第五单元 四边形
第18讲 多边形与平行四边形
考纲要求
命题趋势
1．了解多边形的有关概念，掌握多边形的内角和与外角和公式，并会进行有关的计算与证明．
2．掌握平行四边形的概念及有关性质和判定，并能进行计算和证明．
3．了解镶嵌的概念，会判断几种正多边形能否进行镶嵌.
中考命题多以选择题、填空题和解答题的形式出现，主要考查多边形的边角关系、多边形内角和、平面镶嵌及平行四边形的定义、性质和判定．另外，平行四边形常和三角形、圆、函数结合起来命题，考查学生的综合运用能力.
知识梳理
一、多边形的有关概念及性质
1．多边形的概念
定义：在平面内，由一些不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．
对角线：连接多边形________的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
正多边形：各个角都________，各条边都________的多边形叫做正多边形．
2．性质
n边形过一个顶点的对角线有________条，共有________条对角线；n边形的内角和为________，外角和为360°.
二、平面图形的密铺(镶嵌)
1．密铺的定义
用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称作平面图形的________．
2．平面图形的密铺
正三角形、正方形、正六边形都可以单独使用密铺平面，部分正多边形的组合也可以密铺平面．
三、平行四边形的定义和性质
1．定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
2．性质
(1)平行四边形的对边________．
(2)平行四边形的对角________．
(3)平行四边形的对角线__________．
(4)平行四边形是中心对称图形．
四、平行四边形的判定
1．两组对边分别________的四边形是平行四边形．
2．两组对边分别________的四边形是平行四边形．
3．一组对边________的四边形是平行四边形．
4．对角线相互________的四边形是平行四边形．
5．两组对角分别________的四边形是平行四边形．
自主测试
1．正八边形的每个内角为( )
A．120° B．135° C．140° D．144°
2．一批相同的正六边形地砖铺满地面的图案中，每个顶点处的正六边形的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．6
3．已知ABCD的周长为32，AB＝4，则BC＝( )
A．4 B．12 C．24 D．28
4．如图，在ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，且BE∥DF，若∠EBF＝45°，则∠EDF的度数是__________°.
5．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD为平行四边形，则可添加的条件为__________．(填一个即可)
6．如图所示，在ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．
求证：(1)△AFD≌△CEB；
(2)四边形AECF是平行四边形．
考点一、多边形的内角和与外角和
【例1】某多边形的内角和是其外角和的3倍，则此多边形的边数是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
解析：多边形的外角和是360°，不随边数的改变而改变．设这个多边形的边数是x，由题意，得(x－2)·180°＝3×360°，解得x＝8.
答案：D
方法总结 要记住多边形的内角和公式，当已知边数时，可求内角和；当已知内角和时，可求边数．特别地，正多边形的每个外角等于.
触类旁通1 正多边形的一个内角为135°，则该多边形的边数为( )
A．9 B．8 C．7 D．4
考点二、平面的密铺
【例2】下列多边形中，不能够单独铺满地面的是( )
A．正三角形 B．正方形
C．正五边形 D．正六边形
解析：要解决这类问题，我们不妨设有n个同一种正多边形围绕一点密铺，它的每一个内角为α，则有nα＝360°，所以n＝360°÷α，要使n为整数，α只能取60°，90°，120°.也就是说只有正三角形、正方形、正六边形三种正多边形可以单独密铺地面，其他的正多边形是不可以密铺地面的．
答案：C
方法总结 判断给定的某种正多边形能否密铺，关键在于分析能用于完整铺平地面的正多边形的内角特点，当围绕一点拼在一起时，几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
触类旁通2
按下面摆好的方式，并使用同一种图形，只通过平移方式就能进行平面镶嵌(即平面密铺)的有__________(写出所有正确答案的序号)．
考点三、平行四边形的性质
【例3】如图，已知E，F是ABCD对角线AC上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)请写出图中除△ABE≌△CDF外其余两对全等三角形(不再添加辅助线)．
分析：(1)根据平行四边形的性质可知对边平行且相等，又BE⊥AC，DF⊥AC，可以利用“AAS”证明△ABE与△CDF全等；(2)图中有三对全等三角形，写出其他两对即可．
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠BAE＝∠FCD.
又∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AEB＝∠CFD＝90°.
∴△ABE≌△CDF.
(2)①△ABC≌△CDA，②△BCE≌△DAF.
方法总结 1．利用平行四边形的性质可证明线段或角相等，或求角的度数．
2．利用平行四边形的性质常把平行四边形问题转化为三角形问题，通过证明三角形全等来解决．
触类旁通3 如图，在ABCD中，点E，F是对角线AC上两点，且AE＝CF.
求证：∠EBF＝∠FDE.
考点四、平行四边形的判定
【例4】如图，在ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别在CD，AB的延长线上，且AE＝AD，CF＝CB.
(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；
(2)若去掉已知条件的“∠DAB＝60°”，上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，∠DCB＝∠DAB＝60°，
∴∠ADE＝∠CBF＝60°.
∵AE＝AD，CF＝CB，∴△AED，△CFB是正三角形．
在ABCD中，AD＝BC，∴ED＝BF.
∴ED＋DC＝BF＋AB，即EC＝AF.
又∵DC∥AB，即EC∥AF，
∴四边形AFCE是平行四边形．
(2)上述结论还成立．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，∠DCB＝∠DAB，AD＝BC，DC綊AB.
∴∠ADE＝∠CBF.
∵AE＝AD，CF＝CB，
∴∠AED＝∠ADE，∠CFB＝∠CBF.
∴∠AED＝∠CFB.
又∵AD＝BC，∴△ADE≌△CBF.∴ED＝FB.
