5.1 相交线
1．对顶角
(1)对顶角概念
如图，直线AC与BD相交于O点，则图中形成了四个角，分别是：∠1，∠2，∠3与∠4.
∠1和∠3具有相同的顶点，且∠1的两边OA，OC分别与∠3的两边OB，OD互为反向延长线，我们把这样的两个角叫做对顶角．∠2和∠4也是对顶角．
谈重点 对顶角概念的理解 ①对顶角必须具备两个条件：一是有公共顶点；二是两边互为反向延长线．
②对顶角是成对出现的，且具有特殊的位置关系，主要反映角的位置关系．
(2)对顶角性质
性质：对顶角相等，即：∠1＝∠3，∠2＝∠4.
【例1－1】 下列各组角中，∠1与∠2是对顶角的为( )．
解析：根据对顶角的定义进行判断：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．根据两条直线相交，才能构成对顶角进行判断，A，B，C都不是由两条直线相交构成的图形，错误；D是由两条直线相交构成的图形，正确．故选D.
答案：D
【例1－2】 如图，AB，CD相交于点O，OB平分∠DOE，若∠DOE＝60°，求∠AOD和∠AOC的度数．
分析：观察图形可以发现，∠AOD和∠BOD互为补角，∠AOC和∠BOD互为对顶角，所以只要求出∠BOD的度数，然后利用互补和对顶角的性质即可解决问题．
解：因为OB是∠DOE的平分线，
所以∠BOD＝∠DOE＝×60°＝30°.
所以∠AOC＝∠BOD＝30°，∠AOD＝180°－∠BOD＝180°－30°＝150°.
解技巧 利用对顶角、邻补角解决问题时要仔细观察图形 利用对顶角、邻补角解决问题，应注意图形中哪些是互补的角，哪些是对顶角，在解决问题时用到哪些对顶角和互补的角．
2.垂线
(1)垂线的定义：当两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角时，其他三个角也都成为直角，此时，这两条直线互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线，它们的交点叫做垂足．如图，直线AB，CD互相垂直，记作AB⊥CD，读作“AB垂直于CD”．
注意：两条射线或线段的垂直，指的是它们所在的直线相互垂直．
(2)画垂线
①用量角器画垂线，相当于利用量角器作一个90度的角．
a．经过直线上一点画已知直线的垂线
先让量角器的底线落在已知直线上，并使量角器底边的中心点与直线上已知的点O重合，再在量角器90度所对的位置处标出一点C，拿走量角器，过O，C两点作直线OC即可．
b．经过直线外一点画已知直线的垂线
先让量角器的底线落在已知直线上，并使量角器90度的垂直线经过直线外的点P，再在量角器90度所对的位置处标出一点C，拿走量角器，过P，C两点作直线PC即可．
②用三角板画垂线，利用三角板画垂线，主要是利用三角板中的直角．
a．落：使三角板的一条直角边落在已知直线上；
b．过：移动三角板，使三角板的另一直角边经过已知点；
c．画：沿过已知点的直角边画直线．
(3)垂线段：过一条直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足之间的线段叫做垂线段；从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．
注意区分两组概念：①垂线与垂线段：它们都具有垂直于已知直线的共同特征，但垂线是一条直线，不能度量，而垂线段是一条线段，可以度量长度，它是垂线的一部分．②两点之间的距离与点到直线的距离：两种距离都是指线段的长度，是一种数量关系，都具有“最小”的特征，但前者是指连接两点的线段的长度，后者是指点到直线的垂线段的长度(可以化归为这点与垂足之间的线段长)．
(4)垂线的性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．
【例2】 如图，∠1＝53°，∠2＝37°，CD与CE的位置关系是__________．
解析：先求出∠DCE的度数，再根据度数判定位置关系．
因为∠DCE＝180°－∠1－∠2＝180°－53°－37°＝90°，
所以CD⊥CE.
