第一单元 数与式
第1讲 实数
考纲要求
命题趋势
1．理解有理数、无理数和实数的概念，会用数轴上的点表示有理数．
2．借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求一个数的相反数、倒数与绝对值．
3．理解平方根、算术平方根、立方根的概念，会求一个数的算术平方根、平方根、立方根．
4．理解科学记数法、近似数与有效数字的概念，能按要求用四舍五入法求一个数的近似值，能正确识别一个数的有效数字的个数，会用科学记数法表示一个数．
5．熟练掌握实数的运算，会用各种方法比较两个实数的大小.
实数是中学数学重要的基础知识，中考中多以选择题、填空题和简单的计算题的形式出现，主要考查基本概念、基本技能以及基本的数学思想方法．另外，命题者也会利用分析归纳、总结规律等题型考查考生发现问题、解决问题的能力.
知识梳理
一、实数的分类
实数
二、实数的有关概念及性质
1．数轴
(1)规定了______、________、____________的直线叫做数轴；
(2)实数与数轴上的点是一一对应的．
2．相反数
(1)实数a的相反数是____，零的相反数是零；
(2)a与b互为相反数⇔a＋b＝____.
3．倒数
(1)实数a(a≠0)的倒数是____；
(2)a与b互为倒数⇔______.
4．绝对值
(1)数轴上表示数a的点与原点的______，叫做数a的绝对值，记作|a|.
(2)|a|＝
5．平方根、算术平方根、立方根
(1)平方根
①定义：如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x叫做a的平方根(也叫二次方根)，数a的平方根记作______．
②一个正数有两个平方根，它们互为________；0的平方根是0；负数没有平方根．
(2)算术平方根
①如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，a的算术平方根记作____．零的算术平方根是零，即＝0.
②算术平方根都是非负数，即≥0(a≥0)．
③()2＝a(a≥0)，＝|a|＝
(3)立方根
①定义：如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x叫做a的立方根(也叫三次方根)，数a的立方根记作______．
②任何数都有唯一一个立方根，一个数的立方根的符号与这个数的符号相同．
6．科学记数法、近似数、有效数字
(1)科学记数法
把一个数N表示成______(1≤a＜10，n是整数)的形式叫做科学记数法．当N≥1时，n等于原数N的整数位数减1；当N＜1时，n是一个负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数(含整数位上的零)．
(2)近似数与有效数字
一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时从______第1个不为0的数字起，到末位数字止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字．
三、非负数的性质
1．常见的三种非负数
|a|≥0，a2≥0，≥0(a≥0)．
2．非负数的性质
(1)非负数的最小值是零；
(2)任意几个非负数的和仍为非负数；
(3)几个非负数的和为0，则每个非负数都等于0.
四、实数的运算
1．运算律
(1)加法交换律：a＋b＝______.
(2)加法结合律：(a＋b)＋c＝________.
(3)乘法交换律：ab＝____.
(4)乘法结合律：(ab)c＝______.
(5)乘法分配律：a(b＋c)＝__________.
2．运算顺序
(1)先算乘方，再算乘除，最后算加减；(2)同级运算，按照从____至____的顺序进行；(3)如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的．
3．零指数幂和负整数指数幂
(1)零指数幂的意义为：a0＝____(a≠0)；
(2)负整数指数幂的意义为：a－p＝______(a≠0，p为正整数)．
五、实数的大小比较
1．实数的大小关系
在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数总比左边的点表示的数____．
正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小．
2．作差比较法
(1)a－b＞0⇔a＞b；(2)a－b＝0⇔a＝b；(3)a－b＜0⇔a＜b.
3．倒数比较法
若＞，a＞0，b＞0，则a＜b.
4．平方法
因为由a＞b＞0，可得＞，所以我们可以把与的大小问题转化成比较a和b的大小问题．
(提示：本书[知识梳理]栏目答案见第122～123页)
自主测试
1．－2的倒数是( )
A．－ B．. C．－2 D．2
2．－2的绝对值等于( )
A．2 B．－2 C． D．－
3．下列运算正确的是( )
A．－|－3|＝3 B．－1＝－3
C．＝±3 D．＝－3
4．2012年世界水日主题是“水与粮食安全”．若每人每天浪费水0.32 L，那么100万人每天浪费的水，用科学记数法表示为( )
A．3.2×107 L B．3.2×106 L
C．3.2×105 L D．3.2×104 L
5．已知实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是( )
A．m＞0 B．n＜0 C．mn＜0 D．m－n＞0
6．计算：|－5|＋－32.
考点一、实数的分类
【例1】四个数－5，－0.1，，中为无理数的是( )
A．－5 B．－0.1 C． D．
解析：因为－5是整数属于有理数，－0.1是有限小数属于有理数，是分数属于有理数，开不尽方是无理数，故选D.
