第23讲 视图与投影
考纲要求
命题趋势
1．了解平行投影和中心投影的含义及其简单的应用．
2．会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的三视图，能判断简单物体的视图．
3．能根据三视图描述基本几何体或实物原型，掌握简单几何体表面展开图.
投影与视图是中考的必考内容，主要考查几何体的三视图的判定，立体图形与它的三视图的互相转化，立体图形的展开图、投影等．题目难度不大，主要以选择题、填空题的形式出现.
知识梳理
一、投影
1．投影：用光线照射物体，在某个平面上得到的______叫做物体的投影，照射光线叫做________，投影所在的平面叫做________．
2．平行投影：太阳光线可以看成________光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影．
平行投影与视图之间的关系：当投影线与投影面垂直时，这种投影叫做________．物体的正投影称为物体的视图．物体的三视图实际上就是该物体在某一平行光线(垂直于投影面的平行光线)下的________．
3．中心投影：探照灯、手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从________发出的光线，像这样的光线所形成的投影称为________．
二、视图
1．视图：从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图．一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做________；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做________；在侧面内得到由左向右观察物体的视图，叫做________．
2．常见几何体的三种视图：
几何体
主视图
左视图
俯视图
圆柱
长方形
长方形
圆
圆锥
三角形
三角形
圆和圆心
球
圆
圆
圆
3．三视图的画法：
(1)长对正；(2)高平齐；(3)宽相等．
4．由视图到立体图形：
由视图想象实物图形时不像由实物到视图那样唯一确定，由一个视图往往可以想象出多种物体．
由视图描述实物时，需了解简单的、常见的、规则物体的视图，能区分类似的物体视图的联系与区别．如主视图是长方形，可想象出是四棱柱、三棱柱、圆柱等．俯视图是圆的可以是球、圆柱等．
自主测试
1．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是( )
3．如图，小红居住的小区内有一条笔直的小路，小路的正中间有一路灯，晚上小红由A处径直走到B处，她在灯光照射下的影长l与行走的路程s之间的变化关系用图象刻画出来，大致图象是( )
(1)该几何体的体积是__________(立方单位)，表面积是__________(平方单位)．
(2)画出该几何体的主视图和左视图．
考点一、投影
【例1】如图所示，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球，球在地面上的阴影的形状是一个圆，当把白炽灯向远移时，圆形阴影的大小的变化情况是( )
A．越来越小 B．越来越大
C．大小不变 D．不能确定
解析：白炽灯向远移时，两条光线的夹角度数变小，所以圆形的阴影也会跟着变小．
答案：A
方法总结 投影问题在日常生活中随处可见，解答这类题时要注意分清本质(即是中心投影还是平行投影问题)及每种投影的特征．阳光下的影子为平行投影，在同一时刻两物体的影子应在同一方向上，并且物高与影长成正比；灯光下的影子为中心投影，影子应在物体背对光的一侧．
触类旁通1 如图所示，位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为2:5，且三角尺的一边长为8 cm，则投影三角尺的对应边长为( )
其中，左视图是平行四边形的有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
解析：圆柱的左视图是矩形、圆锥的左视图是三角形、棱柱的左视图是矩形、长方体的左视图是矩形，所以左视图是平行四边形的有3个．
答案：B
方法总结 判断简单物体的三视图，要先搞清三视图的概念，再从三个方向仔细观察．三种视图的作用：主视图可以清晰地看到物体的长和高，主要提供正面的形状；左视图可以分清物体的宽度和高度；俯视图看不到物体的高度，但能分清物体的长和宽．
触类旁通2 下面简单几何体的主视图是( )
考点三、和三视图有关的计算
A．2π B．π C．4π D．8π
解析：先判断此几何体为圆锥，侧面展开图为扇形；再由三视图得到扇形母线长为4、弧长为圆锥底面圆的周长；最后运用公式S＝lR＝×2π×4＝4π.