∵DC＝AB，∴ED＋DC＝FB＋AB，即EC＝FA，
∴EC綉AF.∴四边形EAFC是平行四边形．
方法总结 平行四边形的判定方法：
(1)如果已知一组对边平行，常考虑证另一组对边平行或者证这组对边相等；
(2)如果已知一组对边相等，常考虑证另一组对边相等或者证这组对边平行；
(3)如果已知条件与对角线有关，常考虑证对角线互相平分．
触类旁通4 如图，ABCD的对角线AC，BD交于点O，E，F在AC上，G，H在BD上，AF＝CE，BH＝DG.
求证：GF∥HE.
1．(2012江苏无锡)若一个多边形的内角和为1 080°，则这个多边形的边数为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
2．(2012浙江杭州)已知ABCD中，∠B＝4∠A，则∠C＝( )
A．18° B．36° C．72° D．144°
3．(2012四川巴中)不能判定一个四边形是平行四边形的条件是( )
A．两组对边分别平行
B．一组对边平行另一组对边相等
C．一组对边平行且相等
D．两组对边分别相等
4．(2012湖南怀化)如图，在ABCD中，AD＝8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF＝________.'
5．(2012四川广安)如图，四边形ABCD中，若去掉一个60°的角得到一个五边形，则∠1＋∠2＝__________.
6．(2012贵州铜仁)一个多边形每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是__________．
7．(2012广东湛江)如图，在ABCD中，E，F分别在AD，BC边上，且AE＝CF.
求证：(1)△ABE≌△CDF；
(2)四边形BFDE是平行四边形．
1．如图，小陈从O点出发，前进5米后向右转20°，再前进5米后又向右转20°，……，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了( )
A．60米 B．100米
C．90米 D．120米
2．如图，在周长为20 cm的ABCD中AB≠AD，AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长为( )
A．4 cm B．6 cm
C．8 cm D．10 cm
3．如图，ABCD中，∠ABC＝60°，E，F分别在CD，BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，DF＝2，则EF的长为( )
A．2 B．2
C．4 D．4
4．如图，在ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG＝4，则△CEF的周长为( )
A．8 B．9.5 C．10 D．11.5
5．如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α＋∠β
的度数是( )
A．180° B．220°
C．240° D．300°
6．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC，BD相交于点O.若AC＝6，则线段AO的长度等于__________．
7．如图，观察每一个图中黑色正六边形的排列规律，则第10个图中黑色正六边形有__________个．
8．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，AD上的点，∠1＝∠2.
求证：△ABE≌△CDF.
9．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O，BO＝DO.求证：四边形ABCD是平行四边形．
参考答案
导学必备知识
自主测试
1．B 2．B 3．B 4．45 5．AD∥BC(或AB＝CD)
6．证明：(1)在ABCD中，AD＝CB，AB＝CD，∠D＝∠B.又∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴DF＝CD，BE＝AB.
∴DF＝BE.∴△AFD≌△CEB.
(2)在ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，由(1)得BE＝DF，∴AE綉CF.∴四边形AECF是平行四边形．
探究考点方法
触类旁通1．8
触类旁通2．②③ 根据镶嵌的条件可知单独一种图形，能够进行镶嵌的有①②③，而正三角形不能只通过平移来镶嵌．
所以只通过平移方式就能进行平面镶嵌的只有②③.
触类旁通3．
证明：连接BD交AC于O点．如图所示．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
又∵AE＝CF，∴OE＝OF.
∴四边形BEDF是平行四边形，∴∠EBF＝∠FDE.
触类旁通4．分析：要证明GF∥HE，关键是说明四边形EGFH是平行四边形，本题出现了对角线，可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形来证明．
证明：∵ABCD中，OA＝OC，
∵AF＝CE，AF－OA＝CE－OC，∴OF＝OE.
同理得，OG＝OH.
∴四边形EGFH是平行四边形．
∴GF∥HE.
品鉴经典考题
1．C 设多边形的边数为n，由题意得：(n－2)·180°＝1 080°，所以n＝8.
2．B ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C＝∠A，BC∥AD，∴∠A＋∠B＝180°.
∵∠B＝4∠A，∴∠A＝36°，
∴∠C＝∠A＝36°，故选B.
3．B 因为一组对边平行另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，所以B项的条件不能判定一个四边形是平行四边形．
4．4 因为AD＝8，所以BC＝8；点E，F分别是BD，CD的中点，则EF为△CBD的中位线，则EF＝BC＝4.
5．240° ∠1＋∠2＝2×180°－(180°－60°)＝240°.
6．9 因为360÷40＝9，所以这个多边形的边数是9.
7．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠A＝∠C.
在△ABE与△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(SAS)．
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC且AD∥BC.
∵AE＝CF，∴DE＝BF.
又DE∥BF，∴四边形BFDE是平行四边形．
研习预测试题
1．C 2．D 3．B
4．A ∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，BC＝AD＝9.∴∠DAF＝∠AEB.
∵AF是∠BAD的平分线，∴∠BAF＝∠DAF.
∴∠AEB＝∠BAF.∴BE＝AB＝6.∴EC＝3.
在Rt△ABG中，AG＝2，∴AE＝4.
易证△ABE∽△FCE，得＝，
∴EF＝2，可证CF＝EC＝3.
∴△CEF的周长为8.
5．C 6．3 7．100
8．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，AB＝DC.
又∵∠1＝∠2，
∴△ABE≌△CDF.
9．证明：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠2.
在△ABO和△CDO中，
∵
∴△ABO≌△CDO(ASA)，∴AO＝CO.
∵BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形．
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