第二单元 方程(组)与不等式(组)
第5讲 一次方程(组)
考纲要求
命题趋势
1．了解等式、方程、一元一次方程和二元一次方程(组)的概念，掌握等式的基本性质．
2．掌握一元一次方程的标准形式，熟练掌握一元一次方程和二元一次方程组的解法．
3．会列方程(组)解决实际问题.
一元一次方程在各省市的中考试题中体现的不突出，个别省市仅以填空题、选择题、列方程解应用题的方式出现．二元一次方程组在中考中一般以填空题、选择题考查定义与解法，以解答题考查列方程组解应用题.
知识梳理
一、等式及方程的有关概念
1．等式及其性质
(1)用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式．
(2)等式的性质：等式两边加(或减)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式两边乘(或除以)同一个数(除数不能是0)，所得结果仍是等式．
2．方程的有关概念
(1)含有未知数的等式叫做方程．
(2)方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解，一元方程的解，也叫它的根．
(3)解方程：求方程解的过程叫做解方程．
二、一元一次方程
1．只含有______未知数，并且未知数的最高次数都是____，系数不等于零的______方程叫做一元一次方程，其标准形式为__________，其解为x＝______.
2．解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)________；(3)移项；(4)____________；(5)未知数的系数化为1.
三、二元一次方程组的有关概念
1．二元一次方程
(1)概念：含有______未知数，并且未知数的项的次数都是____，这样的整式方程叫做二元一次方程．
(2)一般形式：ax＋by＝c(a≠0，b≠0)．
(3)使二元一次方程两边的值______的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
(4)解的特点：一般地，二元一次方程有无数个解．由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集．
2．二元一次方程组
(1)概念：具有相同未知数的______二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．
(2)一般形式：(a1，a2，b1，b2均不为零)．
(3)二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的________，叫做二元一次方程组的解．
四、二元一次方程组的解法
解二元一次方程组的基本思想是______，即化二元一次方程组为一元一次方程，主要方法有______消元法和__________消元法．
1．用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤
(1)从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x(或y)的代数式表示出y(或x)，即变成y＝ax＋b(或x＝ay＋b)的形式；
(2)将y＝ax＋b(或x＝ay＋b)代入另一个方程，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元一次方程；
(3)解这个一元一次方程，求出x(或y)的值；
(4)把x(或y)的值代入y＝ax＋b(或x＝ay＋b)中，求y(或x)的值．
2．用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤
(1)在二元一次方程组中，若有同一个未知数的系数相同(或互为相反数)，则可以直接相减(或相加)，消去一个未知数；
(2)在二元一次方程组中，若不存在(1)中的情况，可选一个适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相同(或互为相反数)，再把方程两边分别相减(或相加)，消去一个未知数；
(3)解这个一元一次方程；
(4)将求出的一元一次方程的解代入原方程组中系数比较简单的方程内，求出另一个未知数．
五、列方程(组)解应用题的一般步骤
审：审清题意，分清题中的已知量、未知量．
设：设未知数，设其中某个未知量为x，并注意单位．对于含有两个未知数的问题，需要设两个未知数．
列：根据题意寻找等量关系列方程(组)．
解：解方程(组)．
验：检验方程(组)的解是否符合题意．
答：写出答案(包括单位)．
六、常见的几种方程类型及等量关系
1．行程问题中的基本量之间的关系
路程＝速度×时间；
相遇问题：全路程＝甲走的路程＋乙走的路程；
追及问题：若甲为快者，则被追路程＝甲走的路程－乙走的路程；
流水问题：v顺＝v静＋v水，v逆＝v静－v水．
2．工程问题中的基本量之间的关系
工作效率＝.
(1)甲、乙合作的工作效率＝甲的工作效率＋乙的工作效率．
(2)通常把工作总量看作“1”．
自主测试
1．二元一次方程x－2y＝1有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是( )
A． B． C． D．
2．方程组的解是( )
A． B． C． D．
3．若x＝2是关于x的方程2x＋3m－1＝0的解，则m的值为__________．
4．受干旱气候等因素的影响，今年某些农产品的价格有些上涨，张大爷在承包的10亩地里所种植的甲、乙两种蔬菜共获利13 800元，其中甲种蔬菜每亩获利1 200元，乙种蔬菜每亩获利1 500元，则甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？
考点一、一元一次方程的解法
【例1】解方程：－＝1.
解：去分母，得2(2x＋1)－(10x＋1)＝6，去括号，得4x＋2－10x－1＝6，移项，得4x－10x＝6－2＋1，合并同类项，得－6x＝5，系数化为1，得x＝－.
