2.3 相反数
1．相反数
(1)相反数的概念：只有正负号不同的两个数称互为相反数．
如果两个数只有正负号不同，那么其中的一个数叫做另一个数的相反数．例如：2的相反数是－2,0.5是－0.5的相反数，＋100和－100互为相反数，0的相反数是0.这也是相反数的代数意义．
(2)相反数是成对出现的，单独的一个数不能说是相反数．例如不能说4是相反数，也不能说－4是相反数，只能说4的相反数是－4，或者4与－4互为相反数．
(3)相反数的几何意义：表示互为相反数的两个点，在数轴上位于原点的两侧，并且到原点的距离相等．这是表示互为相反数的两个点在数轴上的位置关系．
(4)相反数的性质：由相反数的概念可知：正数的相反数是负数；0的相反数是0；负数的相反数是正数．
稍加推理即得：相反数大于其本身的数是负数；相反数小于其本身的数是正数；相反数等于其本身的数是0.
谈重点 理解相反数的概念的方法 从数与形的角度分别理解相反数的概念，可以相互补充、相互印证，加深理解．
【例1】 下面说法中正确的是( )．
A．0没有相反数
B．正数的相反数是负数
C．－a的相反数是正数
D．两个表示相反意义的数是相反数
解析：A.任何数都有相反数，0的相反数是0；C.－a的相反数是a，但a不一定是正数；D.两个表示相反意义的数不一定是相反数，例如上升3米和上升－2米是表示相反意义的量，但3和－2不是相反数．
答案：B
2．求一个数的相反数和已知一个数的相反数求这个数
(1)求一个数的相反数就是在这个数的前面添上或者去掉一个负号．我们把数a的相反数记作－a，于是3的相反数是－3，－3的相反数是3.
(2)已知一个数的相反数求这个数就是在这个数的相反数的前面添上或者去掉一个负号．
也就是说，在一个数前面加上一个“－”号或去掉一个“－”号，就变成原数的相反数；在一个数前面加上一个“＋”号或去掉一个“＋”号，还是原数．
同理，一个式子的相反数表示：只需把式子括起来(看成一个整体)，在前面加“－”号即可．
一般地，数a的相反数是－a，这就是说要表示一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“－”号就可以了．这里的a可以是正数、负数，也可以是0，还可以是一个式子．根据一个数的相反数也可以求出这个数本身．
特别注意，求一个数的相反数时只能改变数的符号，不能改变数的大小．
谈重点 求一个数的相反数的方法 求一个数的相反数和已知一个数的相反数求这个数方法是一样的，都是根据相反数的意义，改变符号即可．
【例2】 (1)如果x＝－，那么－x＝__________；
(2)－的相反数是__________；
(3)x－y的相反数是__________．
解析：(1)因为x＝－＝－，所以－x＝；(2)因为－＝1，所以－
的相反数是－1；(3)因为求一个数的相反数，只要在这个数的前面添一个“－”号即可，所以x－y的相反数是－(x－y)．
答案： －1 －(x－y)
解技巧 求含有多重符号数的相反数的方法 解题时应先化简数的符号，再根据相反数的定义加上或减去一个“－”号即可．
3．多重符号的化简
相反数的意义是简化多重符号的依据．多重符号化简的结果是由“－”号的个数决定的．如果一个正数前面有偶数个“－”号，可以把“－”号一起去掉，即结果为正；一个正数前面有奇数个“－”号，则化简符号后只剩一个“－”号，即结果为负．可简写为“奇负偶正”．例如：－[－(－3.5)]＝－3.5.
由此得到：
(1)＋(＋a)表示＋a本身，＋(＋a)＝＋a；
(2)＋(－a)表示－a本身，＋(－a)＝－a；
(3)－(＋a)表示＋a的相反数，－(＋a)＝－a；
(4)－(－a)表示－a的相反数，－(－a)＝a.
由此可见，化简一个数就是把多重符号化成单一符号，若结果是“＋”号，一般省略不写．
析规律 多重符号化简的规律 多重符号化简时，只数负号的个数，不用理会正号．如果负号的个数是奇数个，则化简结果是负数；如果负号的个数是偶数个，则化简结果是正数．, 【例3－1】 下列各对数中，是互为相反数的一组是( )．
A．＋(－2)与－(＋2)
B．－[－(＋9)]与－[＋(－9)]
C．＋与－
D．－(－0.2)与－
解析：对于复杂形式的数，要先化简才能进行观察，从而做出判断．因为＋(－2)＝－2，－(＋2)＝－2；－[－(＋9)]＝9，－[＋(－9)]＝9，知A，B都不是；又＋＝－，－＝，数值不同也不是；而－(－0.2)＝0.2，－＝－＝－0.2，所以0.2与－是互为相反数．
答案：D
【例3－2】 化简下列各数的符号．
(1)－[－(－5)]；(2)－{＋[－(＋2)]}．
分析：多重符号化简的结果是由“－”号的个数决定的．如果一个正数前面有偶数个“－”号，可以把“－”号一起去掉，即结果为正；一个正数前面有奇数个“－”号，则化简符号后只剩一个“－”号，即结果为负．－[－(－5)]中有奇数个负号，故结果为负；－{＋[－(＋2)]}中有偶数个负号，故结果为正．
解：(1)－[－(－5)]＝－5；
(2)－{＋[－(＋2)]}＝－[＋(－2)]＝2.
4．判断－a的符号
要判断－a的符号，需知道a的符号．
正数和负数能够表示两个具有相反意义的量．但需注意的是带正号的数不一定是正数，带负号的数不一定是负数，尤其是字母表示的数．
例如：－a一定是负数吗？答案是不一定．因为字母a可以表示任意的数，当a表示正数时，－a是负数；当a表示0时，－a就是在0的前面加一个负号，仍是0；当a表示负数时，－a就不是负数了，它是一个正数．
相反数的几何意义和代数意义相辅相成，互相印证，要灵活掌握，方可在解题中得心应手．
借助数轴解决相反数问题 在数轴上表示一个数的相反数，可以很直观地确定这个数以及它的相反数的符号，比较数的大小就顺理成章了．
【例4－1】 如图，a与b是数轴上的两个数，则－a__________－b.
解析：首先根据相反数的几何意义——表示相反数的点分别在原点的两侧且与原点的距离相等，在图中作出－a与－b(如图)，然后利用数轴上右边的数总大于左边的数，从而比较大小．
答案：＞
【例4－2】 若a＜b＜0，比较a，b，－a，－b的大小．(用“＜”连接)
分析：可以借助数轴确定a，b以及它们的相反数的位置，从而根据数轴上的位置来确定它们的大小．
解：如图所示，把a，b，－a，－b的大致位置在数轴上表示出来，
所以，a＜b＜－b＜－a.
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