2.9有理数的乘方例题与讲解(2013-2014年北师大七年级上).doc

‎9 有理数的乘方 ‎1．乘方的意义 ‎(1)乘方的定义 求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．如图，a叫做底数，n叫做指数，an读作：a的n次幂(a的n次方)．‎ 乘方是一种特殊的乘法运算(因数相同)，幂是乘方运算的结果；乘方的底数是相同因数，指数是相同因数的个数．‎ ‎(2)乘方的意义 an表示n个a相乘．‎ 即an＝.‎ 如：(－2)3＝(－2)×(－2)×(－2)表示3个(－2)相乘．‎ 释疑点 (－a)n与－an的区别 ‎①(－a)n表示n个－a相乘，底数是－a，指数是n，读作：－a的n次方；②－an表示n个a乘积的相反数，底数是a，指数是n，读作：a的n次方的相反数．‎ 如：(－3)3底数是－3，指数是3，读作负3的3次方，表示3个(－3)相乘．(－3)3＝(－3)×(－3)×(－3)＝－27.‎ ‎－33底数是3，指数是3，读作3的3次方的相反数．－33＝－(3×3×3)＝－27.‎ ‎(3)乘方的书写 ‎①一个数可以看成这个数本身的一次方．如5就是51，通常指数1省略不写．‎ ‎②负数或分数做底数时，应用括号把负数或分数括起来，再在其右上角写指数，指数应写小一点．如(－1)2不能写成－12，2不能写成2.‎ ‎【例1】 填空：(1)式子(－1.2)10表示__________，其中底数是__________，指数是__________．‎ ‎(2)写成乘方的形式是__________，读作__________．‎ 解析：(1)乘方表示几个相同因数的积，相同的因数是底数，指数即相同因数的个数；(2)把n个相同因数的积写成乘方的形式，相同因数写成底数，本题中是底数，相同因数的个数2 013写成指数．‎ 答案：(1)10个－1.2相乘 －1.2 10‎ ‎(2)2 013 负的2 013次幂 ‎2．乘方运算的符号法则 乘方运算的符号法则 乘方运算就是根据乘方的意义把它转化为乘法进行计算．如：33＝3×3×3＝27.‎ ‎①正数的任何次幂都是正数；‎ ‎②负数的奇次幂是负数；‎ ‎③负数的偶次幂是正数；‎ ‎④0的奇次幂、偶次幂都是0.‎ 任何一个有理数的偶次幂都是非负数，即a2n≥0(n为正整数)；若用n表示正整数，则2n表示偶数，而用(2n＋1)表示奇数，则(－1)2n＝1，(－1)2n＋1＝－1.‎ ‎【例2】 下列说法不正确的是( )．‎ A．(－2)2 013是负数 B．－4200是正数 C．0的任何次幂(指数不为0)都等于它本身 D．－1的38次幂等于它的相反数 解析：－4200表示4的200次方的相反数，是负数，故B错误．‎ 答案：B ‎3．有理数乘方的运算 乘方运算的方法如下：‎ 与有理数的加、减、乘、除四种运算一样，有理数的乘方也是一种运算，其运算的方法是：‎ ‎①确定幂的符号；‎ ‎②进行乘法的运算．‎ 析规律 对于乘方的理解 ‎①乘方是一种运算，是特殊的乘法(因数相同的乘法运算)，幂是乘方运算的结果．‎ ‎②因为an表示n个a相乘，所以可以利用有理数的乘法进行乘方运算，即将乘方转化成乘法运算．‎ ‎4．绝对值与乘方非负性的综合运用 ‎(1)平方、立方及平方的非负性 在an中，若n＝2，则为a2，读作a的2次幂，也读作a的平方；当n＝3时，a3可读作a的3次方，也可读作a的立方．平方、立方是乘方中最常见的．‎ ‎①根据乘方与乘法的关系可知：正数的平方是正数，负数的平方也是正数，0的平方等于0.也就是任何一个有理数的平方都是非负数．‎ ‎②平方等于它本身的数：0,1；立方等于它本身的数：0,1，－1.‎ ‎(2)绝对值的非负性 任何一个数的绝对值都是非负数，即|a|≥0.‎ ‎(3)非负数的性质 性质：若几个非负数的和等于0，则这几个非负数都等于0.‎ 比如：若|a|＋b2＝0，则a＝0，且b＝0.‎ ‎_______________________________________________________‎ ‎_______________________________________________________‎ ‎_______________________________________________________‎ ‎_______________________________________________________‎ ‎_______________________________________________________‎ ‎_______________________________________________________‎ ‎【例3】 计算：‎ ‎(1)(－2)4；(2)－34；(3)3；‎ ‎(4)2；(5)－；(6)(－1)2 014.