答案：D
方法总结 一个数是不是无理数，应先计算或者化简再判断．有理数都可以化成分数的形式．常见的无理数有四种形式：(1)含有π的式子；(2)根号内含开方开不尽的式子；(3)无限且不循环的小数；(4)某些三角函数式．
触类旁通1 在实数5，，，中，无理数是( )
A．5 B． C． D．
考点二、相反数、倒数、绝对值与数轴
【例2】(1)－的倒数是__________；
(2)(－3)2的相反数是( )
A．6 B．－6 C．9 D．－9
(3)实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简|a＋b|＋＝__________.
解析：(1)－的倒数为＝－5；
(2)因为(－3)2＝9,9的相反数是－9，故选D；
(3)本题考查了绝对值，平方根及数轴的有关知识．
由图可知，a＜0，b＞0，|a|＞|b|，
所以a＋b＜0，b－a＞0，原式＝－a－b＋b－a＝－2a.
答案：(1)－5 (2)D (3)－2a
方法总结 1．求一个数的相反数，直接在这个数的前面加上负号，有时需要化简得出．
2．解有关绝对值和数轴的问题时常用到字母表示数的思想、分类讨论思想和数形结合思想．
3．相反数是它本身的数只有0；绝对值是它本身的数是0和正数(即非负数)；倒数是它本身的数是±1.
触类旁通2 下列各数中，相反数等于5的数是( )
A．－5 B．5
C．－ D．
考点三、平方根、算术平方根与立方根
【例3】(1)(－2)2的算术平方根是( )
A．2 B．±2 C．－2 D．
(2)实数27的立方根是__________．
解析：(1)(－2)2的算术平方根，即＝|－2|＝2；
(2)27的立方根是＝3.
答案：(1)A (2)3
方法总结 1．对于算术平方根，要注意：(1)一个正数只有一个算术平方根，它是一个正数；(2)0的算术平方根是0；(3)负数没有算术平方根；(4)算术平方根具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即a≥0；②算术平方根本身是非负数，即≥0.
2．()3＝a，＝a.
触类旁通3 4的平方根是( )
A．2 B．±2
C．16 D．±16
考点四、科学记数法、近似数、有效数字
【例4】2012年安徽省有682 000名初中毕业生参加中考，按四舍五入保留两位有效数字，682 000用科学记数法表示为( )
A．0.69×106 B．6.82×105
C．0.68×106 D．6.8×105
解析：用科学记数法表示的数必须满足a×10n(1≤|a|＜10，n为整数)的形式；求近似数时注意看清题目要求和单位的换算；查有效数字时，要从左边第1个非零数查起，到精确到的数为止.682 000＝6.82×105≈6.8×105.
答案：D
方法总结 1．用科学记数法表示数，当原数的绝对值大于或等于1时，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值小于1时，n是负整数，它的绝对值等于原数中左起第一位非零数字前零的个数．
2．取一个数精确到某一位的近似数时，应对“某一位”后的第一个数进行四舍五入，而之后的数不予考虑．
3．用科学记数法表示的近似数，乘号前面的数(即a)的有效数字即为该近似数的有效数字；而这个近似数精确到哪一位，应将用科学记数法表示的数还原成原来的数，再看最后一个有效数字处于哪一个数位上．
触类旁通4 某种细胞的直径是5×10－4毫米，这个数是( )
A．0.05毫米 B．0.005毫米
C．0.000 5毫米 D．0.000 05毫米
考点五、非负数性质的应用
【例5】若实数x，y满足＋(3－y)2＝0，则代数式xy－x2的值为__________．
解析：因为≥0，(3－y)2≥0，而＋(3－y)2＝0，所以x－2＝0,3－y＝0，解得x＝2，y＝3，则xy－x2＝2×3－22＝2.
答案：2
方法总结 常见的非负数的形式有三种：|a|，(a≥0)，a2，若它们的和为零，则每一个式子都为0.
触类旁通5 若|m－3|＋(n＋2)2＝0，则m＋2n的值为( )
A．－4 B．－1 C．0 D．4
考点六、实数的运算
【例6】计算：(1)2－1＋cos 30°＋|－5|－(π－2 011)0.
(2)(－1)2 011－－3＋0＋|3－8sin 60°|.
(1)分析：2－1＝，cos 30°＝，|－5|＝5，(π－2 011)0＝1.
解：原式＝＋×＋5－1＝＋＋5－1＝6.
(2)分析：－3＝(2－1)－3＝23＝8，0＝1，sin 60°＝.
解：原式＝－1－8＋1＋＝－8＋.
点拨：(1)根据负整数指数幂的意义可把负整数指数幂转化为正整数指数幂运算，即a－p＝(a≠0)．(2)a0＝1(a≠0)．
方法总结 提高实数的运算能力，首先要认真审题，理解有关概念；其次要正确、灵活地应用零指数、负整数指数的定义、特殊角的三角函数、绝对值、相反数、倒数等相关知识及实数的六种运算法则，根据运算律及顺序，选择合理、简捷的解题途径．要特别注意把好符号关．
考点七、实数的大小比较
【例7】比较2.5，－3，的大小，正确的是( )
A．－3＜2.5＜ B．2.5＜－3＜
C．－3＜＜2.5 D．＜2.5＜－3
解析：由负数小于正数可得－3最小，故只要比较2.5和的大小即可，由2.52＜()2，得2.5＜，
所以－3＜2.5＜.
