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15.3 分式方程
1．分式方程的概念
分母中含未知数的方程叫做分式方程．
谈重点 分式方程与整式方程的区别 从分式方程的定义可以看出分式方程有两个重要特征：一是方程；二是分母中含未知数．因此整式方程和分式方程的根本区别就在于分母中是否含未知数．
【例1】 下列方程：①＝1，②＝2，③＝，④＋＝5.其中是分式方程的有( )．
A．①② B．②③
C．③④ D．②③④
解析：根据分式方程的定义知②③④是分式方程，故选D.
答案：D
2.分式方程的解法
(1)解分式方程的基本思路：
分式方程整式方程．
(2)解分式方程的一般方法和步骤：
①去分母：即在方程两边同乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程；
②解这个整式方程；
③验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于0的根是原方程的根，使最简公分母等于0的根不是原方程的根，必须舍去．
(3)对分式方程解法的理解：
①解分式方程的基本思想是转化，即把分式方程转化为整式方程，通过解整式方程从而确定分式方程的解；
②将分式方程转化为整式方程时，是将分式方程两边同乘最简公分母，当所乘的整式不为零时，所得整式方程与原分式方程同解；当所乘整式为零时，所求出的未知数的值就不是原分式方程的解；
③在解分式方程时，方程两边约去含有未知数的公因式时，若该公因式的值为零，会造成原方程失根，所以在解分式方程时，两边不能同时除以含有未知数的公因式；
④验根的方法：代入原分式方程，看左右两边是否相等，但这种方法较麻烦，直接代入最简公分母验根较为简捷．
解技巧 分式方程验根的方法 把解得的未知数的值代入最简公分母较为简捷，但是不能检查解方程的过程中出现的计算错误，我们可以采用另一种验根的方法，即把求得的未知数的值代入原方程进行检验，这种方法可以检查解方程时有无计算错误．
【例2】 解下列方程：
(1)＋＝；
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(2)－1＝.
解：(1)方程两边同乘x(x＋1)(x－1)，得7(x－1)＋3(x＋1)＝6x.
解这个方程，得x＝1.
检验：当x＝1时，x(x＋1)(x－1)＝0，所以x＝1是原方程的增根，即原方程无解．
(2)方程两边同乘2x－5，得x－(2x－5)＝－5.
解这个方程，得x＝10.
检验：当x＝10时，2x－5≠0，所以x＝10是原方程的解．
3．分式方程的应用
分式方程的应用主要是列方程解应用题，它与列一元一次方程解应用题的基本思路和方法是一样的．
列分式方程解应用题的一般步骤：
①审：审清题意；
②找：找出相等关系；
③设：设未知数；
④列：列出方程；
⑤解：解这个分式方程；
⑥验：既要检验根是否是所列分式方程的根，又要检验根是否符合题意；
⑦答：写出答案．
解技巧 构建分式方程的方法 (1)在实际问题中，有时题目中包含多个相等的数量关系，在列方程时一定要选择一个能够体现全部(或大部分)题意的相等关系列方程；(2)在一些实际问题中，有时直接设出题中所求的未知数可能比较麻烦，需要间接地设出未知数，或设出一个未知数不好表示相等关系，还可设多个未知数，即设辅助未知数．
【例3】 今年春季我国西南五省持续干旱，旱情牵动着全国人民的心．“一方有难、八方支援”，某厂计划生产1 800吨纯净水支援灾区人民，为尽快把纯净水发往灾区，工人把每天的工作效率提高到原计划的1.5倍，结果比原计划提前3天完成了生产任务．求原计划每天生产多少吨纯净水？
解：设原计划每天生产x吨纯净水，
则依据题意，得－＝3，
整理，得4.5x＝900，
解之，得x＝200.
把x＝200代入原方程，成立，
∴x＝200是原方程的解．
答：原计划每天生产200吨纯净水．
4．分式方程无解型问题
解答分式方程无解型问题的方法是：首先将分式方程转化为整式方程，然后再将分式方程的增根(使分式方程的分母为零的未知数的值)代入整式方程(因为方程若有增根，则增根是通过解整式方程而得到的，故它满足整式方程)，从而求出方程中的参数值．
5．生活中的分式方程
列分式方程解实际问题时，关键是从实际问题中找出等量关系．另外，还要注意对方程的根进行检验．检
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验时，要注意双重检验：既要根据所列方程进行检验，又要根据实际问题进行检验．
举例：甲、乙两人加工同一种玩具，甲加工90个玩具所用的时间与乙加工120个玩具所用的时间相等．已知甲、乙两人每天共加工35个玩具，问甲、乙两人每天各加工多少个玩具？
解：设甲每天加工x个玩具，则乙每天加工(35－x)个玩具．
根据题意，得＝，解得，x＝15.
