第21课 四边形
【课标要求】
1、多边形的内角和外角和公式、正多边形的概念、四边形的不稳定性
2、平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形的概念和性质
3、四边形成为平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的条件
4、线、矩形、平行四边形、三角形的重心及物理意义
5、任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面
6、用几种图形进行简单的镶嵌设计
【知识要点】
1. 四边形有关知识
⑴ n边形的内角和为 ，外角和为 。
⑵ 如果一个多边形的边数增加一条，那么它的内角和增加 ，外角和增加 。
⑶ n边形过每一个顶点的对角线有 条，n边形的对角线总共有 条。
2．平行四边形的性质
（1）平行四边形对边__________，对角______；角平分线___________；邻角______。
（2）平行四边形两个邻角的平分线互相______，两个对角的平分线互相______。（填“平行”或“垂直”）
（3）平行四边形的面积公式_________________。
3．平行四边形的判定
（1）定义法：________________________________________________。
（2）边：①一组对边_____________________________________________；
②两组对边_____________________________________________。
（3）角：________________________________________________。
（4）对角线：________________________________________________。
4. 特殊的平行四边形的之间的关系
5. 特殊的平行四边形的判别条件
要使□ABCD成为矩形，需增加的条件是 ；
要使□ABCD成为菱形，需增加的条件是 ；
要使矩形ABCD成为正方形，需增加的条件是 ；
要使菱形ABCD成为正方形，需增加的条件是 。
6. 特殊的平行四边形的性质
边
角
对角线
面积
矩形
菱形
正方形
7．梯形的有关知识点
（1）梯形的面积公式是________________.
（2）等腰梯形的性质：边 ________________________________________________；
角 ____________________________；对角线 ___________。
（3）等腰梯形的判别方法①____________________________________________；
②____________________________________________。
（4）梯形的中位线长等于______________________。
（5）梯形的面积公式_________________ 或________________。
8. 平面图形的镶嵌
⑴ 当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角和恰好等于________时，就拼成一个平面图形。
⑵ 只用一种正多边形铺满地面，请你写出这样的一种正多边形____________。
9．易错知识辨析
多边形的内角和随边数的增加而增加,但多边形的外角和随边数的增加没有变化，外角和恒为360 º。
【典型例题】
1.下列四边形中，两条对角线一定不相等的是（ ）
A．正方形 B．矩形 C．等腰梯形 D．直角梯形
2.如图，矩形ABCD的边长AB＝6，BC＝8，将矩形沿EF折叠，
使C 点与A点重合，则折痕EF的长是（ ）
A．7．5 B． 6 C．10 D．5
3.如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，如果AC=10，BD=8，
AB=x，则x的取值范围是（ ）
A．1＜x＜9 B．2＜x＜18 C．8＜x＜10 D．4＜x＜5
4.如图，已知△ABC中，∠B＝∠C，点D、E分别在边AB、AC上，
且AD＝AE，试说明四边形BCED是等腰梯形．
A
B
C
D
E
F
G
5.如图已知：□ABCD中的平分线交边于，
的平分线 交于，交于．求证：．
6.如图，在矩形AB CD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P对同时出发，用t(秒）表示移动的时间（0＜t＜6），那么：
（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？
（2）求四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论
【课堂检测】
1.（2010福建泉州）四边形的外角和等于 度。
2．若一个多边形的内角和等于，则这个多边形的边数是（ ）。
A．5 B．6 C．7 D．8
3. 下面各角能成为某多边形的内角的和的是（ ）。
A．430° B．4343° C．4320° D．4360°
4.（2012江苏南京）如图，在□ABCD中，AD=10cm，CD=6cm，E为AD上一点，且BE=BC，CE=CD，则DE= cm。
5．□ABCD的周长是18，三角形ABC的周长是14，则对角线AC＝ 。
6．如图在□ABCD中DB＝DC，∠Ｃ＝70°，AE⊥BD于E，则∠DAE＝ 度。
7.（2012福建厦门）如图在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，若∠BAC＝50°，则∠ABC等于（ ）。
A．40° B．50° C．80° D．100°
8. （2012江苏淮安）菱形ABCD中，若对角线长AC＝6cm，BD=8cm，则边长AB＝ cm。
9.（2012江苏南通）如图，矩形ABCD的对角线AC＝8cm，∠AOD＝120º，则AB的长为（ ）。
A．cm B．2cm C．2cm D．4cmA
B
C
D
E
O
10.（2012山东泰安）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（ ）。
A. 3 B.3.5 C.2.5 D.2.8
11.（2012江苏徐州）如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在
BC上，且FC=BC。图中相似三角形共有（ ）。
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
12．梯形的中位线长为3，高为2，则该梯形的面积为 。
