4.2 直线、射线、线段
1．直线
(1)概念：直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始的概念，直线常用“一根拉得很紧的细线”，“一张纸的折痕”等实际事物进行描述．
(2)特点：直线向两方无限延伸，不可度量，没有粗细；并且同一平面内的两条相交直线只有一个交点．
(3)直线的基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．即“两点确定一条直线”．
(4)直线的两种表示法：一是用一个小写字母表示：如直线a，b，c或直线l等．另一个是用直线上两个点的大写字母表示，如：直线AB或直线BA.如图：表示为直线l或直线AB(点的字母位置可以交换)．
(5)直线与点的位置关系：一是点在直线上，也叫做直线经过这点；另一种是点在直线外，也叫做直线不经过这个点．
【例1－1】 下面几种表示直线的写法中，错误的是( )．
A．直线a B．直线Ma
C．直线MN D．直线MO
解析：直线的表示法有两种，一种是用一个小写字母表示，另一种是用直线上两个点的大写字母表示，所以直线Ma这种表示法不正确，故选B.
答案：B
【例1－2】 如图，下列说法错误的是( )．
A．点A在直线m上 B．点A在直线l上
C．点B在直线l上 D．直线m不经过B点
解析：点与直线有两种位置关系，一是点在直线上，也称作直线过这点，另一种是点在直线外．所以C错误．
答案：C
2．射线
(1)定义：直线上一点和它一旁的部分，叫做射线．它是直线的一部分．如图就是一条射线，其中O是射线的端点．
(2)表示法：同直线一样，射线也有两种表示方法，一种是用一个小写字母表示：如射线a，b，c或射线l等，另一个是用射线上两个点的大写字母表示，其中前面的字母表示的点必须是端点．如图：表示为射线l或射线OA.
注意：表示射线端点的字母一定要写在前面．
(3)特点：射线只有1个端点，向一方无限延伸，因此不可度量．
【例2－1】 如图，若射线AB上有一点C，下列与射线AB是同一条射线的是( )．
A．射线BA B．射线AC
C．射线BC D．射线CB
解析：端点相同，在同一条直线上，且方向一致，就是同一条射线，所以B正确．
答案：B
3．线段
(1)定义：直线上两点和它们之间的部分，叫做线段．它是直线的一部分．
(2)特点：有两个端点，不能向两方无限延伸，因此它有长度，有大小．
(3)表示法：同直线一样，线段也有两种表示法，一种是用一个小写字母表示，如线段a，b，c.另一种是用线段两个端点的大写字母表示．如图：可以表示为：线段AB或线段BA，或线段a.
(4)线段的基本性质：两点的所有连线中，线段最短，简单的说成：“两点之间，线段最短．”意义：选取最短路线的原则和依据．
(5)两点间的距离：连接两点的线段的长度，叫做这两点间的距离．
破疑点 线段的表示 表示线段的两端点的字母可以交换，如线段AB也是线段BA，但端点字母不同线段就不一样．
【例3】 如图有几条直线？几条射线？几条线段？并写出．
分析：直线主要看有几条线向两方无限延伸，图中只有一条；射线主要看端点，再看延伸方向，3个端点，所以有6条，线段主要是看端点，3个端点，所以有3条．
解：有一条直线AB(或AC，AD，AE，BE，BD，CD，…)；射线有6条：CA，CB，DA，DB，EA，EB.线段有3条：CD，CE，DE.
4.线段的画法
(1)画一条线段等于已知线段
画法：①测量法：用刻度尺先量出已知线段的长度，画一条等于这个长度的线段；
②尺规法：如图：画一条射线AB，在这条射线上截取(用圆规)AC＝a.
(2)画线段的和差
测量法：量出每一条线段的长度，求出它们的和差，画一条线段等于计算结果的长度．如：已知线段a，b(a＞b)，画线段AB＝a－b，就是计算出a－b的长度，画出线段AB等于a－b的长度即可．
尺规法：如图，已知线段a，b，画一条线段，使它等于2b－a.
画法：如图，①画一条射线AB，在这条射线上连续截取(用圆规)AC=2b，
②再以A为一个端点，截取AD=a，那么DC=2b－a.
【例4】 如图，已知线段a，b，c，画一条线段，使它等于a＋b－c(用尺规法)．
画法：如图，①画射线(直线也可)AB，在射线AB上分别截取AC＝a，CD＝b.
②以D为一个端点在AD上截取DE＝c，线段AE即为所求．
5．线段的比较
(1)测量法：就是用刻度尺测量出两条线段的长度，再比较它们的大小．
(2)叠合法：把两条线段的一端对齐，放在一起进行比较．如图：
①若C点落在线段AB内，那么AB＞AC；
②若C点落在线段AB的一个端点上，那么AB＝AC；
③若C点落在线段AB外(准确的说是AB的延长线上)，那么AB＜AC.
