2.1 有理数
1．正数与负数
(1)生活中存在大量相反意义的量
生活中，有许许多多具有相反意义的词语，例如向东和向西，西北和东南，向前和向后，向左和向右，上升和下降，零上和零下，收入和支出，盈利和亏本，买进和卖出，公元前和公元后等．和相反意义的词语相关联，生活中存在数不清的具有相反意义的量，如前进3 m与后退5 m，收入300元与支出80元等．
(2)用正数和负数表示具有相反意义的量
现实生活中，具有相反意义的量，如昨天的气温是零下1 ℃，而今天的气温是零上2 ℃，怎样表示它们呢？只用原来的那些数很难区分量的相反意义．
一般地，对于具有相反意义的量，我们可把其中一种意义的量规定为正的，用过去学过的数表示，把与它意义相反的量规定为负的，用过去学过的数(零除外)前面放上一个“－”(读作负)号来表示．即把其中一种意义的量规定为正的(用“＋”号表示，读作“正”)，把另一种和它意义相反的量规定为负的(用“－”号表示，读作“负”)，如零下1 ℃记作－1 ℃，零上2 ℃记作＋2 ℃；又如规定向东走5 m，记作＋5 m，则向西走5 m，记作－5 m.
【例1－1】 用正数和负数表示下列各题中的量．
(1)一辆公共汽车在一个停车站下去10个乘客和上来8个乘客；
(2)珠穆朗玛峰高于海平面8 844.43米和吐鲁番盆地最低点低于海平面155米；
(3)商品上涨10%和下降15%.
分析：把一种意义的量规定为正的，把另一种和它意义相反的量规定为负，并分别用正数和负数表示即可．
解：(1)－10人，＋8人；(2)＋8 848.43米，－155米；＋10%，－15%.
警误区 表示相反意义的量时不要忘记加单位 在用正负数表示一对具有相反意义的量时，不要少了后面的单位，同时注意相反意义的量的数值可以不同．
(4)正数和负数的概念
①负数的概念：为了表示具有相反意义的量，我们引进了像－5，－2，－237，－3.6这样的数，这是一种新数，叫做负数．
②正数的概念：过去学过的那些数(零除外)，如10,3,500,5.5等，叫做正数．正数前面有时也可放上一个“＋”号，如5可以写成＋5，＋5和5是一样的．
③0既不是正数，也不是负数．
(5)关于正数、负数和0的几点说明
①在正数的前面加上“＋”号，以强调它是正数，如正数3写作＋3，通常“＋”号省略不写；负数前面的“－”号不能省略，如负数5写作－5.
②正数和负数是相对而言的，取决于作为基准的量，但一般情况下，人们习惯上这样来规定正数和负数：收入为正，支出为负；零上为正，零下为负；高出海平面为正，低于海平面为负等等．
③判断一个数是否是负数，关键是看是否在正数前面带有“－”号，而不是看它是否有“－”号．例如：－(－3)就不是负数．
④0的意义在过去表示“没有”，自引入负数后，它就是正数与负数的分界点，也是相反意义的量的分界点，是我们认识的数中唯一的一个“中性数”．
谈重点 正数和负数的关系 负数是在正数的基础上定义的，只有在正数的前面添上“－”号才是负数．
【例1－2】 指出下列各数中，哪些是正数，哪些是负数．
－2，＋2，0,3，204，－0.02，＋3.65，－5.
分析：根据正数和负数的意义来判断，尤其要弄明白负数的意义：在正数前面加上“－”号．还要特别注意0既不是正数也不是负数．
解：＋2，3，204，＋3.65是正数；－2，－0.02，－5是负数．
2．有理数
(1)有理数的概念
正整数(即不为0的自然数)、零和负整数统称为整数；正分数和负分数统称为分数；整数和分数统称为有理数．即
整数 分数 有理数
(2)有理数的分类
①有理数可以按照它的定义分为整数和分数两类．即
有理数
②有理数还可以按照性质分为：正有理数、0和负有理数三类．即
有理数
警误区 进行有理数分类时要注意的问题 有理数在分类之前必须弄清楚分类的标准，不能混淆，要做到不重不漏．
(3)数集的概念
把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集．
所有的有理数组成的数集叫做有理数集．
类似地，所有的整数组成的数集叫做整数集，所有的正数组成的数集叫做正数集，所有的负数组成的数集叫做负数集，如此等等．
所有正整数和正分数合在一起组成正有理数集，所有负整数和负分数合在一起组成负有理数集．
【例2】 把下列各数填在相应的横线上：
－35,0.7,80，－，－0.88,0,3.14，－7.9，234，，3，－10.
