4.6 角
1．角
观察下面的图形，你发现有什么共同的特点吗？
这些图形都给了我们角的形象．角是最简单的平面图形之一，正确理解和认识角，对学好今后的平面几何知识具有非常重要的意义．
(1)角的概念
①具有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角，公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边．
②“角也可以看成是一条射线绕着端点，从一个位置旋转到另一个位置所成的图形”，这是从运动观点来定义角，它不仅包括前面所定义的角，而且角的大小不受任何限制，更能揭示角的概念的本质．
(2)角的表示方法
①用三个大写英文字母表示：用角的两边上的两个大写字母和顶点的字母表示角，如图(1)中的角，可记为∠AOB，注意顶点的字母写在中间，各条边上的点A，B写在两旁；
②用一个大写英文字母表示：在角的顶点处只有一个角时，也可以只用顶点的字母表示角，如图(1)中的∠AOB也可以记作∠O，一个顶点处有两个以上的角时，不能只用顶点的一个字母来表示，如图(2)中以O为顶点的角有∠AOB，∠BOC，∠AOC，就不能用∠O来表示；
③用一个阿拉伯数字表示：在角的顶点处加上弧线注上数字，就可以用这个数字来表示角，如图(2)中∠AOB可记为∠1；
④用一个小写希腊字母来表示：在角的顶点处加上弧线注上小写希腊字母，就可以用这个小写希腊字母来表示角，如图(2)中∠BOC可记为∠α.
注意：以上四种表示方法的前面还必须加上角的符号“∠”．
(3)角的度量和换算
①度量的单位是“度”、“分”、“秒”，把周角分成360°等份，每1份叫做1度的角．记作1°的角．度、分、秒是六十进制，计算时要防止与十进制混淆，换算关系如下：1°＝60′，1′＝60″，1′＝°，1″＝′.
②角度单位的换算法则：
a．把度换算成度、分、秒，从左往右依次进行．整数度保持不变，先把不满1度的小数度化为分；再把不满1分的小数分化为秒，最后度、分、秒和写在一起．
b．把度、分、秒换算成度，从右往左进行．先把秒化为分(此时用除法)，再把分化为度，最后把原来的度与由分和秒化来的度相加．
(4)角的分类(按角的大小划分)
①周角：射线OA绕点O旋转，当终止位置与起始位置重合时所成的角叫周角，如图(1)中∠AOB就是一个周角；1周角＝360°；
②平角：射线OA绕点O旋转，当终止位置OB与起始位置OA
成一条直线时，所成的角叫平角，如图(2)中，∠AOB就是一个平角；1平角＝180°；
③直角：度数等于90°的角是直角，如图(3)中，∠AOC与∠BOC就是一个直角；
④锐角：度数大于0°，且小于90°的角是锐角；
⑤钝角：度数大于90°，且小于180°的角是钝角．
图(1) 图(2)
图(3)
(5)方向角
如图中的射线OA，OB，OC，OD分别称为：北偏东40°、北偏西65°、南偏西45°、南偏东20°.这里要注意OD不要说成是东偏南70°，同样，OC也不要说成是西偏南45°.对于偏向45°的方位角，有时也可以说成东南(北)方向或西南(北)方向．如图中的OC，除了说成南偏西45°外，还可以说是西南方向，但不要说成南西方向．
【例1－1】 图中有几个角？是哪几个角？
分析：先以射线OA为角的一边，因为在射线OA的左侧有3条射线OB，OC，OD，所以可数出3个角∠AOB，∠AOC，∠AOD；再以射线OB为角的一边，因为在射线OB的左侧有两条射线OC，OD，所以可数出两个角∠BOC、∠BOD；再以射线OC为角的一边，因为在射线OC的左侧只有一条射线OD，所以只可数出一个角∠COD.因此，图中有3＋2＋1＝6个角．
解：图中有6个角；它们分别是∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠BOC，∠BOD，∠COD.
析规律 角的计数公式 有公共端点的m条射线组成的角(小于平角的角)的个数为m(m－1)个．
【例1－2】 计算16°5′24″＝________°；47.28°＝______°________′_______″.
解析：要把16°5′24″化成单位为“度”的数，只要逐步把“秒”化成“分”，再把“分”化成“度”；反之，要把47.28°化成几度几分几秒，只要先把0.28°化成“分”，再把其中的小数化成“秒”．具体解答如下：16°5′24″＝16°＋5′＋′＝16°＋5.4′＝16°＋°＝16.09°；47.28°＝47°＋0.28°＝47°＋0.28×60′＝47°＋16.8′＝47°＋16′＋0.8×60″＝47°＋16′＋48″＝47°16′48″.
答案：16.09 47 16 48
解技巧 角度单位的换算方法 角的换算单位是60进制，几分几秒化成度，要从秒开始，除以进率60；度化成几分几秒，要从分开始，乘以进率60.