谈重点 线段的比较 用叠合法比较两条线段的大小，一端一定要对齐，看另一个端点的落点，测量法要注意单位的统一．
【例5】 已知：如图，完成下列填空：
(1)图中的线段有________、________、________、________、________、________共六条．
(2)AB＝________＋________＋________；AD＝________＋________；CB＝_______＋__________.
(3)AC＝AB－__________；CD＝AD－__________＝BC－__________；
(4)AB＝__________＋__________.
解析：根据图形和线段间的和差关系填空，注意(4)题有两种可能．
答案：(1)AC AD AB CD CB DB
(2)AC CD DB AC CD CD DB
(3)CB AC DB
(4)AD DB或AC CB
6．线段中点、线段等分点
(1)定义：点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫做线段AB的中点．
(2)拓展：把一条线段分成相等的三条线段的点叫做这条线段的三等分点….
(3)等量关系：在上图中：
AM＝BM＝AB；2AM＝2BM＝AB.
【例6】 如图，点C是线段AB的中点．
(1)若AB＝6 cm，则AC＝__________cm.
(2)若AC＝6 cm，则AB＝__________cm.
解析：若AB＝6 cm，那么AC＝AB＝3(cm)．
若AC＝6 cm，那么AB＝2AC＝2×6＝12(cm)．
答案：3 12
7．关于延长线的认识
延长线是重要的，也是应用较多的几何术语，是初学者最易错，最不好理解的地方，下面介绍几种关于延长线的术语：
如图(1)延长线段AB，就是由A往B的方向延长，并且延长线一般在作图中都用虚线表示；如图(2)叫做反向延长线段AB，就是由B向A的方向延长；如图(3)延长AB到C，就是到C不再延长；如图(4)延长AB到C，使AB＝BC；如图(5)点C在AB的延长线上等．
几种常见的错误，延长射线AB或延长直线AB，都是错误的，图(6)中只能反向延长射线AB.
【例7－1】 若AC＝AB，那么点C与AB的位置关系为( )．
A．点C在AB上 B．点C在AB外
C．点C在AB延长线上 D．无法确定
答案：D
【例7－2】 画线段AB＝5 cm，延长AB至C，使AC＝2AB，反向延长AB至E，使AE＝CE，再计算：
(1)线段AC的长；(2)线段AE，BE的长．
分析：按要求画图．
由画图过程可知：AC＝2AB，且C在AB的延长线上，所以AB＝BC＝AC，E在AB的反向延长线上，且AE＝CE，所以AB＝BC＝AE＝5 cm.
解：如图：(1)因为AC＝2AB，所以BC＝AB＝5 cm，
所以AC＝AB＋BC＝5＋5＝10 (cm)．
(2)因为AE＝CE，所以AE＝AB＝BC＝5 cm，
所以BE＝AB＋AE＝5＋5＝10 (cm)．
8.线段的计数公式及应用
一条直线上有n个点，如何不重复不遗漏地数出该直线上分布着多少条线段呢？以下图为例：
为避免重复，我们一般可以按以下方法来数线段的条数：即A→AB，AC，AD，B→BC，BD，C→CD，线段总数为3＋2＋1＝6，若是更多的点，由以A为顶点的线段的条数可以看出，每个点除了自身以外，和其他任何一个点都能组成一条线段，因此当有n个点时，以A为顶点的线段就有(n－1)条，同样以B为顶点的线段也有(n－1)条，因此n个顶点共有n(n－1)条线段；但由A到B得到的线段AB和由B到A得到的线段BA是同一条，而每条线段的数法都是如此，这样对于每一条线段都数了2次，所以除以2就是所得线段的实际条数，即当一条直线上有n个点时，线段的总条数就等于n(n－1)．
【例8－1】 从秦皇岛开往A市的特快列车，途中要停靠两个站点，如果任意两站之间的票价都不相同，那么有多少种不同的票价？有多少种车票？
分析：这个问题相当于一条直线上有4个点，求这条直线上有多少条线段．因为任意两站之间的票价都不相同，因此有多少条线段就有多少种票价，根据公式我们很快可以得出有6种不同的票价，因为任意两站往返的车票不一样，所以，从秦皇岛到达目的地有12种车票．
解：当n＝4时，有＝＝6(种)不同的票价．
车票有6×2＝12(种)．
答：有6种不同的票价，有12种车票．
【例8－2】 在1,2,3，…，100这100个不同的自然数中任选两个求和，则不同的结果有多少种？
分析：本题初看似乎和线段条数的计数规律无关，但事实上，若把每个数都看成直线上的点，而把这两个数求和得到的结果看成是1条线段，则其中的道理就和直线上线段的计数规律是完全一致的，因而解法一样，直接代入公式计算即可求出结果．
解：不同的结果共有：n(n－1)＝×100×(100－1)＝4 950(种)．
答：共有4 950种不同的结果．
9.与线段有关的计算
和线段有关的计算主要分为以下三种情况：
(1)线段的和差及有关计算，一般比较简单，根据线段间的和差由已知线段求未知线段．
(2)有关线段中点和几等分点的计算，是本节的重点，其中以中点运用最多，这也是用数学推理的方式进行运算的开始．
(3)综合性的运算，既有线段的和差，也有线段的中点，综合运用和差倍分关系求未知线段．
解技巧 线段的计算 有关线段的计算都是由已知，经过和差或中点进行转化，求未知的过程，因此要结合图形，分析各段关系，找出它们的联系，通过加减倍分的运算解决．
【例9－1】 如图，线段AB＝8 cm，点C是AB的中点，点D在CB上且DB＝1.5 cm，求线段CD的长度．
分析：根据中点关系求出CB，再根据CD＝CB－DB求出CD.
