初二（上）数学知识点 姓名
第三章——勾股定理
1、勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方
∵
∴
例1：（1）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7 cm，正方形A、B、C的面积分别是8 cm2、10 cm2、14 cm2，则正方形D的面积是_______cm2．
（2）如图，已知1号、4号两个正方形的面积为为7，2号、3号两个正方形的面积和为4，则a，b，c三个方形的面积和为
（3）如图，阴影部分是以直角三角形的三边为直径的半圆，两个小半圆的面积和为100．则大的半圆面积是__________．
例2：(1)在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝45°，AB＝3，则AC＝_______．BC＝______．
(2)在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝3，则AC＝_______．BC＝______.
(3)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC:AB=3:4，AB＝25，则AC＝_______．BC＝______.
(4).在Rt△ABC中, AB＝6，AC＝8，则BC= .
例3：（1）如图，已知AB＝13，BC＝14，AC＝15，AD⊥BC于D，求AD长．
（2）已知△ABC中，AB＝13， AC＝15，AD⊥BC，且AD=12，求BC的长.
例4：（1）在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝45°，BC＝6, 求AC和BC．
（2）在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，BC＝3，求AB和AC．
（3）若直角三角形中，一斜边比一直角边大2，且另一直角边长为6，求斜边的长．
（4）等腰三角形ABC的面积为12，底上的高AD为4，求它的腰长
（5）等腰三角形的周长是20 cm，底边上的高是6 cm，求它的面积.
例5：（1）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，BC＝8，DE垂直平分AB，求BE的长.
（2）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，BC＝8，AE平分∠CAE，ED⊥AB,求BE的长.
（3）如图，折叠长方形纸片ABCD，是点D落在 边BC上的点F处，折痕为AE，
AB=CD=6，
AD=BC=10，试求EC的长度.
2、勾股定理的逆定理：
一个三角形中，如果两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形
∵
∴
例1：每个小正方形的边长为1.
(1)求ΔABC的面积 (2)判断ΔABC的形状
例2：如图，在四边形ABCD中，AB＝3 cm，AD＝4 cm，BC＝13 cm，CD＝12 cm，∠A＝90°，求四边形ABCD的面积．
例3：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，AD＝9，BD＝1，CD＝3
试问：△ABC是直角三角形吗？为什么？
例4：如图，在△ABC中，AB=17 cm，BC=16 cm，BC边上的中线AD=15 cm，求AC
3、勾股数：
常见勾股数有：3、 、 ；5、 、 ；6、 、 ；
7、 、 ；8、 、 ；9、 、 ；
例：下列命题中，是假命题的是( )．
A．在△ABC中，若∠B＝∠C＝∠A，则△ABC是直角三角形
B．在△ABC中，若a2＝(b＋c) (b－c)，则△ABC是直角三角形
C．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形
D．在△ABC中，若a：b：c＝5：4：3，则△ABC是直角三角形
4、补充：①长方体盒子内最长的线段 ；
②长方体盒子外小虫爬行的最短路线 ；
圆柱体盒子内最长的线段
圆柱体盒子外小虫爬行的最短路线
两条路线比较：其一、AC+BC即高+直径
其二、
例1：如图，一块长方体砖宽AN＝5 cm，长ND＝10 cm，CD上的点B距地面的高BD＝8 cm，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，需要爬行的最短路径是多少？
例2：底面周长为12，高为8的圆柱体上有一只小蚂蚁要从点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短距离是( )．
A．10 B．8
C．5 D．4
例3：如图，将一根25 cm长的细术棒放入长、宽、高分别为8 cm、6 cm和cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是__________cm．
例4：如图，一透明的直圆柱状的玻璃杯，由内部测得其底部半径为3㎝，高为8㎝，今有一支12㎝的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度至少
为 m
5、勾股定理的应用
例1：（1）一轮船以16 n mi1e／h的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12 n mi1e／h的速度同时从港口出发向东南方向航行，那么离开港口A2h后，两船相距
（2）一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5
m，消防车的云梯最大升长为13 m，则云梯可以达到该建筑物的最大高度是
（3）一棵树在离地面9m处断裂，树的顶部落在离底部12 m处，树折断之前有_______m．
例2：如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为7m，
梯子的顶端B到地面的距离为24 m，现将梯子的底端A向外移动到
A'，使梯子的底端A'到墙根O的距离等于15 m．同时梯子的顶端
B下降至B'，那BB'等于 ( )
A．3m B．4 m C．5 m D．6 m
