第17讲 锐角三角函数与解直角三角形
考纲要求
命题趋势
1．理解锐角三角函数的定义，掌握特殊锐角(30°，45°，60°)的三角函数值，并会进行计算．
2．掌握直角三角形边角之间的关系，会解直角三角形．
3．利用解直角三角形的知识解决简单的实际问题.
中考中主要考查锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值及解直角三角形．题型以解答题和填空题为主，试题难度不大，其中运用解直角三角形的知识解决与现实生活相关的应用题是热点.
知识梳理
一、锐角三角函数定义
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.
∠A的正弦：sin A＝＝________；
∠A的余弦：cos A＝＝________；
∠A的正切：tan A＝＝________.
它们统称为∠A的锐角三角函数．
锐角的三角函数只能在直角三角形中使用，如果没有直角三角形，常通过作垂线构造直角三角形．
二、特殊角的三角函数值
三、解直角三角形
1．定义：
由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．(直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角)
2．直角三角形的边角关系：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.
(1)三边之间的关系：____________；
(2)锐角之间的关系：____________；
(3)边角之间的关系：sin A＝，cos A＝，tan A＝，sin B＝，cos B＝，tan B＝.
3．解直角三角形的几种类型及解法：
(1)已知一条直角边和一个锐角(如a，∠A)，其解法为：∠B＝90°－∠A，c＝，b＝(或b＝)；
(2)已知斜边和一个锐角(如c，∠A)，其解法为：∠B＝90°－∠A，a＝c·sin A，b＝c·cos A(或b＝)；
(3)已知两直角边a，b，其解法为：c＝，
由tan A＝，得∠A，∠B＝90°－∠A；
(4)已知斜边和一直角边(如c，a)，其解法为：b＝，由sin A＝，求出∠A，∠B＝90°－∠A.
四、解直角三角形的应用
1．仰角与俯角：在进行观察时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．
2．坡角与坡度：坡角是坡面与水平面所成的角；坡度是斜坡上两点________与水平距离之比，常用i表示，也就是坡角的正切值，坡角越大，坡度越大，坡面________．
自主测试
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，则下列结论正确的是( )
A．sin A＝ B．tan A＝
C．cos B＝ D．tan B＝
2．如图，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tan B′的值为( )
A． B． C． D．
3．已知α是锐角，且sin(α＋15°)＝，计算－4cos α－(π－3.14)0＋tan α＋－1的值．
考点一、锐角三角函数的定义
【例1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则sin A的值是( )
A． B． C． D．[来源:学_科_网]
解析：∵在Rt△ABC中，AB＝13，BC＝5，∴sin A＝＝，故选A.
答案：A
方法总结 求锐角三角函数值时，必须牢记锐角三角函数的定义，解题的关键是：(1)确定所求的角所在的直角三角形；(2)准确掌握三角函数的公式．解题的前提是在直角三角形中，如果题目中无直角时，必须想办法构造一个直角三角形．
触类旁通1 如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB＝4，BC＝5，则tan∠AFE的值为( )
A． B． C． D．
考点二、特殊角的三角函数值
【例2】如果△ABC中，sin A＝cos B＝，则下列最确切的结论是( )
A．△ABC是直角三角形
B．△ABC是等腰三角形
C．△ABC是等腰直角三角形
D．△ABC是锐角三角形
解析：由sin A＝cos B＝可知，∠A＝∠B＝45°，
所以∠C＝90°，所以△ABC是等腰直角三角形．
答案：C
方法总结 特殊角的三角函数值在中考当中出现的概率很大，同学们应该熟记，但不要死记，可以结合图形，根据定义理解记忆．
触类旁通2 计算：|－2|＋2sin 30°－(－)2＋(tan 45°)－1.
考点三、解直角三角形
【例3】如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在AC，AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB，AE＝6，cos A＝.
求：(1)DE，CD的长；(2)tan∠DBC的值．
解：(1)∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°.在Rt△AED中，cos A＝，即＝.∴AD＝10.
