4.3 角
1．角的定义及其表示方法
(1)角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，
这两条射线是角的两条边．
角也可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．当终边和始边成一条直线
时，形成等角；当终边和始边重合时，形成周角．
(2)角的表示方法：
有四种表示角的方法：
①用一个阿拉伯数字表示单独的一个角，在角内用一段弧标注；
②用一个大写英文字母表示 单独的一个角，当角的顶点处有两个或两个以上的角时，
不能用这种方法表示角；
③用一个小写希腊字母表示单独的一个角；
④用三个大写英文字母表示任意一个角，这时表示顶点的字母一定要写在中间．
破疑点 角的理解 (1)角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线张开的幅度
大小有关，角可以度量，可以比较大小，可以进行运算；(2)如果没有特别说明，所说的角
都是指小于平角的角．
【例 1－1】 下列说法正确的是( )．
A．平角是一条直线 B．一条射线是一个周角
C．两边成一条直线时组成的角是平角 D．一个角不是锐角就是钝角
解析：要做对这类题目，一定要理解概念，严格按照概念进行判断，才能得出正确的结
论．平角、周角都是特殊角，虽然它们与一般角形象不符，但是它们仍然是角，它们都具有
一个顶点和两条边，只不过平角的两边成一条直线，周角的两边重合成一条射线罢了．
答案：C
【例 1－2】 如图，以点 B 为顶点的角有几个？请分别把它们表示出来．
分析：.射线 BA 与 BD，BA 与 BC，BD 与 BC 各组成一个角．表示顶点的字母必须写在
中间．当一个顶点处有多个角时，不能用一个表示顶点的大写字母表示，所以不能把∠ABC
错写成“∠B”．书写力求规范，如用数字或希腊字母表示角时要在靠近顶点处加弧线注上
阿拉伯数字或小写的希腊字母．注意：角的符号一定要用“∠”，而不能用“＜”．
解：以 B 为顶点的角有 3 个，分别是∠ABC，∠ABD，∠DBC.
2.角的度量与换算
(1)角度制：以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．
(2)角度的换算：
角的度量单位是度、分、秒，把一个周角 360 等分，每一份就是 1 度的角，记作 1°；
把 1 度的角 60 等分，每一份就是 1 分的角，记作 1′；把 1 分的角 60 等分，每一份就是 1
秒的角，记作 1″.
谈重点 角度的换算 (1)度、分、秒的换算是 60 进制，与时间中的时、分、秒的换算
相同；
(2)角的度数的换算有两种方法：
①由度化成度、分、秒的形式(即从高位向低位化)，用乘法，1°＝60′，1′＝60″；
②由度、分、秒化成度的形式(即从低位向高位化),1″＝
1
60 ′，1′＝
1
60 °，用除法．
度及度、分、秒之间的转化必须逐级进行转化，“越级”转化容易出错．
【例 2】 (1)将 70.23°用度、分、秒表示；(2)将 26°48′36″用度表示．
分析：(1)70.23°实际是 70°＋0.23°，这里 70°不要变，只要将 0.23°化为分，然后再把所
得的分中的小数部分化为秒．将 0.23°化为分，只要用 0.23 乘以 60′即可．
(2)将26°48′36″用度表示，应先将 36″化成分，然后再将分化成度就可以了．将 36″
化成分，可以用
1
60 ′乘以 36.
解：(1)将 0.23°化为分，可得 0.23×60′＝13.8′，再把 0.8′化为秒，得 0.8×60″＝
48″.
所以 70.23°＝70°13′48″.
(2)把 36″化成分，36″＝
1
60 ′×36＝0.6′，48′＋0.6′＝48.6′，把 48.6′化成度，
48.6′＝
1
60 °×48.6＝0.81°.
所以 26°48′36″＝26.81°.
3．角的比较与运算
(1)角的比较：
①度量法：用量角器量出角的度数，然后按照度数比较角的大小，度数大的角大 ，度
数小的角小；反之，角大度数大，角小度数小．
②叠合法：把两个角的顶点和一边分别重合，另一边放在重合边的同旁，通过另一 边
的位置关系比较大小．
解技巧 角的比较 ①在度量法中，注意三点：对中、重合、度数；②在叠合法中，要
注意顶点重合，一边重合，另一边落在重合这边的同侧．
(2)角的和差：
角的和、差有两种意义，几何意义和代数意义．几何意义对于今后读图形语言有很大帮
助，代数意义是今后角的运算的基础．
①几何意义：如图所示，∠AOB 与∠BOC 的和是∠AOC，表示为∠AOB＋∠BOC＝
∠AOC；∠AOC 与∠BOC 的差为∠AOB，表示为∠AOC－∠BOC＝∠AOB.