方法总结 解一元一次方程时，首先要清楚基本方法与一般步骤，明确每步的理论依据，根据其特点选用解题步骤．
考点二、二元一次方程组的有关概念
【例2】已知是二元一次方程组的解，则2m－n的算术平方根为( )
A．4 B．2 C． D．±2
解析：∵是方程组的解，
∴解得∴＝＝＝2.
答案：B
方法总结 方程组的解适合方程组的每一个方程，把它代入原方程组，就会得到一个新的方程组，解新方程组即可得出待定字母系数的值．
触类旁通1 已知是关于x，y的二元一次方程x＝y＋a的解，求(a＋1)(a－1)＋7的值．
考点三、二元一次方程组的解法
【例3】解方程组
解：方法一：用加减消元法解方程组．
①×2得6x－2y＝10，③
②＋③得11x＝33，解得x＝3.
把x＝3代入①得9－y＝5，解得y＝4.
所以原方程组的解为
方法二：用代入消元法解方程组．
由①得y＝3x－5，③
把③代入②得5x＋2(3x－5)＝23，即11x＝33，解得x＝3.把x＝3代入③得y＝4.所以原方程组的解为
方法总结 解二元一次方程组的基本思路是通过消元，将二元一次方程组转化为一元一次方程．最常见的消元方法有代入消元法和加减消元法，具体应用时，要结合方程组的特点，灵活选用消元方法．如果出现未知数的系数为1或－1，宜用代入消元法解；如果出现同一未知数的系数成倍数关系或系数较为复杂，宜用加减消元法解．
触类旁通2 解方程组：
考点四、列方程(组)解决实际问题
【例4】食品安全是老百姓关注的话题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输．某饮料加工厂生产的A，B两种饮料均需加入同种添加剂，A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3克，已知270克该添加剂恰好生产了A，B两种饮料共100瓶，问A，B两种饮料各生产了多少瓶？
分析：可考虑列一元一次方程或二元一次方程组来解决．
解法一：设A饮料生产了x瓶，则B饮料生产了(100－x)瓶，依题意，得2x＋3(100－x)＝270.
解得x＝30,100－x＝70.
解法二：设A饮料生产了x瓶，B饮料生产了y瓶，依题意，得解得
答：A饮料生产了30瓶，B饮料生产了70瓶．
方法总结 对于含多个未知数的实际问题，利用列方程组来解，一般要比列一元一次方程解容易．列二元一次方程组，首先要对具体的问题进行具体分析，从中抽取两个等量关系，再根据相应的等量关系列出方程组，注意所求的解要符合实际问题．
1．(2012重庆)关于x的方程2x＋a－9＝0的解是x＝2，则a的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
2．(2012山东临沂)关于x，y的方程组的解是则|m－n|的值是( )
A．5 B．3 C．2 D．1
3．(2012浙江杭州)已知关于x，y的方程组其中－3≤a≤1.给出下列结论：①是方程组的解；②当a＝－2时，x，y的值互为相反数；③当a＝1时，方程组的解也是方程x＋y＝4－a的解；④若x≤1，则1≤y≤4.其中正确的是( )
A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④
4．(2012甘肃兰州)
兰州市某广场准备修建一个面积为200平方米的矩形草坪，它的长比宽多10米，设草坪的宽为x米，则可列方程为( )
A．x(x－10)＝200 B．2x＋2(x－10)＝200
C．2x＋2(x＋10)＝200 D．x(x＋10)＝200
5．(2012广东湛江)请写出一个二元一次方程组__________，使它的解是
6．(2012湖南长沙)以“开放崛起，绿色发展”为主题的第七届“中博会”已于2012年5月20日在湖南长沙圆满落幕，作为东道主的湖南省一共签订了境外与省外境内投资合作项目共348个，其中境外投资合作项目个数的2倍比省外境内投资合作项目多51个．
(1)求湖南省签订的境外、省外境内的投资合作项目分别有多少个；
(2)若境外、省外境内投资合作项目平均每个项目引进资金分别为6亿元、7.5亿元，求在这次“中博会”中，东道主湖南省共引进资金多少亿元．
1．已知3是关于x的方程2x－a＝1的解，则a的值是( )
A．－5 B．5 C．7 D．2
2．方程组的解是( )
A． B．
C． D．
3．某班为奖励在校运会上取得较好成绩的运动员，花了400元钱购买甲、乙两种奖品共30件，其中甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元，求甲、乙两种各买多少件？该问题中，若设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，则列方程正确的是( )
A． B．
C． D．
4．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x＋3y＝6的解，则k的值为( )
A．－ B. C． D．－
5．湘潭历史悠久，因盛产湘莲，被誉为“莲城”．李红买了8个莲蓬，付50元，找回38元．设每个莲蓬的价格为x元，根据题意，列出方程为__________．
6．方程|4x－8|＋＝0，当y＞0时，m的取值范围是__________．
7．已知是二元一次方程组的解，则a－b的值为__________．
8．若关于x，y的二元一次方程组的解满足x＋y＞1，则k的取值范围是__________．
9．开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小亮用31元钱买了同样的钢笔2支和笔记本5本．
(1)求每支钢笔和每本笔记本的价格；
(2)校运动会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出．
参考答案
导学必备知识
自主测试
1．B 把A项代入方程左边＝0－2×＝右边，把B项代入方程左边＝1－2×1＝－1≠右边，把C项代入方程左边＝1－2×0＝右边，把D项代入方程左边＝－1－2×(－1)＝右边．
2．D 解方程组①＋②得3x＝6，故x＝2，把x＝2代入①得y＝－1，故
3．－1 因为把x＝2代入方程，得4＋3m－1＝0，解得m＝－1.
