4.1 几何图形
1．几何图形
(1)定义：从实物中抽象出的各种图形通称为几何图形．几何图形是数学研究的主要对象之一．
(2)研究方向：关注事物的形状、大小、位置，不关注它的颜色、质量、原料等其他性质，如：一个同样大小的木质正方体和铁质正方体，尽管它们的构成不同，但还是代表了同样的几何体，从几何研究来看一样都是正方体．
(3)分类：包括立体图形和平面图形两种图形．
谈重点 几何图形 几何图形都是从实物图形中抽象出来的，与实物图形有一定的差距，只是形似而已．如现实中的长方体茶叶盒，有的是倒角(弧形)，我们仍然称它为长方体．
【例1】 下图中的一些物体与我们学过的哪些图形相类似？把相应的物体和图形连接起来．
2．立体图形
(1)定义：有些几何图形(如长方体、正方体、圆柱、球等)的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形．
(2)特点：整个图形不在同一平面上，给人以体的感觉，占有一定的空间，有体积．
(3)常见的立体图形：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．
球不是圆，球是几何体，圆是平面图形哦．
【例2】 请在图下横线上写出下列几何体的名称．
解析：以上为6种常见几何体的示意图．
答案：长方体、棱柱、圆锥、球、圆柱、正方体．
3.平面图形
(1)定义：有些几何图形(如线段、角、三角形、长方形、圆等)的各部分都在同一平面内，它们是平面图形．
(2)特点：整个图形都在同一平面上，忽略后不占有任何空间，只有面积，没有体积，是几何图形中的一类．
(3)常见的平面图形：线段、角、三角形、梯形、长方形、正方形、圆、扇形、….
破疑点 平面图形的理解 平面图形是我们初中数学研究的主要对象，它处在同一平面上，只研究它的构成和面积，没有厚薄之分，也就没有体积的情况存在．
【例3】 请在图下横线上写出下列图形的名称．
解析：常见平面几何图形，填上名称．
答案：长方形、圆、三角形、五边形、八边形、梯形．
4．从不同方向看立体图形
(1)意义：把一个立体图形表现在图纸上不容易，但一个立体图形从不同的方向看会得到不同形状的平面图形，因此在建筑、工程设计中，常常用从不同的方向看到的平面图形来描述立体图形．
(2)特点：同一个立体图形从不同的角度看，得到的平面图形并不完全一样，因此为了认识表达上的统一，总是从正面、左面、上面观察，以求全面．以后还要系统的讲解．
(3)探究方法：最直接的探究方法是，按照要求的方向，通过投影的方式得到视图．
谈重点 从不同方向看立体图形的要求 能画出一些简单几何体或它们的组合图的视图，能通过视图想象立体图形，培养空间观念．
【例4】 如图是一个小正方体块搭成的几何体从上面看到的图形，正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，请你画出它从正面和左面看到的图形．
分析：从正面看的图形反映了物体的左右、上下位置关系，从上面看的图形反映了物体的左右、前后位置关系，从左面看的图形反映了物体的前后、上下位置关系．通过图形可得出实物的摆放情形，然后再得出它的正面和左面图．
解：如图．
5．立体图形的展开图
(1)定义：有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图．
(2)平面图形与立体图形的转化：立体图形通过三视图、展开图转化为平面图形，平面图形也通过逆向想象或折叠围成立体图形．
解技巧 平面展开图的解决办法 解决这类问题的最好办法是动手折
叠，或剪开操作验证．
【例5】 请你把下列几何体和它的平面展开图用线连起来．
分析：此题实质是让我们分别找出长方体、圆锥体、圆柱体、六棱柱的平面展开图．
解：如图所示．
注意：半圆也是扇形的一种，所以有的圆锥的侧面展开图就是半圆．
6．点、线、面、体
(1)静态理解：
①体：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，简称体；
②面：包围着体的是面，面有平面和曲面之分；
③线：面与面相交的地方形成线，线有直线和曲线之分，线没有粗细之分；
④点：线与线相交的地方是点，点没有大小之分．
(2)动态理解：点动成线，线动成面，面动成体，也可以说：面组成体，线组成面，点组成线．
因此，几何图形都是由点、线、面、体组成的，点是构成图形的基本元素．
【例6】 将三角形绕直线l旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是( )．
解析：将A、C旋转后所得到的几何体均为圆锥，而将D旋转后所得到的几何体是一个圆台中挖去一个倒立圆锥，只有将B旋转得到的才是所示图形，故选B.