②代数意义：如已知∠A＝23°17′，∠B＝40°50′，∠A＋∠B 就可以像代数加减法一
样计算，即∠A＋∠B＝23°17′＋40°50′＝64°7′，∠B－∠A＝40°50′－23°17′＝
17°33′.
(3)角的平分线：
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图
所示，射线 OC 是∠AOB 的平分线，则有∠1＝∠2＝1
2
∠AOB 或∠AOB＝2∠1＝2∠2.
警误区 角的平分线的理解 角的平分线是一条射线，不 是线段，也不是直线，它必
须满足下面的条件：
①是从角的顶点引出的射线，且在角的内部；
②把已知角分成了两个角，且这两个角相等．
【例 3】 如图所示，OE 平分∠BOC，OD 平分∠AOC，∠BOE＝20°，∠AOD＝40°，
求∠DOE 的度数．解：∵OE 平分∠BOC，∴∠BOE＝∠COE.
∵OD 平分∠AOC，∴∠AOD＝∠COD.
又∵∠BOE＝20°，∠AOD＝40°，
∴∠COE＝20°，∠COD＝40°.
∴∠DOE＝∠COE＋∠COD＝20°＋40°＝60°.
4．余角和补角
(1)余角和补角的概念：
①余角：如果两个角的和等于 90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另
一个角的余角；
②补角：如果两个角的和等于 180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另
一个角的补角．
(2)性质：
余角的性质：同角(等角)的余角相等．
用数学式子表示为：∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°，又因为∠2＝∠4，所以∠1＝∠3.
补角的性质：同角(等角)的补角相等．
用数学式子表示为：∠1＋∠2＝180°，∠3＋∠4＝180°，又因为∠2＝∠4，所以∠1＝
∠3.
(3)方位角：
在航海、航空、测绘中，经常会用到一种角，它是表示方向的角，叫做方位角．通常以
正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向．通常要先写北或南，再写偏东还是偏西．
警误区 余角和补角的理解 余角和补角是成对出现的，它们之间互相依存，只能说
∠1 的余角是∠2，∠2 的余角是∠1，或者说∠1 与∠2 互余，而不能说∠1 是余角．
【例 4】 如图所示，直线 AB，CD，EF 相交于点 O，且∠AOD＝90°，∠1＝40°，求
∠2 的度数．
解：因为∠AOD＋∠AOC＝∠AOD＋∠BOD＝180°，
所以∠AOD＝∠AOC＝∠BOD＝90°.
又因为∠1＋∠FOC＝180°，∠DOF＋∠FOC＝180°，
所以∠DOF＝∠1＝40°.
所以∠2＝∠BOD－∠DOF＝90°－40°＝50°.
5．运用整体思想解决角的计算问题
整体思想就是根据问题的整体结构特征，不拘泥于部分而是从整体上去把握解决问题的
一种重要的思想方法．
整体思想突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集
成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有
意识的整体处理．
整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中
的具体运用．
【例 5】如图所示，∠AOB＝90°，ON 是∠AOC 的平分线，OM 是∠BOC 的平分线，求
∠MON 的大小．
分析：解决问题的关键是把∠AOC－∠BOC 视为一个整体，代入求值．
解：因为 ON 是∠AOC 的平分 线，OM 是∠BOC 的平分线，所以∠NOC＝1
2
∠AOC，
∠MOC＝1
2
∠BOC，
所以∠MON＝∠NOC－∠MOC＝1
2
∠AOC－1
2
∠BOC＝1
2(∠AOC－∠BOC)＝1
2
∠AOB＝
1
2
×90°＝45°.
6.钟表问题
对于钟表问题要掌握基本的数量关系，如走一大格为 30 度，一小格为 6 度，分针每分
钟转 6 度，时针每分钟转 0.5 度，分针是时针转速的 12 倍等．
若已知具体时间，求时针与分针的夹角，只需知道它们相距的格数，便可求得；若是已
知时针与分针的夹角求相应的时间，则一般需要建立方程求解．
【例 6】上午 9 点时，时针与分针成直角，那么下一次时针与分针成直角是什么时候？
解：设经过 x 分钟，时针与分针再次成直角，则时针转过(0.5x)°，分针转过(6x)°，如图
所示，可列方程 360－6x－(90－0.5x)＝90，解得 x＝32 8
11.即过 32 8
11
分钟，时针与分针再一
次成直角．
7.角中的实验操作题
实验操作题是近年来悄然兴起的一种新形式的考题，它集阅读、作图、实验于一体，要
求在规定的条件下进行实验，在动手操作中找出答案．
这类题目主要是能画出整个过程中的状态示意图，进而求出点的转动角度．
【例 7】如图，把作图用的三角尺(含 30°，60°的那块)从较长的直角边水平状态下开始，
在平面上转动一周，求 B 点转动的角度(在点的位置没有发生变化的情况下，一律看作点没
有转动)．
解：如图，从位置①到位置②，B 点转过 90°；从位置②到位置③，B 点转过 120°；从位置③到位置④，由题意 B 点看作不动．于是在整个过程中 B 点转过的角度为 90°＋120°
＝210°.
