2.2 数轴
1．数轴
(1)数轴的概念及画法
①与温度计相仿，我们可以在一条直线上规定一个正方向，就可以用这条直线上的点表示正数、零和负数．
具体做法如下：
画一条直线(通常画成水平位置)，在这条直线上任取一点作为原点，用这点表示数0.规定直线上从原点向右为正方向，画上箭头，那么相反方向为负方向．再选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次标上1,2,3，…；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上－1，－2，－3，….
如图所示．
②像这样，规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．
a．数轴是一条直线，可以向两端无限延伸，但直线不是数轴；
b．原点、正方向、单位长度称为数轴的“三要素”；
c．数轴上的原点位置、单位长度都是任意规定的，但在同一条数轴上的单位长度必须一致；
d．通常选取向右的方向为正方向．
(2)有理数与数轴上的点的关系
①数轴上的点和有理数不是一一对应的关系，任意一个有理数总能在数轴上找到与其对应的点，但数轴上的点不都表示有理数．
②在数轴上，正数和负数分别位于原点的两侧，所有正数的对应点都在数轴上原点的右边，所有负数的对应点都在数轴上原点的左边，与正数对称．
③找出数轴上的点对应的有理数的步骤是：
a．确定点与原点的位置关系(左负右正)；
b．确定点与原点的距离．
警误区 有理数与数轴上的点的关系 所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，反过来，不能说数轴上所有的点都表示有理数，数轴上的点除了表示所有的有理数之外，还表示所有的无理数(以后会学习)．
【例1】 把下列各数在数轴上表示出来．
，－5,0,3.6，－3，－，－1
分析：第一步，画出数轴(按三要素)；第二步，把这些数在数轴上的对应点找出来：0在原点，容易找到对应点．正数在原点的右边，所以，3.6在原点的右边，且分别距原点个单位长度，3.6个单位长度．负数在原点的左边，所以－5，－3，－，－1在原点的左边，且分别距原点5个单位长度，3个单位长度，个单位长度，1个单位长度．
解：
解技巧 将有理数用数轴上的点表示的步骤 (1)正确找到有理数在数轴上的对应点，要先根据正负看该点在原点的哪一边，然后再观察距原点多少个单位；(2)一般情况下，原数轴上表示单位长度的数要标在数轴的下方，而要表示的数应标在数轴的上方．
2．利用数轴比较两个有理数的大小
(1)当我们将一组人按照个子的高矮排成一排时，就会很容易地得出他们之间的个子的高低，如果我们把数也这样排成一排，就会出现同样的效果，所以我们只要利用数轴就可以达到想要的目的了．观察数轴，数轴上所表示的数是按规律排列的：
①在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．
②根据有理数在数轴上表示的相对位置，在应用中我们也常说：正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．
(2)因为正数都大于0，反过来，大于0的数都是正数，所以我们可以用a＞0表示a是正数；把a是正数表示为a＞0.同理，a＜0表示a是负数；把a是负数表示为a＜0.
【例2】 比较下列各数的大小：
－1.5,0.5，－3，－5.
分析：将这些有理数在数轴上表示出来，并按照从左到右的顺序排列就是把这些数按从小到大的顺序排列．
解：将这些数分别在数轴上表示出来，如图所示，
所以－5＜－3＜－1.5＜0.5.
3．在数轴上表示有理数
任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示出来，实现数与形的结合．
解题时，第一步画数轴，第二步在数轴上找出相对应的点，0用原点来表示．每个正有理数都可用数轴上原点右边的一个点来表示．相反，每一个负有理数都可用数轴上原点左边的一个点来表示．第三步用字母标出或直接用数标写出所要表示的有理数．
数轴上表示数的点可用大写字母标出，写在数轴上方所对应数的上面．数轴上原点的位置要根据需要来确定，不一定要居中．单位长度应根据需要来确定，但在同一数轴上，单位长度必须一致，不可随意改变．
【例3】 在所给的数轴上画出表示下列各数的点：2，－5，0，－3，3.5，－.
分析：第一步画数轴，第二步在数轴上找出相对应的点，0用原点来表示．第三步用字母标出或直接用数标出所要表示的有理数．
解：
警误区 在数轴上表示负分数时易出现的错误 很多同学都容易犯的错误是在数轴上表示负分数时，弄不清楚这个负分数所靠近的整数．
4.指出数轴上的点表示的有理数
指出数轴上的点表示的有理数时，要先观察该数在数轴上的位置，如果在原点处，就是0；如果在原点的左侧就是负数；如果在原点的右侧就是正数．即先判断数的符号，再确定具体的数值．
析规律 有理数与该数对应的点到原点的距离的关系 指出数轴上的点表示什么数时，如果是正数就是该点到原点的距离，如果是负数就在该点到原点的距离前加上负号．
【例4】 指出数轴上O，A，B，C，D，E各点分别表示什么数．
分析：表示正数的点都在原点的右侧，表示负数的点都在原点的左侧．要特别注意相邻两个负整数点之间的等分点所表示的数，例如：－2，－3之间的A点是表示－2，而不是－3.
解：O表示0，A表示－2，B表示1，C表示3，D表示－4，E表示－0.5.
5．利用数轴解决生活中的实际问题
本节知识常与运动问题结合在一起，利用数形结合将运动问题解决．这种利用数形结合解决问题的方法是中考考查的热点题型之一．
数轴是一种数学工具，它使数和数轴上的点建立了对应关系，揭示了数与形之间的内在联系，也为我们研究问题提供了新的方法．数轴是联系数与形的桥梁，是数形结合的具体体现，利用数轴可以解决生活中的许多问题．
运用数轴可以直观表示点的移动，正确找出数在数轴上的对应点，会由数轴上的点的位置确定对应的数，是解决这类问题的关键．
解题时，通常根据题意正确地画出数轴，在选取单位长度时，要根据题目中的实际情况来确定，再在数轴上表示点的移动过程，用箭头和竖线来表示．
解题时，正确画出数轴是关键，作图要严谨仔细．
【例5－1】 超市、书店、玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，超市在书店西边20米处，玩具店位于书店东边50米处．小明从书店出来沿街向东走了50米，接着又向东走了－80米，此时小明的位置在何处？在数轴上标出超市、书店、玩具店的位置，以及小明最后的位置．
分析：书店处于超市和玩具店之间，且书店与玩具店之间的距离是50米，书店与超市之间的距离是20米，这样可以画出数轴，即可表示出小明最后的位置．
解：根据题意可以画出如图所示的数轴，小明位于超市西边10米处．
【例5－2】 小红做题时，不小心把墨水洒在了数轴上，如图，请根据图中的数值，写出墨迹盖住的所有整数．
分析：本题主要考查有理数的分类，有理数的分类有两种：一是可分为正有理数、0、负有理数；二是可分为整数、分数．此题只要找出－12.1～－6.5及－0.5～10.5之间的整数即可．
解：－12，－11，－10，－9，－8，－7及0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.
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