2.角的比较和运算
(1)角的大小的比较方法
类比线段的大小比较，我们可以得到角的大小比较的三种方法：
①估测法：用此方法比较角的大小较为直观，但不够准确，适用于角度差别明显不同或者对角度要求不高时的角的大小比较；
②度量法：此方法主要是指用量角器分别量出每个角的度数，再根据度数比较大小．其具体做法是：a.对中(顶点对中心)；b.重合(一边与量角器上的零线重合)；c.读数(读出另一边所在线的度数)．度量法主要用于较为精细的角的大小比较；
③叠合法：此方法的具体做法是把两个角的顶点及一边分别重合，另一边都在重合边的同一侧，通过另一边所在的位置进行判断．叠合法具有较强的实践操作性，是比较角的大小的基本方法，上面所说的度量法其本质也是叠合，即把量角器上的相应角度与被测角进行叠合比较．
谈重点 角的大小关系的表示 ①角的大小关系有三种：小于、等于、大于，可用符号“＜”“＝”“＞”连接．②角的大小与边的长短、粗细无关．
(2)角的画法
①用三角板画．
我们所用的一副三角尺中，其中一个三角尺各角的度数为30°，60°，90°；另一个三角尺各角的度数为45°，45°，90°.用这样的三角尺可以测量这些特殊的角，也可以画出这些特殊的角。同时，我们利用一副三角尺也可以画出除以上角之外的特殊角．比如：
a．画15°的角．
画法一：(如图1)利用三角尺画∠AOB＝45°，在∠AOB内部画∠COB＝30°，则∠AOC＝45°－30°＝15°.
画法二：(如图2)利用三角尺画∠COD＝60°，在∠COD内部画∠EOD＝45°，则∠COE＝60°－45°＝15°.
b．画75°的角．
画法：(如图3)利用三角尺画∠EOF＝45°，在∠EOF外画∠HOE＝30°，则∠HOF＝45°＋30°＝75°.
c．画135°的角．
画法一：(如图4)画∠MON＝90°，在∠MON外部画∠POM＝45°，则∠PON＝135°.
画法二：(图略)用一个平角减去一个45°角．
画法三：(图略)用30°角加上60°角再加上45°角．
那么，利用一副三角尺还能画出其他(大于0°小于180°)角吗？让我们来试一试．
105°＝60°＋45°；105°＝30°＋30°＋45°，……
120°＝60°＋60°；120°＝90°＋30°；120°＝30°＋30°＋60°……
150°＝90°＋60°；150°＝180°－30°……
165°＝90°＋45°＋30°；165°＝60°＋60°＋45°……
我们把这些特殊角按从小到大的顺序排列为15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165°.
不难看出，从15°开始，后面的每一个角都比前面的角大15°，共有11个角．
由以上规律，我们就能很快利用一副三角尺画出所有的特殊角了．
②用量角器画．
此方法一般用来画非特殊的角，如11°的角、37°的角等等，也可画一个角等于已知角，具体做法是先用量角器量出已知角的度数，再画一个等于这个度数的角．此外，用量角器还可以画两个角的和、差或一个角的几倍、几分之一．例如画一个角等于72°.
画法：a.画一条射线OA，b.用量角器画∠AOB＝72°(如图)．
说明：使用量角器画角的步骤是：对中、重合、读数．如本例中使量角器的中心对准射线OA的端点O(即对中)，让量角器0°的边与射线OA重合(即重合)，然后找出所画角的度数72°(即读数)，画点B，画出射线OB.
③用圆规和直尺画．
用尺规作图的方法作出一个角等于已知角时要严格按教材中指明的步骤进行．
谈重点 尺规作图的注意事项 用圆规和直尺作一个角等于已知角时，一定要保留作图痕迹．
(3)角平分线
角平分线是角中的一个重要概念，它是一条射线，我们可以类比线段的中点来认识它．在学习角平分线时要注意文字语言与符号语言的相互转化．如图，
文字语言：OC是∠AOB的平分线或OC平分∠AOB.
符号语言：①∠AOC＝∠BOC；
②∠AOC＝∠AOB或∠BOC＝∠AOB；
③∠AOB＝2∠AOC或∠AOB＝2∠BOC.
(4)角的运算
①角的加减运算要把握以下几点原则：a.度与度相加减，分与分相加减，秒与秒相加减；b.相加时，加完以后如果出现了秒或分超过60的，要从右往左依次向上进位，换算成标准的度、分、秒形式；c.相减时，如果出现了分或秒不够减的情况，要从左往右依次向上一级借位．
②图中的角也可用和差表示．如图，
∠AOC＝∠AOB＋∠BOC；∠AOB＝∠AOD－∠BOD，或∠AOB＝∠AOC－∠BOC.
这说明两个角相加或相减，所得的和或差仍是角．
【例2】 已知一条射线OA，若从点O再引两条射线OB，OC，使∠AOB＝60°，∠BOC＝20°，求∠AOC的度数．
分析：根据题目中的条件，我们很容易画出∠AOB，但在画∠BOC时，边OC是在∠AOB的内部，还是在∠AOB的外部呢？题目没有给出它的位置，因而解答时就要考虑两种情况．
解：分两种情况讨论．
(1)OC在∠AOB的内部时，如图(1)所示，得∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝40°；
(2)OC在∠AOB的外部时，如图(2)所示，得∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝80°.