8.归纳猜想在角的问题中的运用
归纳猜想，是一种很重要的数学思想方法，数学史上的许多重要发现：如哥德巴赫猜想、
四色猜想、角谷猜想、费马定理等都是由数学家的探究、猜想、总结而得到的．学习数学必
须不断地去探索、猜想，不断地总结规律，才会有新发现．
运用n(n－1)
2
这个式子，能解决很多类似的问题，能达到一石数鸟，这都是大家善于借
鉴的结果．在学习过程中，注意不断总结、归纳规律，积累经验，运用总结出来的方法、技
巧解决问题．
【例 8】(1)若在 n 个人的聚会上，每个人都要与另外所有的人握一次手，问握手总次数
是多少？
(2)如图①中共有多少条线段？如图②中共有多少个角(指小于平角的角)?
解：(1)每个人可与另外(n－1)个人握一次手，n 个人就有(n－1)·n 次握手，其中各重复
一次，所以，握手总次数是 n(n－1)÷2 次．
(2)图①中每两个点构成一条线段(类似于两个人握一次手)，所以共有 n(n－1)÷2 条线段．
图②中每条射线都与另外(n－1)条射线构成一个角(类似于握手)，所以共有 n(n－1)÷2
个角．
9.方位角的应用
(1)如图，画两条互相垂直的直线 AB 和 CD 相交于点 O，其中一条为水平线，则图中四
条射线所指方向就是东西南北四大方向，具体是：向上的射线 OA 表示正北方向，向下的射
线 OB 表示正南方向，向右的射线 OD 表示正东方向，向左的射线 OC 表示正西方向．这四
大方向简称为上北下南左西右东．
建立这四条方向线后，对于点 P，如果点 P 在射线 OA 上，则称点 P 在正北方向；如果
点 P 在射线 OB 上，则称点 P 在正南方向；如果点 P 在射线 OC 上，则称点 P 在正西方向；
如果点 P 在射线 OD 上，则称点 P 在正东方向．
(2)在图中，东西和南北方向线把平面分成四个直角，如果点 P 在正北方向线 OA 与正
东(或正西)方向线 OD(或 OC)的夹角内，且射线 OP 与正北方向线 OA 的夹角是 m°，则称
点 P 在北偏东(或西)m°方向；如果点 P 在正南方向线 OB 与正东(或正西)方向线 OD(或 OC)
的夹角内，且射线 OP 与正南方向线 OB 的夹角为 m°，则称点 P 在南偏东(或西)m°方向．
例如图中的射线 OA，OB，OC，OD 分别称为：北偏东 40°、北偏西 65°、南偏西 45°、南偏东 20°.
对于偏向 45°的方位角，有时也可以说成东南(北)方向或西南(北)方向．如图中的 OC，
除了说成南偏西 45°外，还可以说是西南方向，但不要说成南西方向．
【例 9】如图，OA 的方向是北偏东 15°，OB 的方向是西偏北 50°.
(1)若∠AOC＝∠AOB，则 OC 的方向是________；
(2)OD 是 OB 的反向延长线，OD 的方向是____；
(3)∠BOD 可看作是 OB 绕点 O 逆时针方向至 OD，作∠BOD 的平分线 OE，OE 的方向
是____；
(4)在(1)、(2)、(3)的条件下，∠COE＝____.
解析：(1)∵OB 的方向是西偏北 50°，
∴∠1＝90°－50°＝40°，
∴∠AOB＝40°＋15°＝55°
∵∠AOC＝∠AOB，
∴∠AOC＝55°，
∴∠FOC＝∠AOF＋∠AOC＝15°＋55°＝70°，
∴OC 的方向是北偏东 70°.
(2)∵OB 的方向是西偏北 50°，
∴∠1＝40°，
∴∠DOH＝40°，
∴OD 的方向是南偏东 40°.
(3)∵OE 是∠BOD 的平分线，
∴∠DOE＝90°.
∵∠DOH＝40°，
∴∠HOE＝50°，
∴OE 的方向是南偏西 50°.
(4)∵∠AOF＝15°，∠AOC＝55°，
∴∠COG＝90°－∠AOF－∠AOC＝90°－15°－55°＝20°.
∵∠EOH＝50°，∠HOG＝90°，
∴∠COE＝∠EOH＋∠HOG＋∠COG＝50°＋90°＋20°＝160°.
答案：(1)北偏东 70°
(2)南偏东 40°
(3)南偏西 50°
(4)160°
微信/支付宝扫码支付