4.2 立体图形的视图
1．由立体图形到视图
(1)三视图的概念
①视图：视图来自于投影．灯光的光线可以看作是从一点发出的，我们称这种投影为中心投影；而太阳的光线可以看作是平行的，我们称这种投影为平行投影．视图是一种特殊的平行投影．
②三视图：从正面得到的投影，称为主视图；从上面得到的投影，称为俯视图；从侧面得到的投影，称为侧视图，依投影方向不同，有左视图和右视图．通常将主视图、俯视图与左(或右)视图称做一个物体的三视图．
(2)三视图的画法
画立体图形的三视图，实际上采取的是常见的正投影的方法，即当光线与投影面垂直时的投影．人在阳光下产生影子，物体在光线的照射下也会产生投影，如图，在自上而下垂直于平面的光线的照射下，线段AB的位置不同可分别得到的投影为一点、和它等长的线段、比它短的线段．
因此，当想象不出几何体的三视图时，可以想象在物体的后面有一个投影面，有一束光线以垂直于投影面的角度照射物体，在投影面上形成的影子即相应的视图．例如：初学画三视图的同学，很容易把图1中的几何体的正视图画成图2的样子．但是，从投影的角度就很容易画成图3的样子．
图1
【例1】 画出图中几何体的三种视图．
分析：图中几何体的主视图共两行，下面一行有3个正方形，上面一行有1个正方形，从左到右的第一列有2个正方形，第二、三列各有1个正方形，左视图、俯视图也可类似画出．
解：
谈重点 用行列的思考方式画视图 采用行列的思考方式可以有效解决画视图这一难点问题．
2．由视图到立体图形
由物体的三视图辨认出该物体的形状，是一个充满丰富想象力和创造性的探索过程．根据三视图描述基本几何体或实物原型，是我们学习的重点，也是难点．为了突破这一难点，我们必须善于应用比较、猜测、综合、归纳、模拟、与位置有关的推理、有条理的具体操作等一系列的数学思维方法，必须具有创新精神，实验精神，努力发展自己的空间观念．
具体的思考方法：要根据主视图想象物体的前面；根据左视图想象物体的左侧面，根据俯视图想象上面，然后综合起来考虑整体图形．
【例2】 若干桶方便面摆放在桌子上，如图所给的是它的三视图，则这一堆方便面共有( )．
A．5桶 B．6桶 C．9桶 D．12桶
解析：根据俯视图及主视图可以确定第1行，第2列有2桶方便面；再结合正视图与左视图可知：第1行，第1列处有3桶方便面；第2行第1列处有1桶方便面，所以共有6桶方便面．
答案：B
3．画由小立方体组成的立体图形的三视图
由俯视图画主视图和左视图，其要领是：
(1)主视图与俯视图的列数相同，其每列个数是从上面看到的平面图中该列最大的数字；
(2)左视图的列数与俯视图的行数相同，其每列的个数是从上面看到的平面图中该行最大的数字；
(3)主视图的行数与左视图的行数相同，其每行的个数是从正面看到的平面图中该行最大的数字．
俯视图
【例3】 如图，是由小立方块堆成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，请你画出该几何体的主视图和左视图．
分析：根据该几何体的俯视图，可知其主视图有三列：第一列有4个小立方块，第二列有2个小立方块，第三列有3个小立方块．其左视图也有三列：第一列有2个小立方块，第二列有4个小立方块，第三列有3个小立方块．
解：该几何体的主视图和左视图如图所示．
4.画简单组合图形的三视图
(1)画一个立体图形，因选取的主视图方向不同，结果一般也不同，为便于画图，一般将适当的位置选作主视方向，三个不同的方向应该互成直角．
(2)一般把左视图画在主视图的右方，俯视图画在主视图的下方，并使得视图各部分的比例恰当，其中主视图，俯视图的宽度相等；左视图的宽度与俯视图的高度相等．
(3)看得见的线用实线画，看不见的线用虚线画．
简单组合图形的三视图的画法，与单个立体图形的三视图的画法是一致的，注意两个图形的组合处的线条的画法．
解技巧 画组合立体图形三视图的关键 画简单的组合立体图形的三视图时，一定要仔细观察图形，想象出实物的形状和大小．
【例4】 画出如图所示的物体的三视图，图中箭头表示从正面看的观察方向．
分析：按箭头所示方向观察这个物体时，只能看这个物体上用阴影表示的两个面．它们都是长方形，但长、高及大小都不相同．两个长方形之间没有空隙，所以从正面看是由两个长方形组成的，二者是互相连接的，一个在上，一个在下．从左面看也是一上一下两个长方形组成的，二者左侧对齐．从上面看是由上向下看到的两个长方形，较小的一个在另一个的内部，且有一条边在较大的长方形的边上．
解：如图．
5．由视图确定最多和最少立方体的个数
我们在研究几何体视图问题时，经常会遇到已知几何体的主视图和俯视图，确定搭成几何体的小立方体的个数最多和最少问题．对于这类问题，同学们普遍感到棘手，下面介绍一种比较简便易行的解题策略，供同学们参考．
我们可以根据主视图，在俯视图上的每一个小正方形上标出每一个小正方形所在处可能摆放小立方体的数目，再把这些数按照所给要求相加，从而计算出搭成几何体所需立方体的个数．具体方法如下：
第一步：根据主视图数出每列中的小正方形个数，在俯视图对应的列(从左到右的顺序)的第一行(从上到下的顺序)的每一个小正方形内填入相应的数字；
第二步：在俯视图对应的列的其他行的小正方形内填入不超过第一行且不低于1的数字；
第三步：若要求的是最多需要小立方体的个数，则应取俯视图中每一个小正方形上最大的数字(若相同，则任取一个)，再把它们相加，即可得最多小立方体的个数；若要求的是最少需要小立方体的个数，则应取俯视图中每一个小正方形上最小的数字(若相同，则任取一个)，再把它们相加，即可得最少小立方体的个数．
【例5】 用同样大小的小立方体搭成一个几何体，使得它从正面和上面观察所得的图形如图1、图2所示，这样的几何体只有一种吗？试探究要搭成一个这种几何体最少需要多少个小立方体？最多需要多少个小立方体？
分析：显然搭成这样的几何体的方式不止一种．由视图可知，从正面观察所得的图形就是这个几何体的主视图(图1)，从上面观察所得的图形就是这个几何体的俯视图(图2)．主视图有三列，第一列3个，在俯视图第一列的三个小正方形中至少有一个所在处小立方体的个数为3(不妨设为最上面一行)，第一列其余两个小正方形所在处小立方体的个数不超过3且不低于1，所以可能的数目为1,2,3.运用同样的方法，由主视图第二列2个，可知在俯视图第二列的三个小正方形中至少有一个所在处小立方体的个数为2(不妨设为最上一行)，其余两个小正方形所在处小立方体的个数可能为1或2；俯视图第三列上的小立方体的个数只能是1(如图3)．由此可见搭成这样的几何体最少需要小立方体的个数是1＋1＋3＋1＋1＋2＋1＝10(个)，最多需要小立方体的个数是3＋3＋3＋2＋2＋2＋1＝16(个)．
解：搭成这样的几何体最少需要小立方体的个数是1＋1＋3＋1＋1＋2＋1＝10(个)，最多需要小立方体的个数是3＋3＋3＋2＋2＋2＋1＝16(个)．
解技巧 由三视图求小立方体块数的方法 其解题思路是先根据主视图、左视图确定每个位置上小立方体的层数，并在俯视图中各个小正方形处填上该处小立方体的层数，然后把数字相加即可得小立方体的总块数．
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