答案：A
方法总结 实数的各种比较方法，要明确应用条件及适用范围．如：“差值比较法”用于比较任意两数的大小，而“商值比较法”一般适用于比较符号相同的两个数的大小，还有“平方法”、“倒数法”等．要依据数值特点确定合适的方法．
触类旁通6在－6,0,3,8这四个数中，最小的数是( )
A．－6 B．0
C．3 D．8
1．(2012湖北黄石)－的倒数是( )
A． B．3 C．－3 D．－
2．(2012江苏南京)下列四个数中，负数是( )
A．|－2| B．(－2)2 C．－ D．
3．(2012北京)首届中国(北京)国际服务贸易交易会(京交会)于2012年6月1日闭幕，本届京交会期间签订的项目成交总金额达60 110 000 000美元．将60 110 000 000用科学记数法表示应为( )
A．6.011×109 B．60.11×109
C．6.011×1010 D．0.6011×1011
4．(2012四川南充)计算2－(－3)的结果是( )
A．5 B．1 C．－1 D．－5
5．(2012四川乐山)计算：＝__________.
6．(2012重庆)计算：＋(π－2)0－|－5|＋(－1)2 012＋－2.
1．下列各数中，最小的数是( )
A．0 B．1 C．－1 D．－
2．若|a|＝3，则a的值是( )
A．－3 B．3 C． D．±3
3．下列计算正确的是( )
A．(－8)－8＝0 B．×(－2)＝1
C．－(－1)0＝1 D．|－2|＝－2
4．如图，数轴上A，B两点对应的实数分别为1和，若点A关于点B的对称点为C，则点C所表示的实数是( )
A．2－1 B．1＋ C．2＋ D．2＋1
5．(1)实数的倒数是____．
(2)写出一个比－4大的负无理数__________．
6．若将三个数－，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是__________．
7．定义一种运算☆，其规则为a☆b＝＋，根据这个规则，计算2☆3的值是__________．
8．如图，物体从点A出发，按照A→B(第1步)→C(第2步)→D→A→E→F→G→A→B→…的顺序循环运动，则第2 012步到达点________处．
9．计算：|－2|＋(－1)2 012－(π－4)0.
参考答案
导学必备知识
自主测试
1．A ＝－.
2．A
3．D A中－|－3|＝－3，B中－1＝3，C中＝3.
4．C 0.32×100万＝320 000＝3.2×105.
5．C 因为从数轴可知：m小于0，n大于0，则mn＜0，m－n＜0.
6．解：|－5|＋－32＝5＋4－9＝0.
探究考点方法
触类旁通1．C 因为5是整数，是分数，＝2是整数．
触类旁通2．A 因为5的相反数是－5，－的相反数是，的相反数是－.
触类旁通3．B
触类旁通4．C 因为0.05＝5×10－2,0.005＝5×10－3,0.000 5＝5×10－4,0.000 05＝5×10－5，故选C.
触类旁通5．B 因为|m－3|≥0，且(n＋2)2≥0，又因为|m－3|＋(n＋2)2＝0，所以m－3＝0且n＋2＝0.所以m＝3，n＝－2，所以m＋2n＝3＋2×(－2)＝－1.
触类旁通6．A 因为根据正数大于0,0大于负数，正数大于负数，解答即可．
品鉴经典考题
1．C ∵－3×＝1，∴－的倒数是－3.
2．C A中，|－2|＝2，是正数，故本选项错误；B中，(－2)2＝4，是正数，故本选项错误；C中，－＜0，是负数，故本选项正确；D中，＝＝2，是正数，故本选项错误．
3．C 因为科学记数法的形式为a×10n，用科学记数法表示较大的数，其规律为1≤a＜10，n是比原数的整数位数小1的正整数，所以60 110 000 000＝6.011×1010.
4．A 原式＝2＋3＝5.
5． 根据负数的绝对值是它的相反数，得＝.
6．解：原式＝2＋1－5＋1＋9＝8.
研习预测试题
1．D 因为正数和0都大于负数，＞1，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，所以－最小．
2．D 绝对值为3的数有＋3和－3两个，且互为相反数．
3．B (－8)－8＝－16，×(－2)＝1，－(－1)0＝－1，|－2|＝2.
4．A 因为数轴上A，B两点对应的实数分别为1和，
所以OA＝1，OB＝.所以AB＝OB－OA＝－1.
由题意可知，BC＝AB＝－1.
所以OC＝OB＋BC＝＋(－1)＝2－1.
5．(1)2 (2)－4＋(答案不唯一)
6． 因为－＜0，＞3,1＜＜3.
7． 因为2☆3＝＋＝＋＝.
8．A 由题意知，每隔8步物体到达同一点，因为2 012÷8＝251余4，所以第2 012步到达A点．
9．解：原式＝2＋1－1＝2.
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