解：CB＝AB＝×8＝4(cm)，CD＝CB－DB＝4－1.5＝2.5(cm)．
答：线段CD的长度为2.5 cm.
【例9－2】 如图所示，线段AB＝4，点O是线段AB上一点，C，D分别是线段OA，OB的中点，求线段CD的长．
解：由于C，D分别是线段OA，OB的中点，
所以OC＝OA，OD＝OB，所以CD＝(OA＋OB)＝AB＝×4＝2.
答：线段CD的长为2.
10．直线相交时的交点数
两条直线相交有1个交点，三条直线两两相交最多有3个交点，那么n条直线两两相交最多有多少个交点？
下面以5条直线两两相交最多有多少个交点为例研究：
如图，当有5条直线时，每条直线上有4个交点，共计有(5－1)×5个交点，但图中交点A，既在直线e上也在直线a
上，因而多算了一次，其他交点也是如此，因而实际交点数是(5－1)×5÷2＝10个，同样的道理，当有n条直线时，在没有共同交点的情况下，每条直线上有(n－1)个交点，共有n条直线，交点总数就是n(n－1)个，但由于每一个点都数了两次，所以交点总数是n(n－1)个．
【例10－1】 三条直线a，b，c两两相交，有__________个交点( )．
A．1 B．2 C．3 D．1或3
解析：三条直线a，b，c两两相交的情形有两种，如图．
答案：D
【例10－2】 同一平面内的12条直线两两相交，(1)最多可以有多少个交点？(2)是否存在最多交点个数为10的情况？
分析：(1)将n＝12代入n(n－1)中求出交点个数．(2)交点个数为10，也就是n(n－1)＝10，即n(n－1)＝20，没有两个相邻整数的积是20，所以不存在最多交点个数是10的情况．
解：(1)12条直线两两相交，最多可以有：
n(n－1)＝×12×(12－1)＝66(个)交点．
(2)不存在最多交点个数为10的情况．
11.最短路线选择
“两点之间，线段最短”是线段的一条重要性质，运用这个性质，可以解决一些最短路线选择问题．
这类问题一般分两类：一类是选择路线，选择从A到B的最短路线，连接AB所得到的线段就是；另一类是选择一个点，使这个点到A，B的距离之和最小，根据“两点之间，线段最短”这条线段上的任一点到A到B的距离之和都等于这条线段的长度，所以这条线段上的任一点都符合要求．但这类问题往往还有附加条件，如：这点还要在某条公路上，某条河上等，所以要满足所有条件．
解技巧 求最短路线 对于第一类问题，只要将A，B放到同一个平面上，连接AB即可得到所需线路．对于第二类问题，连接AB，它们的交点一般就是所求的点．
【例11】 如图(1)，一只壁虎要从圆柱体A点沿着表面尽可能快的爬到B点，因为B点处有它要吃的一只蚊子，则它怎样爬行路线最短？
分析：要想求最短路线，必须将AB放置到一个平面上，根据“两点之间，线段最短”，连接AB，所得路线就是所求路线，因此将圆柱体的侧面展开如图(2)所示，连接AB，则AB是壁虎爬行的最短路线．
解：在圆柱上，标出A，B两点，将圆柱的侧面展开(如图(2))，连接AB，再将圆柱复原，会得到围绕圆柱的一条弧线，这条线就是所求最短路线．
析规律 立体图形中的最短路线 在立体图形中研究两点之间最短路径问题时，通常把立体图形展开成平面图形，转化为平面图形中的两点间的距离问题，再用平面内“两点之间，线段最短”求解．
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