2.13 有理数的混合运算
1．有理数的混合运算
(1)有理数的混合运算的运算顺序
①我们把小学学过的加、减叫做第一级运算；乘、除叫做第二级运算；初中新学习的乘方叫做第三级运算，如32－50÷22×－1，这个算式里就包含有理数加、减、乘、除、乘方等多种运算．
②概念：含有加、减、乘、除、乘方等多种运算，称为有理数的混合运算．
③有理数混合运算的运算顺序规定如下：
a．先算乘方，再算乘除，最后算加减；
b．同级运算，按照从左至右的顺序进行；
c．如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的．
(2)有理数的混合运算是学习有理数的核心．因此学习时应注意以下几个问题：
①注意有理数混合运算的顺序
有理数混合运算的顺序是：先算乘方，再算乘除，最后算加减．如果有括号，就先算括号里面的．掌握好这一运算顺序，才能正确计算，避免错误的发生．
②注意分清运算符号与性质符号
在进行有理数的混合运算时，时常出现“－”号或“＋”号的问题．在一个运算式中，“－”号有两重意义：一是表示性质，如负数、相反数；二是运算符号，表示减去，所以要根据具体情况去正确理解．“＋”号也是一样．因此在具体运算中要特别注意区别运算符号与性质符号，尤其是“－”号问题，千万不能大意．
③注意不能忽视括号在算式中的作用
在有理数的混合运算中，时常会出现各种括号，这些括号的出现，给运算增添了难度，不过只要我们能分清每一种括号在运算中的作用，视括号里面的式子是一个整体，计算起来就如同没有括号一样了．另外，对于多重括号一般是先算小括号内，再算中括号内，最后算大括号内．但有时用分配律去掉括号更加简便．
谈重点 进行有理数混合运算的关键 有理数的混合运算是加、减、乘、除、乘方的综合应用，确定合理的运算顺序是正确解题的关键．
【例1】 计算：(1)3＋50÷22×－1；
(2)2÷3.
分析：(1)先算乘方，再把除法转化为乘法，计算乘除运算，最后算加减；(2)此题运算顺序是：第一步计算和；第二步做乘法；第三步做乘方；第四步做除法．
解：(1)原式＝3＋50÷4×－1(先算乘方)
＝3＋50××－1(化除法为乘法)
＝3－50××－1(先确定符号，再计算)
＝3－－1＝－.
(2)原式＝2÷3
＝2÷3＝×(－27)＝－.
解技巧 进行有理数混合运算的方法 先观察运算的顺序，再思考运算法则，具体运算时，一般把除法统一成乘法，把减法统一成加法，把乘方统一成乘法．
2.应用运算律简化运算
(1)有理数加法运算律：
①加法交换律．即两个数相加，交换加数的位置，和不变．用字母表示为：a＋b＝b＋a；
②加法结合律．即三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．用字母表示为：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
(2)有理数乘法运算律：
①乘法交换律．即两数相乘，交换乘法的位置，积不变．用字母表示为：ab＝ba；
②乘法结合律．即三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变．用字母表示为：(ab)c＝a(bc)；
③分配律．即做乘法对加法的分配律时，只要和加法中的每一项相乘，再把所得的积相加．用字母表示为：a(b＋c)＝ab＋ac.
乘法的分配律在有理数的运算以及今后的有关代数式运算及变形中应用非常广泛，它的正向运用(即从左到右)与逆向运用(即从右到左)对于不同形式的计算与变形都起着简化的作用，应注意灵活掌握．
利用运算律进行有理数的混合运算不但可以简化运算过程，降低计算的难度，而且还可以提高运算速度和准确率．
运算律的应用是一个熟能生巧的过程，只有经过不断的练习，才能提高解题能力．
【例2】 计算：
(1)÷＋；
(2)×－×＋×－(－1)3.
分析：(1)可以按照运算顺序，先算括号里面的，再算乘除，最后算加减．如果注意到括号内分数分子相同，可与括号外的分数约分，这样运用分配律，易于口算，因而更简洁一些．
(2)算式的前一部分×－×＋×，可将算式转化为：×＋×＋×的形式，再应用分配律．算式的后一部分(－1)3＝－1.
解：(1)原式＝×＋＝－×＋×＋×－(把括号中的“－”号看成加数的符号)
＝－2＋＋1－＝－3；
(2)原式＝×＋×－×－(－1)
＝×＋1
＝×＋1＝1＋1＝2.
解技巧 巧用分配律简化运算
(1)正用分配律，即把乘积的形式(a＋b＋c)·m化成和的形式am＋bm＋cm；(2)逆用分配律，即把和的形式am＋bm＋cm化成乘积的形式(a＋b＋c)m.
