2013版中考总复习数学基础讲练_第13讲图形的初步认识.doc

第四单元　图形初步与三角形 第13讲　图形的初步认识 考纲要求 命题趋势 ‎1．了解直线、线段、射线的相关性质以及线段中点、线段的和、差和两点间距离的意义．‎ ‎2．理解角的有关概念，熟练进行角的运算．‎ ‎3．了解补角、余角、对顶角、垂线、垂线段等概念及性质．‎ ‎4．会识别同位角、内错角和同旁内角，掌握相交线与平行线的定义，熟练运用垂线的性质，平行线的性质和判定.‎ ‎　　中考中，对这部分内容命题的难度较小，主要以选择题、填空题的形式出现，重点考查互为余角、互为补角的角的性质、平行线的性质与判定的应用.‎ 知识梳理 一、直线、射线、线段 ‎1．直线的基本性质 ‎(1)两条直线相交，只有________交点．‎ ‎(2)经过两点有且只有一条直线，即：两点确定一条__________________．‎ ‎2．线段的性质 所有连接两点的线中，线段最短，即：两点之间______最短．‎ ‎3．线段的中点 把一条线段分成两条________线段的点，叫做这条线段的中点．‎ ‎4．直线、射线、线段的区别与联系 有几个端点 向几个方 向延伸 表示 图形 直线 ‎0‎ ‎2‎ 两个大写字母或 一个小写字母 射线 ‎1‎ ‎1‎ 两个大写字母 线段 ‎2‎ ‎0‎ 两个大写字母或 一个小写字母 二、角的有关概念及性质 ‎1．角的有关概念 角是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形．射线端点叫做角的顶点，两条射线是角的两边．从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线就叫做这个角的________．‎ ‎2．角的单位与换算 ‎1°＝60′，1′＝60″，1周角＝2平角＝4直角．‎ ‎3．余角与补角 如果两个角的和等于________，就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于______，就说这两个角互为补角．同角(或等角)的余角________；同角(或等角)的补角______．‎ ‎4．对顶角与邻补角 在两条相交直线形成的四个角中，如果两个角有公共顶点，一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这样的两个角称为对顶角．如果两个角有公共顶点，有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，这样的两个角为邻补角．对顶角________，邻补角________．‎ 三、垂线的性质与判定 ‎1．垂线及其性质 垂线：两条直线相交所构成的四个角中有一个角是__________，则这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线．‎ 性质：(1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；(2)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．(简说成：垂线段最短)‎ ‎2．点到直线的距离 直线外一点到这条直线的________的长度，叫做点到直线的距离．‎ ‎3．判定 若两条直线相交且有一个角为直角，则这两条直线互相垂直．‎ 四、平行线的性质与判定 ‎1．概念 在同一平面内，不相交的两条直线，叫做平行线．‎ ‎2．平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．‎ ‎3．性质 如果两条直线平行，那么同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．‎ ‎4．判定 同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；在同一平面内垂直于同一直线的两直线________，平行于同一直线的两直线______．‎ 自主测试 ‎1．如图，C，D是线段AB上两点，若CB＝4 cm，DB＝7 cm，且D是AC的中点，则AC的长为(　　)‎ A．3 cm B．6 cm C．11 cm D．14 cm ‎2．如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠COB，若∠EOB＝55°，则∠BOD的度数是(　　)‎ A．35° B．55°‎ C．70° D．110°‎ ‎3．如图所示，∠1＋∠2＝(　　)‎ A．60° B．90°‎ C．110° D．180°‎ ‎4．下列四个角中，最有可能与70°角互补的角是(　　)‎ ‎5．如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝__________.‎ 考点一、直线、射线、线段 ‎【例1】在直线l上任取一点A，截取AB＝16 cm，再截取AC＝40 cm，求AB的中点D与AC的中点E的距离．‎ 解：(1)当C在AB的延长线上时，如图，‎ ‎∵D是AB的中点，AB＝16 cm，‎ ‎∴AD＝AB＝×16＝8(cm)．‎ ‎∵E是AC的中点，AC＝40 cm，‎ ‎∴AE＝AC＝×40＝20(cm)．‎ ‎∴DE＝AE－AD＝20－8＝12(cm)．‎ ‎(2)当C在BA的延长线上时，如图，由(1)知AD＝8 cm，AE＝20 cm.‎ ‎∴DE＝AE＋AD＝20＋8＝28(cm)．‎ 答：D点与E点的距离是12 cm或28 cm.‎ 方法总结 对于线段的和、差关系以及线段的中点问题的计算，需结合图形，认真观察分析．若已知线段上给出的点未明确其位置，还需要分类讨论，千万不要漏解．‎ 触类旁通1 如图，点C是线段AB上的点，点D是线段BC的中点，若AB＝12，AC＝8，则CD＝__________.‎ 考点二、角的计算 ‎【例2】如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC＝100°，则∠BOD的度数是(　　)‎ A．20° B．40°‎ C．50° D．80°‎ 解析：∵OA平分∠EOC，∠EOC＝100°，‎ ‎∴∠AOC＝∠EOC＝50°.