专题五 实验与操作
实验操作题要求在动手实践的基础上，进行探索、猜想，得出结论．这类题型一方面考查了学生的实践能力，另一方面考查了学生的探究意识和创新精神，在中考中越来越受到重视，其形式主要有选择题、填空题和解答题．
考向一 图形的展开与折叠问题
折纸是最富有自然情感而又形象的实验，它的实质是对称问题，折痕就是对称轴，而一个点折叠前后的不同位置就是对称点，“遇到折叠就用对称”就是运用对称的性质：
(1)关于一条直线对称的两个图形全等；
(2)对称轴是对称点连线的中垂线．
此类题有一定的趣味性和挑战性，需要学生有折叠图形之间联系的空间概念，考查观察、分析能力与直觉思维能力，通过实际演示与操作给不同思维层次的学生都提供了机会．学生在解题时也可“就地取材”，剪下草稿纸的一角，动手操作即可解决．
【例1】(2011江苏徐州)如图，将矩形纸片ABCD按如下顺序折叠：对折、展平，得折痕EF(如图①)；沿GC折叠，使点B落在EF上的点B′处(如图②)；展平，得折痕GC(如图③)；沿GH折叠，使点C落在DH上的C′处(如图④)；沿GC′折叠(如图⑤)；展平，得折痕GC′，GH(如图⑥)．
(1)求图②中∠BCB′的大小；
(2)图⑥中的△GCC′是正三角形吗？请说明理由．
分析：(1)先判定△B′BC是等边三角形，再根据等边三角形性质说明∠BCB′的度数；(2)利用轴对称性证出G′C＝GC，∠GCB＝∠GCB′＝∠BCB′＝30°，再运用角的和差关系证出∠GCC′＝∠BCD－∠BCG＝60°，根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”判断△GCC′是等边三角形．
解：(1)连接BB′，由折叠知，EF是线段BC的对称轴，
∴BB′＝B′C.
又∵BC＝B′C，
∴△B′BC是等边三角形，
∴∠BCB′＝60°.
(2)由折叠知，GH是线段CC′的对称轴，
∴G′C＝GC.
根据题意，GC平分∠BCB′，
∴∠GCB＝∠GCB′＝∠BCB′＝30°.
∴∠GCC′＝∠BCD－∠BCG＝60°.
∴△GCC′是等边三角形．
方法归纳 解决图形的折叠问题要抓住以下两点：(1)折叠前后的图形是全等图形；(2)折痕就是对称轴，且垂直平分对称点的连线．
考向二 图形的分割与拼接
图形的分割与拼接是中考中常见问题．一般地解答时需要发挥空间想象力，借助示意图进行研究解答．
【例2】七巧板是我们祖先的一项卓越创造，用它可以拼出多种图形．请你用七巧板中标号为①，②，③的三块板(如图1)经过平移、旋转拼成图形．
(1)拼成矩形，在图2中画出示意图；
(2)拼成等腰直角三角形，在图3中画出示意图．
注意：相邻两块板之间无空隙，无重叠；示意图的顶点画在小方格顶点上．
分析：(1)由①③的斜边叠合在一起，叠出一个正方形，再与②拼成矩形；(2)一个等腰三角形放在正方形上面，另一等腰三角形跟前一个等腰三角形以相同的方向拼在正方形上，即可．
解：(1)(2)参考图形如下(答案不唯一)
方法归纳 在解决图形的分割与拼接问题时，注意一方面观察图形的特点关系，即线段的关系、角的关系；另一方面可借助计算，必要时需要实际操作．
考向三 利用图形的分割与拼接进行探索研究
大家知道，勾股定理的证明方法多种多样．大量的方法就是借助拼图完成的．
【例3】如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是a，b，斜边长为c和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．
(1)画出拼成的这个图形的示意图．
(2)证明勾股定理．
分析：(1)用所给的图形拼图，这需要同学们善于动手操作；(2)通过不同的途径计算图的面积，便可证明．
解：方法一：(1)
(2)证明：∵大正方形的面积表示为(a＋b)2，
大正方形的面积也可表示为c2＋4×ab，
∴(a＋b)2＝c2＋4×ab，
a2＋b2＋2ab＝c2＋2ab，
∴a2＋b2＝c2.
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
方法二：(1)
(2)证明：∵大正方形的面积表示为c2，
又可以表示为ab×4＋(b－a)2，
∴c2＝ab×4＋(b－a)2，c2＝2ab＋b2－2ab＋a2，
∴c2＝a2＋b2.
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
方法归纳 在利用拼图研究勾股定理的证明时，主要借助图形之间的面积和差关系和完全平方公式．
一、选择题
1．如图，直角三角形纸片ABC的∠C为90°，将三角形纸片沿着图示的中位线DE剪开，然后把剪开的两部分重新拼接成不重叠的图形，下列选项中不能拼出的图形是( )
A．平行四边形 B．矩形
C．等腰梯形 D．直角梯形
2．用若干根相同的火柴棒首尾顺次相接围成一个梯形(提供的火柴棒全部用完)，下列根数的火柴棒不能围成梯形的是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题
3．将两个形状相同的三角板放置在一张矩形纸片上，按图示画线得到四边形ABCD，则四边形ABCD的形状是________．
4．学剪五角星：如图，先将一张长方形纸片按图①的虚线对折，得到图②，然后将图②沿虚线折叠得到图③，再将图③沿虚线BC剪下△ABC，展开即可得到一个五角星．如果想得到一个正五角星(如图④)，那么在图③中剪下△ABC时，应使∠ABC的度数为__________．
三、解答题
5．(1)如图1，△ABC中，∠C＝90°，请用直尺和圆规作一条直线，把△ABC分割成两个等腰三角形(不写作法，但须保留作图痕迹)．
(2)已知内角度数的两个三角形如图2、图3所示．请你判断，能否分别画一条直线把它们分割成两个等腰三角形？若能，请写出分割成的两个等腰三角形顶角的度数．
图1 图2 图3
6．阅读并操作：
如图①，这是由十个边长为1的小正方形组成的一个图形，对这个图形进行适当分割(如图②)，然后拼接成新的图形(如图③)．拼接时不重叠、无空隙，并且拼接后新图形的顶点在所给正方形网格图中的格点上(网格图中每个小正方形边长都为1)．
请你参照上述操作过程，将由图①所得到的符合要求的新图形画在下边的正方形网格图中．
(1)新图形为平行四边形；
(2)新图形为等腰梯形．
参考答案
专题提升演练
1．D 将小三角形绕点E旋转可得到矩形，绕点D旋转可得到等腰梯形，再翻折可得到平行四边形．
2．B 本题属于实验操作题，当火柴根数为5,7,8时都能围成梯形(见下图)，而当火柴根数为6时不能围成梯形，故选B.
3．梯形 利用矩形对边平行极易得到∠ABC＝∠DCB，所以四边形ABCD为梯形．
4．126° 由折叠过程可知，∠A＝180°÷5＝36°，而正五角星的每个角为36°，但被折叠了一次，所以36°÷2＝18°，根据三角形内角和为180°，得∠ABC＝180°－∠A－∠ACB＝180°－36°－18°＝126°.
5．解：(1)如图，直线CM即为所求．
或
(2)图2能画一条直线分割成两个等腰三角形，分割成的两个等腰三角形的顶角分别是132°和84°.图3不能分割成两个等腰三角形．
6．解： (1) (2)
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