4．解：设甲、乙两种蔬菜种植面积分别为x，y亩，依题意，得解得
答：甲、乙两种蔬菜各种植了4亩、6亩．
探究考点方法
触类旁通1．解：把x＝2，y＝代入方程得2＝＋a，解得a＝.
∴(a＋1)(a－1)＋7＝a2－1＋7＝a2＋6＝()2＋6＝9.
触类旁通2．解：②×2得4x＋2y＝26，③
③－①得5y＝15，解得y＝3，
把y＝3代入②得2x＋3＝13，解得x＝5.
所以原方程组的解为
品鉴经典考题
1．D ∵方程2x＋a－9＝0的解是x＝2，
∴2×2＋a－9＝0，解得a＝5.故选D.
2．D 把代入原方程组得
∴则|m－n|＝1.
3．C 解方程组得
∵－3≤a≤1，∴－5≤x≤3,0≤y≤4，
①不符合－5≤x≤3,0≤y≤4，结论错误；
②当a＝－2时，x＝1＋2a＝－3，y＝1－a＝3，x，y的值互为相反数，结论正确；
③当a＝1时，x＋y＝2＋a＝3,4－a＝3，方程x＋y＝4－a两边相等，结论正确；
④当x≤1时，1＋2a≤1，解得a≤0，y＝1－a≥1，已知0≤y≤4，故当x≤1时，1≤y≤4，结论正确．
故选C.
4．D 设宽为x米，则长为(x＋10)米，根据长×宽＝矩形面积，列方程为x(x＋10)＝200.
5．(答案不唯一)
6．(1)解法一：设湖南省签订的境外投资合作项目有x个，则湖南省签订的省外境内投资合作项目有(348－x)个，由题意得2x－(348－x)＝51，解得x＝133，
∴348－x＝348－133＝215.
答：境外投资合作项目有133个，省外境内投资合作项目有215个．
解法二：设湖南省签订的境外投资合作项目有x个，省外境内投资合作项目有y个，由题意得
解得
答：境外投资合作项目有133个，省外境内投资合作项目有215个．
(2)解：133×6＋215×7.5＝798＋1 612.5＝2 410.5(亿元)．
答：在这次“中博会”中，东道主湖南省共引进资金2 410.5亿元．
研习预测试题
1．B 把x＝3代入方程，得6－a＝1，所以a＝5.
2．D 两方程相加，得3x＝6，x＝2，把x＝2代入x－y＝2，得y＝0，所以
3．B 购买甲种奖品x件，每件16元，共花了16x元，购买乙种奖品y件，每件12元，共花了12y元．相等关系为：甲奖品件数＋乙奖品件数＝30件，甲花的钱＋乙花的钱＝400元．
4．B 解方程组得
代入2x＋3y＝6，得到14k－6k＝6，所以k＝.
5．8x＋38＝50 相等关系为8个莲蓬的价格＋找回的38元＝50元．
6．m＜2 由题意，得解得y＝2－m，
∵y＞0，∴2－m＞0，∴m＜2.
7．－1 因为把代入方程组得
解得所以a－b＝－1.
8．k＞2
9．解：(1)设每支钢笔x元，每本笔记本y元．
依题意得解得
答：每支钢笔3元，每本笔记本5元．
(2)设买a支钢笔，则买笔记本(48－a)本．
依题意得
解得20≤a≤24.所以，一共有5种方案，
即购买钢笔、笔记本的数量分别为：20,28；21,27；22,26；23,25；24,24.
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