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3 应用一元一次方程——水箱变高了
1．几何图形中常用的公式
(1)常用的体积公式
长方体的体积＝长×宽×高；
正方体的体积＝棱长×棱长×棱长；
圆柱的体积＝底面积×高＝πr2h；
圆锥的体积＝×底面积×高＝πr2h.
(2)常用的面积、周长公式
长方形的面积＝长×宽；
长方形的周长＝2×(长＋宽)；
正方形的面积＝边长×边长；
正方形的周长＝边长×4；
三角形的面积＝×底×高；
平行四边形的面积＝底×高；
梯形的面积＝×(上底＋下底)×高；
圆的面积＝πr2；
圆的周长＝2πr.
【例1】 用7.8米长的铁丝做成一个长方形框架，使长比宽多1.2米，求这个长方形框架的宽是多少米？设长方形的宽是x米，可列方程为( )．
A．x＋(x＋1.2)＝7.8 B．x＋(x－1.2)＝7.8
C．2[x＋(x＋1.2)]＝7.8 D．2[x＋(x－1.2)]＝7.8
解析：根据长方形的周长公式列方程即可．长方形的周长＝2×(长＋宽)，故可列方程为2[x＋(x＋1.2)]＝7.8.
答案：C
2．形积变化问题中的等量关系
形积变化问题中，物体的形状和体积会发生变化，但问题中一定有相等关系．分以下几种情况：
(1)形状发生了变化，体积不变．其相等关系是：变化前物体的体积＝变化后物体的体积．
(2)形状、面积发生了变化，周长不变．其相等关系是：变化前图形的周长＝变化后图形的周长．
(3)形状、体积不同．根据题意找出体积之间的关系，即为相等关系．
【例2】 有一位工人师傅要锻造底面直径为40 cm的“矮胖”形圆柱，可他手上只有底面直径是10 cm，高为80 cm的“瘦长”形圆柱，试帮助这位师傅求出“矮胖”形圆柱的高．
分析：圆柱的形状由“瘦长”变成“矮胖”，底面直径和高度都发生了变化，在不计损耗的情况下不变量是它们的体积，抓住这一不变量，就得到等量关系——锻造前的体积＝锻造后的体积．
解：设锻造成“矮胖”形圆柱的高为x cm，
根据题意，得
π·52·80＝π·202·x.
解这个方程，得
x＝5.
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答：“矮胖”形圆柱的高为5 cm.
3．等长变形问题
等长变形，是指用物体(一般用铁丝)围成不同的图形，图形的形状、面积发生了变化，但周长不变．
解答此类问题，可以利用周长不变设未知数，寻找相等关系列出方程．
面积问题中常常会用到特殊图形的周长和面积公式．如三角形、平行四边形、长方形、正方形、梯形、圆等；记住常见的几何图形的面积公式，抓住周长不变的特征是解决等长变形问题的关键．
【例3】 如图所示是用铁丝围成的一个梯形，将其改成一个长和宽比为2∶1的长方形，那么该长方形的长和宽分别为多少？
分析：根据“梯形的周长＝长方形的周长”列方程求解．
解：设长方形的宽为x，则长为2x.
由题意，得2(x＋2x)＝5＋6＋9＋13，
解这个方程，得x＝5.5，所以2x＝11.
答：该长方形的长和宽分别为11,5.5
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