答案：B
7．实物图与几何图形
几何图形来源于实物图形，通过抽象的提炼，将复杂的实物分解，近似的抽象成各种规则的几何图形，反过来，很多人工设计建造的、制造的实物，又是人们通过图形设计完成的，因此研究图形，了解各类图形的特点，用图形美化丰富我们的生活，这是根本．
数学研究实物，更多关注的是实物的形状、大小、位置，及图形的构成、表达等问题．因此了解数学，认识数学来源于生活，又改变着我们的生活，它是一门实用工具学，所以要学好数学．
【例7－1】 下列图形：①长方形 ②正方体 ③球 ④棱锥 ⑤六边形 ⑥圆柱
属于平面图形的是( )．
A．①② B．①⑤ C．③⑤ D．⑥④
解析：平面图形一般都称为形，立体图形一般都称为体．①⑤是，故选B.
答案：B
【例7－2】 下列物体：圆筒形的茶杯，篮球，数学课本，埃及金字塔，魔方，砖头，其中形状类似于棱柱的有____个( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：三棱柱、四棱柱都称为棱柱(长方体、正方体也是四棱柱)．所以数学课本、魔方、砖头都是．
答案：C
8.由点、线、面、体看图形的构成的实际意义
(1)正像物质是由原子、分子构成的一样，一个几何图形，也是由一些基本的图形构成的，线从集合的角度讲，是由无数个点排列组合而成，因此在某条线上的点就具有共同的特点．面可以理解成有无数条线排列组合而成，体可以理解成有无数的面排列组合而成，正是由此，在医学上的切片影像拍照才能得以实现，数学中才有横截面的说辞．
(2)点是构成图形的最基本的元素，正是由一个一个的点构成了丰富多彩的图形，像运动会上的花环队，能排出一句句激动人心的标语，团体操表演也是靠着众多的点(人)组成的一幅幅画卷，电脑、电视机屏幕显示图形都是用的点阵，还有打印机更是靠一个一个的点打出了每一个字．
所以研究、理解几何图形的构成有学习上的意义，也有现实中的意义．
【例8－1】 粉笔盒的形状类似于长方体，它是由__________个面围成的，有__________条线，有__________个顶点，经过每个顶点都有__________条棱．
解析：包围着体的是面，面与面相交的地方是线，线与线相交的地方是点．
答案：6 12 8 3
【例8－2】 如图把下面第一行的平面图形绕线旋转一周，便能形成第二行的某个几何体，请用线连一连．
9.从不同方向看立体图形的应用
从不同方向看立体图，是用平面图形表达立体图形的常用方法，在建筑、设计工程和实际生活中经常用到，通过从不同方向看立体图形可以将立体图形和平面图形互相转化，既便于用图纸表达、交流、传播，还能培养我们的空间想象力．根据新课标要求，在目前阶段我们只要求能掌握从一组图形中识别出哪些是某个立体图形从哪个方向看得到的，对于一些不易用语言表达的立体图形(如组合图形)，可以画出它们的示意图，不要求严格的几何画法，尺寸要求不严格，形状正确，大小大致相当即可．
【例9】 如图(1)放置的一个机器零件，若从正面看是图(2)，则从其左面看是( )．
解析：由从正面看得到图(2)可知，该图形上下的高度一样，从左面看，前后宽度一样，所以只有A合适，故选A.C选项方向不对，D选项为从上面看得到的视图．
答案：A
10.从动态角度理解正方体的展开图
正方体的平面展开图有11种不同的形状，我们识别记忆感觉困难，但从运动的角度来领会它们，会感觉容易些．
(1)在图(1)到图(6)的六个图形中，它们的共同特点是由四个正方形连在一起组成的，观察会发现，其中图(2)、图(3)、图(4)可以看成是由图(1)中的6号正方形从左向右运动到不同位置时得到的图形，而图(5)、图(6)可以看成是由图(2)中的5号正方形向右运动时得到的两个图形，因此由四个正方形连在一起的展开图一共有上述六种情况．
(2)在图(7)到图(10)的四个图形中，它们的共同特点是由三个正方形连在一起构成的．
其中图(8)、图(9)、图(10)可以看成是由图(7)中的4号正方形从5号正方形旁边移动到1号正方形旁边，然后再依次从左向右运动得到的，因此由三个正方形连在一起的展开图一共有上述四种情况．
(3)另外正方体的平面展开图还有一种形状，如图(11)，它是由两个正方形连在一起构成的．
图(11)
【例10－1】
在下列图形中(每个小四边形皆为大小一样的正方形)，可以是一个正方体表面展开图的是( )．
解析：一般解决时采用逆向思维，首先确定其下底面，再确定其侧面，最后确定其上底面．通过想象或具体操作，判断完成，但由左栏的总结可直接选C.