3．有理数混合运算的技巧
(1)归类组合．如计算：(－3)＋(＋6)＋(－4)＋(－7)＋(＋5)，应注意正负号的归类，使之重新组合．应用运算律时，一般要根据需要进行归类．
(2)小数与分数巧转换．如计算：
÷0.46.本题的算式中既有中括号，又有小括号，同时既有小数，又有分数，根据数字的特点可以把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于先算小括号里面的，再算中括号里面的．
(3)运用相关的性质．如计算：1＋×9×××0.几个数相乘，只要有一个因数为0，积为0.
【例3】 用简便方法计算：－32÷(－8×4)＋2.52＋×24.
分析：－32化成假分数较繁，可将其写成的形式．对×24，则可使用乘法分配律计算．
解：－32÷(－8×4)＋2.52＋×24
＝×＋6.25＋×24
＝1＋＋6.25＋12＋16－18－22
＝1.02＋6.25－12
＝－4.73.
4.有理数混合运算与相反数、倒数以及绝对值的关系
有理数的混合运算中经常要用到互为相反数和互为倒数的两数的性质，解题时，要灵活处理，遇到相反数，想到和为0；遇到倒数，想到积为1.
有理数的混合运算中有时会出现绝对值符号的化简．绝对值符号除了本身的作用外，还具有括号的作用，从运算顺序的角度来说，应先计算绝对值符号里面的，因此绝对值符号也可以把算式分成几段，同时进行计算．
警误区 进行有理数混合运算时要注意观察 有理数的混合运算的过程中，除了运用运算法则外，还要及时发现零因子，或者互为倒数的因数，这样可以省去运算带来的不必要的麻烦．
【例4】 计算：(1)3×÷1×；
(2)[－214－(－2)5＋(－21)4]×÷32.
分析：(1)本题按常规运算顺序，应先算小括号里的减法，运算较繁，观察算式中的数字特征，可发现首尾两数互为倒数，利用运算律，适当改变运算顺序，顺利求解．(2)观察本题中的－214和(－21)4是一对相反数，其和为0，从而不必求出214的值．
解：(1)原式＝×××
＝×－×＝8－3＝5；
(2)原式＝(－214＋32＋214)××＝32×(2－36)×＝－34.
5．有理数的混合运算的几个误区及克服方法
(1)有理数的混合运算的关键：一是运算顺序，二是运算法则．在运算之前要重点关注运算的顺序和运算符号．可以先将算式分为几部分，然后再按正确的顺序进行计算，遇减法转化为加法，遇除法转化为乘法，遇乘方转化为乘法．
(2)按照有理数混合运算的步骤进行计算，在计算时不要“跳步”太多，最后再检查这个计算结果是否正确．如果含有多重括号，要按照一定的顺序去计算，先算小括号，再算中括号，最后算大括号．
(3)在进行有理数的混合运算时，有些同学常出现一些错误，分析其原因，主要是基本概念和基本方法掌握不熟练所致．
(4)有理数的混合运算中常见的错误有以下几种类型：①运算符号的错误；②违背运算顺序；③概念不清，对幂的底数认识不清；④混淆(－a)2n与－a2n；⑤错用运算律．
(5)克服解题误区的几种方法：
①有理数的混合运算的过程中，除了运用运算法则外，还要及时发现零因子，或者互为倒数的因数．
②为了提高运算速度，要灵活运用运算律，还要能创造条件利用运算律，如拆数，移动小数点等．
③对于复杂的有理数运算，要善于观察，分析，类比与联想，从中找出规律，正确分组，再运用运算律进行计算．
这样可以省去运算带来的不必要的错误．同时使运算过程有根据可依，并且简化运算的过程．
【例5】 阅读下列材料：
计算：÷.
解法一：原式＝÷－÷＋÷－÷
＝－＋－＋＝；
解法二：原式＝÷
＝÷
＝－×3＝－；
解法三：原式的倒数为÷
＝×(－30)
＝－20＋3－5＋12＝－10，
故原式＝－.
上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法__________是错误的，在正确的解法中，你认为解法__________最简捷．
然后请你解答下列问题：
计算：÷.
分析：本题出示了一个问题的几种解题过程，应先仔细阅读，体会每种解法过程的本质，再排除错解，从中选取最好的方法．其中，解法三根据问题的特点，灵活地先取倒数求值，是一种巧妙的解法．
解：一 三
原式的倒数为÷
＝×(－42)
＝－7＋9－28＋12＝－14，故原式＝－.
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