答案：垂直
解技巧 证明两直线垂直的方法 垂直的定义为我们提供了一种证明垂直的方法和途径，若要证明两直线垂直，只需要证明两直线相交所成的四个角中有一个是直角即可．
3．相交线中的角
(1)同位角、内错角、同旁内角的定义：
①如图，∠1和∠5分别在直线AB，CD的上方，并且都在直线EF的右侧，像这样位置的一对角叫做同位角．
②如图，∠3和∠5这两个角都在直线AB，CD之间，并且∠3在直线EF的左侧，∠5在直线EF的右侧，像这样位置的一对角叫做内错角．
③如图，∠3和∠6这两个角都在直线AB，CD之间，并且在直线EF的一旁，像这样位置的一对角叫做同旁内角．
(2)同位角、内错角、同旁内角的识别：
①定义法：根据定义两个角共涉及三条直线，两角的一边分别在两条直线上，而另一边在同一直线上，两角有“共线边”是定义的实质，抓住“一边共线”便不难识别．如图甲中的∠1和∠2，涉及EF，MG，ND三条直线，且它们都有边在直线EF上，故∠1和∠2是同位角．又如图乙中的∠1和∠2是否为同位角？因涉及AD，AC，AB，BC四条直线，无公共边，故∠1和∠2不是同位角．
②简化法：“简化”就是排除次要的部分，把复杂图形中需要识别的图形无关的部分略去不考虑，使隐藏于其中的基本图形显现出来，如图中的∠1和∠2是否是同位角？将∠1和∠2的两边描粗，可知两角无共线边，故∠1和∠2不是同位角．
③分离图形法：把有一边共线的两角从复杂图形中分离出来，两角关系便一目了然，如要找出图中的用数字标注的角中的同位角、内错角、同旁内角时，我们可以把有共线边的两角从图中分离出来，形成如图所示的简单图形，这就容易识别出∠1和∠5是同位角，∠3和∠5，∠3和∠4，∠4和∠5是同旁内角，∠2和∠4是内错角．
④形象感受法
a．同位角的边构成形如字母“F”状．如图，∠M与∠N为同位角．
b．内错角的边构成形如字母“Z”状．如图，∠M与∠N为内错角．
c．同旁内角的边构成形如字母“U”状．如下图，∠M与∠N为同旁内角．
【例3】 如图，∠1和∠2是哪类角？
分析：首先找到构成这对角的三条直线a，b，c，其中c为截线，然后去掉无关的直线d，则原图简化成为下图，这样便知∠1和∠2为同位角．
解：∠1和∠2为同位角．
解技巧 分离图形识别“三线八角” 对复杂图形中“三线八角”的识别，巧妙分离图形，简化图形是最有效的方法之一．同时，本题还可用其他方法解决．
4．两条直线垂直关系的判断
两条直线垂直是相交的特殊情况，两线段垂直、两射线垂直、线段与射线垂直、线段与直线垂直、射线与直线垂直，都指它们所在的直线垂直．
垂直关系的判断就是通过角度的计算得到两条直线所成的四个角中有一个角是90°.下面简单回顾一下能得到90°角的几种情况：
(1)平角的一半是直角；
(2)利用等量代换得到的和为90°的角．如图，∠1＋∠2＝90°，如果∠2＝∠3，则∠1＋∠3＝90°，所以OA⊥OB.
【例4】如图所示，已知AOB是一条直线，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，判断OD，OE的位置关系，并说明你的理由．
分析：由AOB是一条直线，可知∠AOC＋∠BOC＝180°，又因为OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，所以利用角平分线的概念可以求解．
解：OD与OE的位置关系是互相垂直，垂足为O.
理由如下：因为AOB是一条直线(已知)，所以∠AOC＋∠BOC＝180°(平角的定义)，所以∠AOC＋∠BOC＝90°(等式的性质)．又因为OD平分∠AOC，OE平分∠BOC(已知)，所以∠DOC＝∠AOC，∠COE＝∠BOC(角平分线的定义)，所以∠DOC＋∠COE＝90°(等量代换)，所以∠DOE＝90°，所以OD⊥OE(垂直的定义)．
5．垂线段最短在实际生活中的应用
求最短路线问题，就是一类最优化问题，我们所学的“两点之间，线段最短”与“垂线段最短”是解决这类问题的两个重要依据．当然如何将实际问题转化为数学问题也是解题的关键之一．
“两点之间，线段最短”主要解决两点之间的距离最短问题；“垂线段最短”是解决点与直线距离最短的问题，通常过这个点作已知直线的垂线段，垂线段的长度就是最短距离．
【例5】 如图甲，要挖一条水渠，要求先把水送到B地，然后再送到A地．请你设计一条最短的路线，并在图上画出来．
图甲
图乙
分析：解本题的关键是在直线l上找一点C，使线段BC最短．要使点到直线的距离最小，考虑垂线段．
解：如图乙，连结AB，过点B作BC⊥l于点C，折线ABC就是水渠的线路．
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