例3：（1）在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2m，求这里的水深是多少米？
（2）学校旗杆顶端垂下一绳子，小明把它拉直到旗杆底端，发现绳子还多2米，他把绳子全部拉直且使绳的下端接触地面，绳下端离开旗杆底部6米，则旗杆的高度是多少米？
例4：《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米／时．一辆“小汽车”在一条城市街道上直道行驶，如图某一时刻刚好行驶到路对面“车速检测仪A”正前方50米C处，过了6秒后，测得“小汽车”位置B与“车速检测仪A”之间的距离为130米，这辆“小汽车”超速了吗？请说明理由．
例5：铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少千米处？
E
A
D
B
C
例6：如图，A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC＝1 km，BD＝3 km，CD＝3 km现在河边CD上建一水厂向A、B两村输送自来水，铺设水管的费用为20 000元／千米，请你在河CD边上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用？
作业选做：
1、如图，圆柱高8 cm，底面半径2 cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行最短路程(取3)是_______cm．
2、如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B到点C的距离为5，如果一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点B，那么它需要爬行的最短距离是 ( )
A．5 B．25 C．15 D．35
H
E
D
G
F
C
B
A
3、如图，一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体的对角顶点G处，若AB=3cm,BC=5cm,BF=6cm,问蜘蛛要沿着怎样的路线爬行，才能最快抓到苍蝇？这时蜘蛛走过的路程是多少厘米？
4、在长和宽都是3、高是8的长方体纸箱的外部．一只蚂蚁从顶点A沿纸箱表面爬到顶点B点，那么它所行的最短路线的长是_________．
5、甲、乙两只轮船同时从港口出发，甲以16海里／时的速度向北偏东75°的方向航行，乙以12海里／时的速度向南偏东15°的方向航行，若他们出发1.5小时后，两船相距_______海里
6、已知DC=6m，AD=8 m，∠ADC=90°，BC=24 m，AB=26 m．求图中阴影部分的面积．
7、某开发区有一空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种草皮，经测量，∠B＝90°
，AB＝3m，BC＝4 m，AD＝12 m，CD＝13 m，若每种植1平方米草皮需要100元，问总共需要投入多少元？
8、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160米，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否回受到噪声的影响？说明理由．如果受影响，已知拖拉机的速度为18千米／时，那么学校受影响的时间为多少秒？
9、A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向125 km的B处，正以15km/h的速度沿BC方向移动。
(1)已知A市到BC的距离AD=35 km，那么台风中心从B点移到D点经过多长时间?
(2)如果在距台风中心40 km的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市受到台风影响的时间是多长(结算结果精确到1分钟)?
10、将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为320 cm，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图①所示．已知彩旗完全展平时的尺寸如图②所示，求彩旗下垂时最低处离地面的高度h．
11、如图，∠AOB=90°，OA=45cm，OB=15cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少?
12、如图，在一棵树的10 m高的D处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20 m处的池塘A处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘A处，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？
13、如图，点P是等边△ABC内的一点，分别连接PA、PB、PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接OQ．
(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并说明你的结论；
(2)已知PA：PB：PC=3：4：5，连接PQ，试判断△PQC的形状，请说明理由．
14、有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6 m和8 m．现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8 m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．
15、如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形(涂上阴影)。
(1)在图①中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；
(2)在图②、图③中，分别画两个不全等的直角三角形，使它们的三边长都是无理数．
微信/支付宝扫码支付