根据勾股定理得DE＝＝＝8.
又∵DE⊥AB，DC⊥BC，BD平分∠ABC，
∴DC＝DE＝8.
(2)∵AC＝AD＋DC＝10＋8＝18，在Rt△ABC中，cos A＝，即＝，∴AB＝30.根据勾股定理得BC＝＝＝24.
∴在Rt△BCD中，tan∠DBC＝＝＝.
方法总结 解这类问题主要是综合运用勾股定理、锐角三角函数定义、直角三角形的两个锐角互为余角．解题时应尽量使用原始数据，能用乘法运算就尽量不用除法运算．
触类旁通3 如图是教学用的直角三角板，边AC＝30 cm，∠C＝90°，tan∠BAC＝，则边BC的长为( )
A．30cm B．20cm
C．10cm D．5cm
考点四、解直角三角形在实际中的应用
【例4】某兴趣小组用高为1.2米的仪器测量建筑物CD的高度．如图所示，由距CD一定距离的A处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为β，在A和C之间选一点B，由B处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为α.测得A，B之间的距离为4米，tan α＝1.6，tan β＝1.2，试求建筑物CD的高度．
分析：求建筑物CD的高度关键是求DG的长度，先利用三角函数用DG表示出GF，GE
的长，利用EF＝GE－GF构建方程求解．
解：设建筑物CD与EF的延长线交于点G，DG＝x米．
在Rt△DGF中，tan α＝，即tan α＝.
在Rt△DGE中，tan β＝，即tan β＝.
∴GF＝，GE＝.∴EF＝－.
∴4＝－.解方程，得x＝19.2.∴CD＝DG＋GC＝19.2＋1.2＝20.4(米)．[来源:学_科_网Z_X_X_K]
答：建筑物CD高为20.4米．
方法总结 利用解直角三角形的知识解决实际问题的关键是转化和构造，即把实际问题转化为数学问题，并构造直角三角形，利用解直角三角形的知识去解决，解题时要认真审题，读懂题意，弄清仰角、俯角、方向角、坡角、坡度的含义，然后再作图解题．
1．(2012四川乐山)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，则sin B的值为( )
A． B． C． D．1
2．(2012浙江舟山)如图，A，B两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A同侧的河岸边选定一点C，测出AC＝a米，∠BAC＝90°，∠ACB＝40°，则AB等于( )米．
A．asin 40° B．acos 40° C．atan 40° D．
3．(2012福建福州)如图，从热气球C处测得地面上A，B两点的俯角分别为30°，45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A，D，B在同一直线上，则AB两点的距离是( )
A．200米 B．200米
C．220米 D．100(＋1)米
4．(2012山东济宁)在△ABC中，若∠A，∠B满足＋2＝0，则∠C＝__________.
5．(2012湖南株洲)数学实践探究课中，老师布置同学们测量学校旗杆的高度．小民所在的学习小组在距离旗杆底部10米的地方，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为60°，则旗杆的高度是__________米．
6．(2012湖南衡阳)如图，一段河坝的横断面为梯形ABCD，试根据图中的数据，求出坝底宽AD.(i＝CE:ED，单位：m)
7．(2012山东潍坊)校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D的同侧取点A，B，使∠CAD＝30°，∠CBD＝60°.
(1)求AB的长(精确到0.1米，参考数据：≈1.73，≈1.41)；
(2)已知本路段对校车限速为40千米/时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D.若AC＝，BC＝2，则sin∠ACD的值为( )
A． B． C． D．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cot A＝.则下列关系式中不成立的是( )
A．tan A·cot A＝1
B．sin A＝tan A·cos A
C．cos A＝cot A·sin A
D．tan2A＋cot2A＝1
3．如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为α，那么滑梯长l为( )
(第3题图)
A． B． C． D．h·sin α
4．如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1:，堤高BC＝5 m，则坡面AB的长度是( )
A．10 m B．10m C．15 m D．5m
(第4题图)
5．在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C地，他先沿正东方向走了200 m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C(如图)，那么，由此可知，B，C两地相距__________m.