解技巧 解决几何问题要画图 对于有些几何题，特别是没有附图题，我们在解题过程中，一定要认真进行分析，正确进行分类，配上合适的图形，这样才能正确求解．这种思想就是数学中非常重要的分类讨论思想，以后学习中会经常遇到，请同学们要引起足够的重视．
3．角的特殊关系
(1)互为余角、互为补角的概念．
①互为余角的定义：如果两个角的和等于90°(直角)，称这两个角互为余角．
②互为补角的定义：如果两个角的和等于180°(平角)，称这两个角互为补角．
③互为余角与余角、互为补角与补角的区别
它们都是不同的概念，互为余角或互为补角是指两角之间的特定的数量关系，余角与补角是一个角相对于另一个角而言的．
④同一个角的余角与补角的关系
∠1的余角表示为90°－∠1，∠1的补角表示为180°－∠1，由此可见，同一个角的补角比它的余角大90°.
(2)互余、互补的性质
同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等．
【例3】已知∠1与∠2互余，且∠1＝35°，则∠2的补角的度数为__________．
解析：因为∠1与∠2互余，
所以∠1＋∠2＝90°.
又因为∠1＝35°，
所以∠2＝90°－35°＝55°.
所以180°－∠2＝180°－55°＝125°，即∠2的补角的度数为125°.
答案：125°
4．与钟面有关的角度计算
时针、分针转动一周都经过12大格或60小格．因此，每小时时针转动＝30°，每小时分针转动360°；每分钟时针转动＝0.5°，每分钟分针转动＝6°.
解这类问题的常用方法是求差法，有时也可直接结合钟表图形来求解．
【例4】 3时22分时，时针与分针的夹角是______度．
解析：3时22分时，分针从0刻度到22分时所转动的角度为6°×22＝132°，时针从0刻度到3时22分时所转动的角度为30°×＝101°，其度数差为132°－101°＝31°.
∴时针与分针的夹角是31°.
答案：31
【例5】 如果∠α＝60°，那么∠α的余角的度数是( )．
A．30° B．60° C．90° D．120°
解析：由互为余角的定义知，∠α的余角的度数是90°－60°＝30°.
答案：A
5.角的特殊关系的应用
(1)互为余角：两个角的和等于直角，即∠1＋∠2＝90°，∠1＝90°－∠2，∠2＝90°－∠1；
(2)互为补角：两个角的和等于平角，即∠1＋∠2＝180°，∠1＝180°－∠2，∠2＝180°－∠1.
(3)同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等．例如：
①∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠3＝90°，则∠2＝∠3；
②∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠3＝180°，则∠2＝∠3.
【例6】 如图，甲从A点出发向北偏东70°方向走50 m至点B，乙从A点出发向南偏西15°方向走80 m至点C，则∠BAC的度数是( )．
A．85° B．160° C．125° D．105°
解析：点B在点A的北偏东70°方向上，所以它的余角即∠BAD＝90°－70°＝20°，这样求∠BAC的度数就转化为求三个角(∠BAD，∠DAE，∠EAC)的度数．
答案：C
6．求角的度数
在计算角的度数时常常用到以下知识：
(1)平角的度数是180°；周角的度数是360°；直角的度数是90°.
(2)如图，OC平分∠AOB，则
①∠AOC＝∠BOC；
②∠AOC＝∠AOB，
或∠BOC＝∠AOB；
③∠AOB＝2∠AOC，或∠AOB＝2∠BOC.
(3)互余的两个角的和是90°，互补的两个角的和是180°.
(4)角的和差关系．
如图，∠AOD＝∠AOE＋∠EOD，∠BOE＝∠DOE＋∠BOD，∠DOE＝∠AOD－∠AOE＝∠BOE－∠BOD.
析规律 求角的度数的关键 求角的度数是同学们在今后经常遇到的问题，解题时，要仔细地寻找题目中的相等关系以及和差关系．
【例7－1】 如图，点O为直线BD上一点，∠COA＝90°，∠COD＝2∠BOC，求∠1.
分析：根据条件观察图形可知∠COD与∠BOC互补，再根据∠COD＝2∠BOC，可求出∠BOC，又由∠COA＝90°，可得∠COB与∠1互余，即可求出∠1.
解：因为点O为直线BD上一点，
所以∠COD＋∠BOC＝180°，
又因为∠COD＝2∠BOC，
所以∠BOC＝×180°＝60°，
所以∠1＝30°.
【例7－2】 如图，点O在直线AB上，∠BOC＝60°，OE，OD分别为∠AOC和∠BOC的平分线，求∠EOD，∠COE的度数．
分析：OE，OD分别为∠AOC和∠BOC的平分线，所以∠COD＋∠EOC＝180°×＝90°；由∠BOC＝60°，可知∠AOC的度数，进而求出∠COE的度数．
解：因为OE，OD分别为∠AOC和∠BOC的平分线，
所以∠EOD＝∠COE＋∠COD＝∠AOC＋∠BOC
＝180°×＝90°；
因为∠BOC＝60°，所以∠AOC＝120°，
又因为OE为∠AOC的平分线，
所以∠COE＝×120°＝60°.
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