经检验，x＝15是原方程的解且符合实际意义．
所以35－x＝35－15＝20(个)．
答：甲每天加工15个玩具，乙每天加工20个玩具．
【例4－1】 已知关于x的分式方程＝1有增根，则a＝________.
解析：去分母得a－1＝x＋2，将x＝－2代入得a－1＝0，解得a＝1.
答案：1
【例4－2】 若关于x的方程＝＋2无解，求m的值．
解：方程两边同乘(x－3)，得x－2＝m＋2(x－3)．
整理，得m＝－x＋4.
因为当x＝3时，分式方程无解，所以m＝1.
【例5】 某文化用品商店用2 000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6 300元．
(1)求第一批购进书包的单价是多少元？
(2)若商店销售这两批书包时，每个售价都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元？
解：(1)设第一批购进书包的单价是x元，则第二批购进书包的单价为(x＋4)元．
根据题意，得×3＝，解得x＝80.
经检验，x＝80是原方程的解．
答：第一批购进书包的单价是80元．
(2)解法一：×(120－80)＋×(120－84)＝1 000＋2 700＝3 700(元)．
解法二：×(1＋3)×120－(2 000＋6 300)＝12 000－8 300＝3 700(元)．
答：商店共盈利3 700元．
6．分式方程中的阅读题
在解分式方程中的阅读题时，首先要认真阅读题意，仔细观察列举的条件，观察比较所给各方程的特点和它的解与原方程的关系，发现解答过程的错误或探究得出其中的规律，然后根据题目的要求改正题目中的错误或者根据发现的规律解答提出的问题．
阅读理解题是新课标理念下的创新题型，应予以重视．
7．分式方程中的开放型问题
分式方程中的开放型问题，其答案一般不唯一．有两种类型：一是条件开放型问题，二是结论开放型问题．
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解答这类题目的一般方法是：通过条件，联想有关概念或法则，探求结论．例如：请根据所给方程＋＝1联系生活实际，编一道应用题．(要求题目完整，题意清楚，不要求解方程)
解：甲、乙两人合作加工一批零件，已知甲比乙每小时多加工5个零件，他们合作6 h完成了加工任务．问：甲、乙每小时各加工零件多少个？这批零件共有几个？
8．列分式方程解答综合性问题
解答应用题的关键是弄清题目中的数量关系，选择合适的关系式列出分式方程，求出方程的解来解决问题．如果涉及用其他知识的综合题，应认真分析题意建立适当的数学模型来解答．
例如：从甲地到乙地共50千米，其中开始的10千米是平路，中间的20千米是上坡路，余下的20千米又是平路．小明骑自行车从甲地出发，经过2小时10分钟到达甲、乙两地的中点，再经过1小时50分钟到达乙地，求小明在平路上的速度(假设小明在平路和上坡路上保持匀速)．
解：设小明在平路上的速度为x千米/时，
根据题意，得－＝3，
解得x＝15.
经检验，x＝15是所列方程的解，且符合题意．
答：小明在平路上的速度为15千米/时．
【例6】 先阅读下列一段文字，然后解答问题：
已知方程x－＝1的解是x1＝2，x2＝－.
方程x－＝2的解是x1＝3，x2＝－.
方程x－＝3的解是x1＝4，x2＝－.
方程x－＝4的解是x1＝5，x2＝－.
问题：观察上述方程及其解，再猜想出方程x－＝10的解．把你解题得到的收获用语言表述出来，和你的同伴互相交流．
解：x1＝11，x2＝－.方程的左边是未知数与其倒数的差，方程的右边是比带分数的整数部分大1的数与其倒数的差，此时方程的解就可以直接写出了．
【例7】 请选择一组a，b的值，写出一个形如＝b的关于x的分式方程，使它的解为x＝2，这样的分式方程可以是__________．
解析：根据题意，把x＝2代入方程＝b中，
化简整理，得a＝4b.
再任意给出一对a，b的值，使其满足a＝4b即可．
写出一个题目所要求的分式方程，如当a＝4，b＝1时，所写的方程为＝1.
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答案：＝1(不唯一)
【例8】 某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1 000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同．
(1)甲、乙工程队每天各能铺设多少米？
(2)如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量(以百米为单位)的方案有几种？请你帮助设计出来．
解：(1)设甲工程队每天能铺设x米，则乙工程队每天能铺设(x－20)米．
根据题意得＝，解得x＝70.
检验：x＝70是原分式方程的解．
答：甲、乙工程队每天分别能铺设70米和50米．
(2)设分配给甲工程队y米，
则分配给乙工程队(1 000－y)米．
由题意，得解得500≤y≤700.
所以分配方案有3种．
方案一：分配给甲工程队500米，分配给乙工程队500米；
方案二：分配给甲工程队600米，分配给乙工程队400米；
方案三：分配给甲工程队700米，分配给乙工程队300米．
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