同时减去2x，得2x－2＝0.
方程的两边同时加上2，得2x＝2.
方程的两边同时除以2，得x＝1.
4.方程与代数式及有关概念的综合运用
方程常与代数式等有关知识结合来解决问题．
(1)利用方程的解求代数式的值
当已知方程的解求方程中字母系数或有关的代数式时，常常采用代入法，即将方程的解代入原方程，得到关于字母系数的等式(或者可以看成关于字母系数的方程)，再求解即可．
(2)利用概念列方程求字母的值
利用某些概念的定义，可以列方程求出相关的字母的值，如根据同类项的定义或一元一次方程的定义求字母的值．
列方程求值的关键是根据所学的知识找出相等关系．再列出方程，解方程从而求出字母的值．
【例4－1】 已知x＝2是方程3x－a＝x＋1的解，试求代数式a＋5的值．
分析：根据方程的解的定义可知，x＝2一定使方程左、右两边的值相等，可将x＝2代入方程3x－a＝x＋1，得到关于a的方程，解方程求出a，再求代数式的值．
解：把x＝2代入方程3x－a＝x＋1，得6－a＝2＋1，
两边同时减去6，得－a＝－3，
两边同时除以－1，得a＝3，
当a＝3时，a＋5＝3＋5＝8.
【例4－2】 若方程x3a＋2－4＝1是一元一次方程，则a＝__________.
解析：由一元一次方程中未知数的指数是1，可知方程x3a＋2－4＝1中x的指数3a＋2等于1，得到关于a的方程3a＋2＝1，再根据等式的基本性质解方程，得a＝－.
答案：－
5．列简单的方程解决实际问题
利用方程解决实际问题，关键是正确地列出方程．列方程就是根据题目中的等量关系列出一个含有未知数的等式．列方程的一般步骤：
①设未知数(通常用x，y，z等字母表示)，分直接设和间接设两种，一般求什么就设什么；
②分析已知量与未知量之间的关系，找出相等关系(或等量关系)；
③列方程，即用含有未知数的代数式表示相等关系中左、右两边的量；
④解答．
【例5】 育才中学七年级共有328名师生，十一黄金周组织秋游，需要租车．已知有2辆校车可乘坐64人，还需要租用44个座位的客车多少辆？
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分析：先找出题目中的相等关系，再根据相等关系列方程求解．本题的相等关系是：乘坐校车的人数＋乘坐客车的人数＝师生总人数．
解：设还需要租用44个座位的客车x辆，
则客车可坐44x人．
根据题意列方程，得
44x＋64＝328.
方程的两边同时减去64，得44x＝264.
方程两边同时除以44，得x＝6.
答：还需要租用44个座位的客车6辆．
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