答案：C
方法总结 由三视图想象立体图形时，先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的前面、上面和左侧面的局部形状，然后再综合起来考虑整体图形．
触类旁通3 如图是一个正六棱柱的主视图和左视图，则图中的a＝( )
A．2 B．
C．2 D．1
1．(2012四川乐山)下图是小强用八块相同的小正方体搭建的一个积木，它的左视图是( )
A．四棱锥 B．四棱柱
C．三棱锥 D．三棱柱
5．(2012广东梅州改编)春蕾数学兴趣小组用一块正方形木板在阳光下做投影实验，这块正方形木板在地面上形成的投影可能是__________(写出符合题意的两个图形即可)．
6．(2012内蒙古呼和浩特)如图是某几何体的三视图及相关数据(单位：cm)，则该几何体的侧面积为__________ cm2.
7．(2012四川乐山)从棱长为2的正方体毛坯的一角，挖去一个棱长为1的小正方体，得到一个如图所示的零件，则这个零件的表面积是__________．
1．如图所示，空心圆柱的左视图是( )
2．将“创建文明城市”六个字分别写在一个正方体的六个面上，这个正方体的平面展开图如图所示，那么在这个正方体中，和“创”相对的字是( )
A．文 B．明 C．城 D．市
3．在下列几何体中，主视图、左视图与俯视图都是相同的圆，该几何体是( )
4．如图所示是由一些大小相同的小立方体组成的几何体的主视图和左视图，则组成这个几何体的小立方体的个数不可能是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
5．如图，正方形ABCD的边长为3，以直线AB为轴，将正方形旋转一周，所得几何体的主视图的周长是__________．
6．如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，那么其三种视图中面积最小的是__________．
7．如图，小明在A时测得某树的影长为2 m，B时又测得该树的影长为8 m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为__________m.
8．小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：
如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD＝1.2 m，CE＝0.8 m，CA＝30 m(点A，E，C在同一直线上)．
已知小明的身高EF是1.7 m，请你帮小明求出楼高AB(结果精确到0.1 m)．
参考答案
导学必备知识
自主测试
1．C 2．C 3．C
4．解：(1)5 22；
(2)
探究考点方法
触类旁通1．B
触类旁通2．C 几何体主视图的确定，可通过从正面观察它的列数，及每列最高的块数．这个几何体从正面看有3列，从左到右每列最高块数分别为2,1,1，故选C.
触类旁通3．B
品鉴经典考题
1．D 左视图从左往右，2列正方形的个数依次为2,1，
依此画出图形.
故选D.
2．A 由主视图知长为4，高为1，由俯视图知长为4，宽为3，则左视图宽为3，高为1，则其面积为3.
3．C ①的俯视图是，②的俯视图是，③的俯视图是，④的俯视图是，故选C.
4．D 由于主视图和左视图为长方形可得此几何体为柱体，由俯视图为三角形，可得为棱柱体，所以这个几何体是三棱柱．
5．正方形、菱形(答案不唯一)
6．2π 因为根据三视图可知该几何体为圆锥，且高为cm，母线长为2 cm，底面圆的直径为2 cm，则周长即侧面展开图的弧长为2π cm，所以侧面积为×2π×2＝2π(cm2)．
7．24 挖去一个棱长为1 cm的小正方体，得到的图形与原图形表面积相等，则表面积是2×2×6＝24.
故答案为24.
研习预测试题
1．C
2．B 因“创”和“建”与“文”相连，有公共顶点，故先排除；再根据不相邻左右或上下相对，知“创”与“明”相对．
3．A 4．D 5．18 6．左视图 7．4
8．解：如图，过点D作DG⊥AB，分别交AB，EF于点G，H，则
EH＝AG＝CD＝1.2，
DH＝CE＝0.8，DG＝CA＝30.
∵EF∥AB，
∴＝.
由题意，知FH＝EF－EH＝1.7－1.2＝0.5.
∴＝，解得BG＝18.75.
∴AB＝BG＋AG＝18.75＋1.2＝19.95≈20.0，
∴楼高AB约为20.0米．
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