正整数__________；正分数__________；负整数__________；负分数__________．
解析：先把有理数分为正数和负数两类，再把正数分为正整数和正分数两类，把负数分为负整数和负分数两类，分别填写在相应的横线上．
答案：80,234,3 0.7,3.14， －35，－10 －，－0.88，－7.9
3．正确理解具有相反意义的量的意义
用正数和负数表示具有相反意义的量，把其中一种意义的量先规定为正的，那么与它意义相反的量就是负的．
用正负数表示相反意义的量时，必须要有一个规定的标准．
在用正数和负数表示一对具有相反意义的量时，“正”和“负”是相对而言的，用“正”表示其中的一个量，则用“负”来表示另一个与之意义相反的量，但我们一般把“增加”、“上涨”、“盈利”、“高于”等记为“正”，把与它们有相反意义的量记为“负”．
通常从两个方面考查：一是用正负数表示具有相反意义的量，二是说出具有相反意义的量表示的意义．
把具有相反意义的量的表示方法和取“标准”(或“起始”位置)等知识结合在一起，综合性较强，是近几年中考的热点之一．
【例3－1】 某粮店出售的三种品牌的面粉袋上分别标有质量为(25±0.1)kg，(25±0.2)kg，(25±0.3)kg的字样，从中任意取出两袋，它们的质量最多相差( )．
A．0.8 kg B．0.6 kg C．0.5 kg D．0.4 kg
解析：从条件中可以看出，在三袋面粉中，最多可以超出标准质量0.3 kg，最少低于标准质量0.3 kg，所以从中任意取出两袋，它们的质量最多相差0.6 kg.
答案：B
解技巧 解答“标准质量”问题的关键 要正确解答本题，不仅要知道面粉袋上标有质量为(25±m) kg的意义，还要考虑到两袋面粉如何搭配才能使差值最大，显然考虑到最大的可能与最小的可能的差值．
【例3－2】 某项科学研究，以45分钟为一个时间单位，并记每天上午10：00为0,10：00以前记为负，10：00以后记为正，例如，9：15记为－1,10：45记为1等等．依次类推，上午7：00应记为( )．
A．3 B．－4 C．－2.15 D．－7.45
解析：本题中的标准是上午10：00为0，表示方法是10：00以前记为负，10：00以后记为正，要求用新规定来表示7：00.7：00到10：00是180分钟，180÷45＝4，因为7：00在10：00以前，所以7：00应记为－4.
答案：B
4.有理数的分类
有理数有两种基本的分类方法，一种分类根据定义，另一种分类根据数的符号即有理数的性质．
不论哪种分类形式都要明确分类的依据，分类时做到不重不漏，两种分类形式不能混淆．必须弄清楚非负数和非正数的范围．
正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数和零统称为非负整数，即为自然数；负整数和零统称为非正整数．
【例4】 把下列各数填在相应的括号内．
－3,2，－1，－，－0.58,0，－3.141 592 6,0.618，
整数集：{ …} 负数集：{ …}
分数集：{ …} 非负数集：{ …}
负分数集：{ …}
分析：非负数包括正数和零，即正整数、正分数和零；分数包括小数．
解：整数集：{－3,2，－1,0，…}
负数集：
分数集：
非负数集：
负分数集：
5．按规律排列的有理数
当数的范围扩大到有理数之后，按一定的规律排列有理数，就成为考查有理数的意义以及分类的有效手段，并且成为中考命题的热点．
研究数学、学习数学、应用数学的过程，实际上就是探索、研究数学规律并运用数学规律的过程．
解决此类问题的关键是建立数与它的序号之间的关系，其中数的符号是首先要考虑的，数的符号一般由数的序号的奇、偶性来决定．
对于数字规律性问题，我们要注意观察各部分数字的变化规律以及各数字之间的关系．解这一类题目，要用到归纳推理，它是一种重要的数学思想方法．数学史上有很多重要的发现如哥德巴赫猜想、费马大定理等就是由数学家的探索、猜想而得，学习数学必须不断去探索、猜想、不断总结规律，才会有所发现，有所创造．
【例5】 (探究题)观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律？请接着写出后面的3个数，并说出第99个数是什么？第2 010个数是什么？
(1)1，－1,1，－1,1，－1,1，－1，__________，__________，__________，…；
(2)1，－2,3，－4,5，－6,7，－8，__________，__________，__________，…；
(3)－1，，－，，－，，－，__________，__________，__________，….
分析：
(1)(2)小题全部是按正数、负数、正数、负数的顺序排列的一组整数，(1)去掉数的符号后是1，(2)去掉数的符号后是按顺序排列的自然数；(3)是按负数、正数、负数、正数的顺序排列的一组分数，其分母是按顺序排列的自然数，即分母就是数的序号，分子是1.
解：(1)1，－1,1，第99个数是1，第2 010个数是－1；
(2)9，－10,11，第99个数是99，第2 010个数是－2 010；
(3)，－，，第99个数是－，第2 010个数是.
解技巧 探索数字变化规律的方法 仔细观察数字以及它的符号的特点，把数和它的序号建立联系，特别注意其中符号的确定方法．
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