‎ 分析：根据乘方的意义和符号法则求解．(1)(－2)4表示4个(－2)相乘；(2)－34表示34的相反数；(3)3表示3个相乘；(4)2表示2个相乘；(5)－表示4除以7的2次方的相反数；(6)(－1)2 014表示2 014个(－1)相乘．‎ 解：(1)(－2)4＝(－2)×(－2)×(－2)×(－2)＝16；‎ ‎(2)－34＝－(3×3×3×3)＝－81；‎ ‎(3)3＝××＝；‎ ‎(4)2＝×＝；‎ ‎(5)－＝－＝－；‎ ‎(6)(－1)2 014＝＝1.‎ ‎【例4－1】 下列说法正确的有( )．‎ ‎①负数的平方是负数；②正数的平方是正数；③平方是它本身的数是0和1；④1的立方等于它本身；⑤－1的平方等于它的倒数；⑥任何一个有理数的平方都是非负数．‎ A．3个 B．4个 C．5个 D．2个 解析：‎ ‎①‎ ‎×‎ 乘方是特殊的乘法运算，两数相乘，同号得正，异号得负，故①，②都为正数 ‎②‎ ‎√‎ ‎③‎ ‎√‎ ‎0的平方等于0,1的平方等于1‎ ‎④‎ ‎√‎ ‎1的立方是1‎ ‎⑤‎ ‎×‎ ‎－1的平方是1，－1的倒数是－1，所以不相等 ‎⑥‎ ‎√‎ ‎0的平方是0，正数和负数的平方都是正数 答案：B ‎【例4－2】 若x，y为有理数，且(5－x)4＋|y＋5|＝0，则2 013的值为( )．‎ A．1 B．－‎1 ‎ C．2 D．－2‎ 解析：因为(5－x)4和|y＋5|都是非负数，且(5－x)4＋|y＋5|＝0，所以由非负数的性质得(5－x)4＝0，|y＋5|＝0，即5－x＝0，y＋5＝0.解得x＝5，y＝－5.‎ 所以2 013＝2 013＝(－1)2 013＝－1.故选B.‎ 答案：B ‎5．有理数乘方规律探究及应用 ‎(1)有理数乘方规律探究 ‎①观察给出的一组数字或式子，分析所包含的乘方运算，结合连续偶数、连续奇数等知识，探究其中的规律．‎ ‎②根据其规律，按要求进行计算或解答．‎ ‎(2)乘方的应用 生活中乘方的应用主要是裂变和对折．‎ ‎①裂变：将某一物体一分二、二分四、四分八、八分十六……像这样以倍增的速度发生变化就是裂变．‎ 裂变规律：裂变一次即原来的数量乘21，裂变两次乘22，裂变三次乘23，…，裂变n次乘2n.‎ ‎②对折：一张纸对折，对折次数与纸的层数、折痕数、单层纸占整张纸的面积比例之间有一定的关系，具体情况如下表：‎ 次数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ n 层数 ‎2‎ ‎4‎ ‎8‎ ‎…‎ ‎2n 折痕数 ‎1‎ ‎3‎ ‎7‎ ‎…‎ ‎2n－1‎ 单面占 的比例 ‎…‎ ‎【例5－1】 我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数(只有数码0和1)，它们两者之间可以互相换算，如将(101)2，(1011)2换算成十进制数应为：‎ ‎(101)2＝1×22＋0×21＋1×20＝4＋0＋1＝5；‎ ‎(1011)2＝1×23＋0×22＋1×21＋1×20＝11.‎ 按此方式，将二进制(1001)2换算成十进制数的结果是__________．(说明：20＝1)‎ 解析：从例子中可以看出，把二进制数转换成十进制数要通过乘方运算．二进制数的进率是2，右边第一位数字0或1就是十进制中的0或1，右边第二数位代表21，右边第三位代表22，右边第四位代表23，依此类推，相加即可转化为十进制数．所以(1001)2＝1×23‎ ‎＋0×22＋0×21＋1×20＝8＋0＋0＋1＝9.‎ 答案：9‎ ‎【例5－2】 面积是128平方分米的一张纸片，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，第三次再将剩下的一半剪去，…，如此下去，剪完第6次后剩下的面积还有多少平方分米？‎ 分析：‎ 剪的次数 剪后剩下部分的面积 第一次 平方分米 第二次 平方分米 第三次 平方分米 ‎…‎ ‎…‎ 第六次 平方分米 解：128×6＝128×＝2(平方分米)．‎ 答：剪完第6次后剩下的面积还有2平方分米．‎