13. （2012福建厦门）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC 与BD相交于点O，若OB＝3，则OC＝ ．
14．下列四个命题中，假命题是（ ）
A．两条对角线互相平分且相等的四边形是正方形
B．菱形的一条对角线平分一组对角
C．顺次连结四边形各边中点所得的四边形是平行四边形
D．等腰梯形的两条对角线相等
15．用任意两个全等的直角三角形拼下列图形：
①平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④正方形 ⑤等腰三角形 ⑥等边三角形其中一定能够拼成的图形是______________（只填题号）。
16．用三种不同的方法把平行四边形面积四等分．（在所给的图形图如图1－4－78中，画出你的设计方案，画图工具不限）。
17.（2012浙江衢州）如图，在□ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BE=DF，连接AE、CF．请你猜想：AE与CF有怎样的数量关系？并对你的猜想加以证明．
18.（2012江苏泰州10分） 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE=CF．求证：四边形ABCD是平行四边形．
19.（2012浙江嘉兴、舟山）如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE．
（1）求证：BD=EC；
（2）若∠E=50°，求∠BAO的大小．
D
A
B
C
E
F
20.（2012贵州贵阳）如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E,F分别在BC和CD上.
（1）求证：CE=CF；
（2）若等边三角形AEF的边长为2，求正方形ABCD的周长.
21.D
C
E
A
B
F
（2012湖北襄阳）如图10，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC＝2AD，EA＝ED＝2，AC与ED相交于点F．
（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；
（2）当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．
【课后作业】
1．（2012福建泉州）边形的内角和为900°，则=______。
2.已知一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，那么这个多边形的边数是_____。
3.□ABCD中，若∠A＋∠C＝130 o，则∠D的度数是 。
4.□ABCD中，∠B=30°，AB＝4 cm，BC=8 cm，则四边形ABCD的面积是____。
5.（2012四川成都）如图．在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（ ）。
A．AB∥DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．OA=OC
6.（2012福建宁德）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是BD、CD的中点，EF＝6cm，则AB＝ cm。
7．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线EF交对角线A C于点F、E为垂足，连结DF，则∠CDF等于（ ）。
A．80° B．70° C．65° D．60°
8．直角梯形下底与一腰的夹角为60°，此腰与上底长都为8，则中位线长为_______。
9.（2012江苏苏州）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC.若AC=4，则四边形CODE的周长是（ ）。
A．4 B．6 C．8 D．10
10.（2012福建漳州）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠B=80o，则∠D的度数是（ ）。
A．120o B．110o C．100o D．80o
11．四边形ABCD中，若∠A︰∠B︰∠C︰∠D＝2︰2︰1︰3，那么这个四边形是（ ）
A．梯形 B．等腰梯形 C．直角梯形 D．任意四边形
12.（2012江苏泰州）下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连结矩形四边中点得到的四边形是菱形；④正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有（ ）。
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13.某商店出售下列四种形状的地砖：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形．若只选购其中一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（ ）。
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
14.（2012江苏淮安）已知：如图在□ABCD中，延长AB到点E，使BE=AB，连接DE交BC于点F。求证：△BEF≌△CDF
15.（2012江苏无锡）如图，在□ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且BE=CF．求证：∠BAE=∠CDF．
16.（2012浙江温州）如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm
，将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D,E,F，连结AD，求证：四边形ACFD是菱形。
17.（2012四川内江）如图11，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE＝∠BCE，∠AED＝∠CED，点G是BC、AE延长线的交点，AG与CD相交于点F．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）当AE＝2EF时，判断FG与EF有何数量关系？并证明你的结论．
A
B
C
D
18．已知，如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，∠C=30°，AD=2，BC=8.求梯形两腰AB、CD的长.
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