答案：C
【例10－2】 下列图形中，不是立方体表面展开图的是( )．
解析：根据左栏总结的11种情况看，只有C不是11种情况之中的，所以C图不是正方体的侧面展开图．
答案：C
【例10－3】 水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示．如图，是一个正方体的平面展开图，若图中的“似”表示正方体的前面，“锦”表示右面，“程”表示下面，则“祝”、“你”、“前”分别表示正方体的__________．
解析：由展开图复原可知：“似”与“祝”“程”与“你”“前”与“锦”相对，故“祝”、“你”、“前”分别表示正方体的后面、上面、左面．
答案：后面、上面、左面
【例10－4】 如图，是一个正方体的平面展开图，每个面均标注了字母，则展开前与面E相对的是( )．
A．面D B．面B
C．面C D．面A
解析：本题是考查正方体的平面展开图，将平面图折成正方体后，可以发现规律：相对的面之间隔着一个正方形．所以与面E相对的面应该是面D，故选A.
答案：A
11.从平面展开图中的数、字、图案角度探索对应题
这类题目一般是以正方体的展开图为基础，在立体图中的每个小正方形面上标上字，连成一段语句，或在某些面上标上一些符号图形，因而使得展开图更复杂，很多时候都是正方体的展开图，但有的不符合实际对应关系，因而判断有困难，这类题目的解法，一般是抓住一些关键的字符(图形特点)，空间想象复原，找准对应关系，判断是否符合实际，也可制作示意图，操作验证解决．
解技巧 平面展开图中的对应规律 平面展开图包含图形时，判断难度较大，要根据图的特点：图形形状、角的方向，相邻关系等，识别判断．
将正方体表面展开图折成正方体时，相对的面有以下规律：(1)展开图中的各个正方形都是正方体的一个面；(2)展开图中，相邻的两个正方形是正方体中相邻的两个面；(3)正方体中相对的两个面在展平图的同行或同列中，中间隔一个正方形；(4)若在展开图中与一个正方形同行或同列中隔一个面的位置是空白的，则与该位置相邻的一个正方形，即是相对面．
【例11－1】 如图(1)是一个小正方体的平面展开图，小正方体从图(2)所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格，这时小正方体朝上一面的字是( )．
A．奥 B．运 C．圣 D．火
解析：正方体依次翻到3时，3所对应的字是“迎”，由平面展开图可知“迎”与“火”相对，所以朝上一面的字是“火”．
答案：D
【例11－2】 如图，有一个正方体纸盒，在它的三个侧面分别画有三角形、正方形和圆，现用一把剪刀沿着它的棱剪开成一个平面图形，则展开图可以是( )．
解析：根据条件观察图形，A、B中折成正方体后，三角形与正方形不相邻；D折成正方体放成和原图一样位置，三角形在左边，都不符合，应选C.
答案：C
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