6．如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正切值等于__________．
7．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，CD＝5 cm，求AB的长．
8．综合实践课上，小明所在的小组要测量护城河的宽度．如图所示是护城河的一段，两岸AB∥CD，河岸AB上有一排大树，相邻两棵大树之间的距离均为10米．小明先用测角仪在河岸CD的M处测得∠α＝36°，然后沿河岸走50米到达N点，测得∠β＝72°.请你根据这些数据帮小明他们算出河宽FR(结果保留两位有效数字)．
(参考数据：sin 36°≈0.59.cos 36°≈0.81，tan 36°≈0.73，sin 72°≈0.95，cos 72°≈0.31，tan 72°≈3.08)
参考答案
导学必备知识
自主测试[来源:Zxxk.Com]
1．D 2．B
3．解：∵sin(α＋15°)＝，∴α＝45°，∴原式＝2－4×－1＋1＋3＝3.
探究考点方法
触类旁通1．C 由折叠过程可知，CF＝BC＝5，根据勾股定理得DF＝3，所以AF＝AD－DF＝2，设AE＝x，则EF＝BE＝4－x，在Rt△AEF中，(4－x)2＝22＋x2，解得x＝，所以tan∠AFE＝＝＝.
触类旁通2．解：原式＝2＋2×－3＋1－1＝1.
触类旁通3．C 因为tan∠BAC＝，所以BC＝AC×tan∠BAC＝30×＝10(cm)．
品鉴经典考题
1．C 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，∴sin A＝＝＝.
∴∠A＝30°，∴∠B＝60°，∴sin B＝，故选C.
2．C 在Rt△ABC中，AC＝a米，∠BAC＝90°，∠ACB＝40°，∴tan 40°＝，∴AB＝atan 40°.
3．D 由题意得∠A＝30°，∠B＝45°.
AD＝＝100(米)，BD＝＝100(米)，
则AB＝AD＋BD＝100＋100＝100(＋1)(米)．
故选D.
4．75° 由题意得：cos A－＝0，sin B－＝0，
∴cos A＝，sin B＝，
∴∠A＝60°，∠B＝45°，∴∠C＝75°.
5．10 在直角三角形中，tan 60°＝，所以旗杆的高度＝10(米)．
6．解：如图所示，过点B作BF⊥AD，可得矩形BCEF.
∴EF＝BC＝4，BF＝CE＝4.
在Rt△ABF中，AB＝5，BF＝4.
由勾股定理可得：AF＝＝3(m)．
又∵在Rt△CED中，i＝＝，
∴ED＝2CE＝2×4＝8(m)．
∴AD＝AF＋FE＋ED＝3＋4＋8＝15(m)．
7．解：(1)由题意得，在Rt△ADC中，
AD＝＝＝21≈36.33；
在Rt△BDC中，BD＝＝＝7≈12.11，
所以AB＝AD－BD≈36.33－12.11＝24.22≈24.2(米)．
(2)校车从A到B用时2秒，
所以速度为24.2÷2＝12.1(米/秒)，
因为12.1×3 600＝43 560，
所以该车速度为43.56千米/时，大于40千米/时，
所以此校车在AB路段超速．
研习预测试题[来源:学*科*网]
1．A 2．D 3．A 4．A 5．200 6．
7．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD＝30°.∴AD＝DB.
又∵Rt△CBD中，CD＝5 cm，
∴BD＝10 cm.∴BC＝5cm，AB＝2BC＝10cm.
8．解：过点F作FG∥EM交CD于G.[来源:学#科#网]
则MG＝EF＝20米，∠FGN＝∠α＝36°.
∴∠GFN＝∠β－∠FGN＝72°－36°＝36°.
∴∠FGN＝∠GFN，
∴FN＝GN＝50－20＝30(米)．
在Rt△FNR中，
FR＝FN·sin β＝30×sin 72°≈30×0.95＝28.5≈29(米)．
故河宽FR约为29米．
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