‎ 又∵∠BOD与∠AOC是对顶角，‎ ‎∴∠BOD＝∠AOC＝50°，故选C.‎ 答案：C 方法总结 解决有关图形中的角的计算问题时，首先要从图形中读出具有度量关系的角，如互余、互补、对顶角等，然后合理利用相关的定义、性质求解．‎ 触类旁通2 如图，直线EO⊥CD，垂足为点O，AB平分∠EOD，则∠BOD的度数为(　　)‎ A．120° B．130°‎ C．135° D．140°‎ 考点三、平行线的性质与判定 ‎【例3】如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝55°，则∠4的度数是(　　)‎ A．110° B．115° C．120° D．125°‎ 解析：∵∠2＝∠6，∠1＝∠2，∴∠1＝∠6，‎ ‎∴l1∥l2，∴∠3＋∠5＝180°.‎ ‎∵∠3＝55°，∴∠5＝125°.‎ ‎∵∠4与∠5是对顶角，‎ ‎∴∠4＝∠5＝125°，故选D.‎ 答案：D 方法总结 平行线的性质和判定常用来解决下列问题：‎ ‎(1)作图形的平移；‎ ‎(2)证明线段或角相等；‎ ‎(3)证明两直线平行；‎ ‎(4)证明两直线垂直．‎ 触类旁通3 如图，已知直线a∥b，∠1＝40°，∠2＝60°，则∠3等于(　　)‎ A．100° B．60° C．40° D．20°‎ ‎1．(2012重庆)已知：如图，BD平分∠ABC，点E在BC上，EF∥AB，若∠CEF＝100°，则∠ABD的度数为(　　)‎ A．60° B．50° C．40° D．30°‎ ‎2．(2012山东临沂)如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠1＝40°，则∠2的度数是(　　)‎ A．40° B．50°‎ C．60° D．140°‎ ‎3．(2012湖南长沙)下列四个角中，最有可能与70°角互补的是(　　)‎ ‎4．(2012湖南长沙)如图，AB∥CD∥EF，那么∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝________度．‎ A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 ‎4．如图，已知直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于(　　)‎ ‎(第4题图)‎ A．30° B．40° C．60° D．70°‎ ‎5．如图所示，已知CD平分∠ACB，DE∥AC，∠1＝30°，则∠2＝__________.‎ ‎(第5题图)‎ ‎6．如图所示，直线a，b被c，d所截，且c⊥a，c⊥b，∠1＝70°，则∠2＝__________.‎ ‎7．如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1＝50°，则∠AEG＝__________.‎ ‎8．(1)如图，∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数．‎ ‎(2)如果(1)中∠AOB＝α，其他条件不变，求∠MON的度数．‎ ‎(3)如果(1)中∠BOC＝β(β为锐角)，其他条件不变，求∠MON的度数．‎ ‎(4)从(1)，(2)，(3)的结果能看出什么规律？‎ ‎(5)线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，它们之间可以互相借鉴解法，请你模仿(1)～(4)，设计一道以线段为背景的计算题，写出其中的规律来．‎ 参考答案 导学必备知识 自主测试 ‎1．B　2．C　3．B　4．D　5．118°‎ 探究考点方法 触类旁通1．2　因为AB＝12，AC＝8，所以BC＝AB－AC＝12－8＝4.又点D是线段BC的中点，所以CD＝BC＝2.‎ 触类旁通2．C　因为直线EO⊥CD，垂足为点O，所以∠DOE＝90°.又AB平分∠EOD，所以∠AOD＝45°.因为∠AOD与∠BOD是邻补角，所以∠BOD＝135°，故选C.‎ 触类旁通3．A　过∠3的顶点作直线c∥a，∴∠4＝∠1＝40°.‎ ‎∵a∥b，∴b∥c，∴∠5＝∠2＝60°，‎ ‎∴∠3＝∠4＋∠5＝60°＋40°＝100°，故选A.‎ 品鉴经典考题 ‎1．B　∵EF∥AB，∠CEF＝100°，∴∠ABC＝100°.‎ ‎∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠ABD的度数为50°.‎ ‎2．B　∵AB∥CD，∠1＝40°，∴∠BCD＝∠1＝40°.‎ ‎∵DB⊥BC，∴∠2＝90°－∠BCD＝90°－40°＝50°.故选B.‎ ‎3．D　因为70°角的补角＝180°－70°＝110°，是钝角，结合各选项，只有D选项中的角是钝角，故选D.‎ ‎4．360　∵AB∥CD，∴∠BAC＋∠ACD＝180°①.‎ ‎∵CD∥EF，∴∠CEF＋∠ECD＝180°②，‎ ‎①＋②得，∠BAC＋∠ACD＋∠CEF＋∠ECD＝180°＋180°＝360°，即∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝360°.‎ ‎5．6　由题意得，平面内的不同的n个点最多可确定条直线，则＝15，所以n＝6.‎ 研习预测试题 ‎1．D　2．B　3．A　4．A ‎5．60°　∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝60°.∵DE∥AC，‎ ‎∴∠2＝∠ACB＝60°.‎ ‎6．70°　7．130°‎ ‎8．解：(1)∠MON＝∠COM－∠CON＝∠AOC－∠BOC＝×120°－×30°＝45°；‎ ‎(2)∠MON＝∠COM－∠CON＝∠AOC－∠BOC＝(α＋30°)－×30°＝α；‎ ‎(3)∠MON＝∠COM－∠CON＝∠AOC－∠BOC＝(90°＋β)－β＝45°；‎ ‎(4)∠MON的大小等于∠AOB的一半，而与∠BOC的大小无关；‎ ‎(5)如图，设线段AB＝a，延长AB到C，使BC＝b，点M，N分别为AC，BC的中点，求MN的长．‎ 规律是：MN的长度总等于AB的长度的一半，而与BC的长度无关．‎